导数的几何意义教案 人教课标版(优秀教案)
温柔似野鬼°
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2021年01月28日 03:32
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关于清明节的日记-学习cad的方法
《导数的几何意义》教案
教
学
过
程
一、创设情境、导入新课
设
计
意
图
老
师
引
导
学
生
.
回顾旧知、引出研究的问题：
回忆联系本节课的< br>前面我们初步了解了一些微积分背景知识，
对有
“微积分之父”
旧知识，
下面探究导
之称的牛顿和莱布尼慈，
也相识了
（幽默：
同时知道当爹的不易 ）
，
数的几何意义也是
依据导数概念的形
之后重点学习了函数在
x< br>
x
0
处的导数
f
(
x
0
)
就是函数在该点处的
成，
寻求解决问题的
途径。
瞬时变化率
。那么：
．．．．．
提问：
()
求导 数
f
(
x
0
)
的步骤有哪几步
?
生：总共分三步（拉音，模仿赵本山）：
第一步：求增量
y
f
x
x
f
(
x
0
)
第二步：求平均变化率
y
0
；
x
x
f
x
x
f
(
x
0
)
第三步：求瞬时变化率
f
(
x< br>0
)
lim
0
.
x
0
x
教师板书，
便于
学生数形结合探究
导数的几何意义。
突
破
平
均
变
化
率的几何意义，
后面
在表示割线斜率时
能直接联系此知识。
同时引出本节课的
研究问题——导数
几何意义是什么？
（即
< br>x
0
，
平均变化率趋近
于的确定常数
就是该点导数
）
．．
．．．．
．．
()
观
察
函
数
y
f
(
x
)
的
图
象
，
平
均
变
化
率
y
f
x
0
x
f
(
x
0
)
在图形中表示什么？
x
x
（复习引入用时约
分钟）
生：
平均变化率表示的是割线
PP
n
的斜率
.
y
师：
这就是平均变化率
(
)
的几何意义
，那么瞬 时变化率
．．．．．
．
．
．．．．．
x
y
)
在图中又表示什么呢？今天我们就来探究导数的几何意
x
0
x
义。板书
(
lim
二、引导探究、获得新知
.
动画类比，得到切线的新定义
要
研
究
导
数
的
几
何
意
义
，
结
合
导
数
的
概
念
，
即
要
探
究
x
0
，割线的变化趋势
，看 下面的动画。
．．．．．．．
以
求
．
导
．
数
．
的
．
两
．
个步骤为 依据
，
从平
．．．．．．
均变化率的几何意
◆多媒体显示【动画】：
义入手探索导数的
圆上点处的切线和割线，
演示点从右边沿着圆逼近点
,< br>然后再
几
何
意
义
，
抓
住
从左边沿着 圆逼近点
，即
x
0
，割线的变化趋势。
x
0
的联系，在
图形上从割线入手
来研究问题。
带
着
问
题
观
察
教师引导学生 观察割线与切线是否有某种内在联系呢？
借助熟悉的圆
生：
先感 知后发现，当
x
0
，随着点沿着圆逼近点，割线
动画，
中的某点处的割线
无限趋近于点处的切线。
和切线，
学生更易感< br>知当
x
0
，
割线
◆把割线逼近切线的结 论从圆推广到一般曲线，可得：
多媒体显示【动画】：
的变化趋势。
动态演示教材上点
P
n
(
x
0
x
,
f
(
x
0
x
))
沿着曲线
f
(
x
)
趋近于
用逼近的方法体
点
P
(
x
0
,
f< br>(
x
0
))
时，割线
PP
n
的变化趋势图。
会割线逼近切线，
消
除学生对极限的神
师：
类比【动画】 ，当点
P
n
(
x
0
x
,f
(
x
0
x
))
沿着曲线
f
(
x
)
趋
秘感。
近于点
P
(
x
0
,
f
(
x
0
))
时，即< br>
x
0
，研究割线
PP
n
的变化趋势。< br>
肯
定
学
生< br>的
研
究结果，
并引导学生
把这种由割线逼近
的方法得到切线推
广到一般曲线，
并由
此得出割线的变化< br>趋势，
为研究几何意
义做好铺垫。
两个动画，
探索
一般曲线中的切线
学生观察【动画】，类比得出
一般曲线的切线定义
：
定义，
让不同程度的
学生都能借助直观
当点
P
n
(x
0
x
,
f
(
x
0
x
))
沿着曲线
f
(
x
)
逼近点
P
(
x
0
,
f
(
x
0< br>))
的图象感知和发现，
得出：
x
0
，
割
时，
即
x
0
，
割线
PP
n
趋近于确定的位置，
这个确定位置上的
线逼近该点处的切
直 线称为
点处的切线。
线
突破研究的难点
：
< br>x
0
，割线
PP
n
点处的切线
那么：
x
0
，割线的斜率
？与导数
f
(
x
0
)
又有何关系
呢？进行下面的 探究活动。
.
数形结合，探究导数的几何意义
结合【动画】的变化过程，探究导数的几何意义。
【探究一】
.
已知曲线上两点
P
(
x
0
,
f
(
x
0
)),
P
n
(
x
0
x
,
f
(
x
0
x
))< br>，求：
()
结合两点坐标，割线
PP
n
的斜率k
n
可表示为什么？
生：
k
n
f
x
0
x
f
(
x
0
)
x
（直观获得切线的
定义，
至此用时约分
钟）
感知联系，< br>运用
数形结合的方法研
究数值表示。
从直观
感知到数式研究相
对照，
有利于大多数
学生主动建构知识，
进而得出导数的几
何意义。
要
求
学
生
善
于
归纳和总结并深入
体会知识间的联系。
()
结合
x
0
，割线
PP
n
→切线，则切线的斜率
k
可表
示为什么？
f< br>
x
0
x
f
(< br>x
0
)
生：
k
lim
x
0
x
.
你能发现导数的几何意义吗？
< br>生：
函数
f
(
x
)
在
x
x
0
处的导数就是曲线在该点处的切线斜
率
k
，即：
k
lim
x
0
f
x
0
x
f
(
x
0
)
f
(
x
0
)
x
.
在上面的研究过程中，某点处的割线斜率与切线斜率与某点
附近的平均变化率和瞬时 变化率有何联系？
x
0
瞬时变化率
生：
平均变化率
x
0
割线的斜率
切线的斜率
三、探索小结、重点讲评
.
获得导数的几何意义
借
助
实
物
投
影
◆学生快速探究活动后， 展示研究成果，教师重点讲评：
仪，展示学习成果，
学生经历了完整的
割线
PP
n
的斜率是
k
n
f
(
x< br>0
x
)
f
(
x
0< br>)
,
(
x
0
x
)
x
0
探究过程后，
教师的
讲评就可以有针对
当点
P
n
沿着曲线无限接近点时，
k
n
无限趋近于切线的斜率
k< br>，
性和详略，
学生也可
以结合自己探究的
即
k
lim
f
(
x
0
x
)
f
(
x
0
)
f
(
x
0
)
x
0
x
体 会更好地建构知
识。
切线的斜率
k
即为函数在
x
x
0
处的导数。
导数的几何意义：
f
(
x
0
x
)
f
(
x
0
)
f
(
x
0
)
lim
x
0
x< br>
曲线在
x
x
0
处的切线的斜率
k
师：
由导数的几何意义，我们可以解决
哪些问题
？
生：
已知某点处的导数或者切线的斜率可以求另外一个量。
y
l
1
A
突破导数的几何
意义这个学习重点。
l
2
B
x
C
初中平面几何中，
圆的切线的
的定义：直线和圆有惟一公共点< br>时，叫做直线和圆相切。这时，
直线叫做圆的切线，惟一的公共
点叫做切点。
圆是一种特殊的曲线。这种
定义并不适用于一般曲线的切
线。
例如上图中，
直线
l
1
虽然与曲
线有惟一的公共点，但我们不能< br>认为它与曲线相切；而另一条直
线
l
1
虽然与曲线有不只一个公共点，我们还是认为它是曲线的切
线。因此，以上圆的切线定义并
不适用于一般的曲线。
通过逼近的方法，
将割线趋于
确定位置的直线定义为切线（交
点可能不 惟一），适用于各种曲
.
了解以直代曲思想
把点附近 函数的图象放大，引导学生理解以直代曲思想是指
某点附近一个很小的研究区域内，曲线与切线的变化趋 势基本一
致，故可由曲线上某点处的切线近似代替这一点附近的曲线。
师：
在某点附近一个很小的研究区域内，曲线与切线的变化趋
势有何关系？ 如果切线的斜率为正，则该点附近曲线的增减情况
怎样？
生：
点附近，曲线 和该点处的切线的增减变化情况一致。如果
切线的斜率为正，则该点附近曲线呈上升趋势。
P
通
过
将
曲
线
一
点处的局部“ 放大、
放大、
再放大”
的直
观方法，
形象而逼真
地再现“以 直代曲”
思想。
渗
透
用
导
数
的
几何意义研究函数
的增减性
至此突破学习重
点和难点，
用时约分
钟
P
P
四、知识应用、巩固理解
.
导数几何意义的应用
例题：简单小题
例
题< br>：
如
图
，
它
表
示跳
水
运
动
中
高
度
随
时
间
变
化
的
函
数
h
(
t
)
4
.
9
t
2
6
.
5
t
10
的图象。
见学案
“学
生活
动”
要< br>求
学
生
动
脑
(
审题
),
动手
(
画切
线
)
，动口
(
讨论
)
，
体会利用导数的几