初中新学期计划-地下摇滚歌曲

2021年1月28日发(作者：广东省考真题)

几何概型

最新考纲

1.
了解随机数的意义， 能运用模拟方法估计概率；
2.
了解几何概型
的意义
.

知

识

梳

理

1.
几何概型的定义

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度< br>(
面积或体积
)
成比例，则
称这样的概率模型为几何概率模型，简称为 几何概型
.
2.
几何概型的两个基本特点

(1)
无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；

(2)
等可能性：每个结果的发生具有等可能性
.
3.
几何概型的概率公式

P
(
A
)
＝< br>构成事件
A
的区域长度（面积或体积）
.
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
基

础

自

测


1.
判断下列结论正误
(
在括号内打“√”或“×”)

(1)
随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率
.(

) 1
(2)
从区间
[1
，
10]
内任取一个数，取到1
的概率是
.(

)
10
(3)
概率为
0
的事件一定是不可能事件
.(

)
(4)
在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形
.(

)
答案

(1)√

(2)×

(3)×

(4)√


2.(
必修
3P 140
练习
1
改编
)
有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一 颗玻
璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的
游戏盘是(

)

解析

如题干选项中图，各种情况的概率 都是其面积比，中奖的概率依次为
P
(
A
)
3
2
2
1
＝
，
P
(
B
)
＝
，
P
(
C
)
＝
，
P
(
D
)
＝
，所以
P
(
A
)
＞
P
(
C
)
＝
P
(
D
)
＞
P
(
B
).
8
8
6
3
答案

A
3.(必修
3P146B4
改编
)
如图，正方形的边长为
2
， 向正方形
ABCD
内随机投掷
200
个点，有
30
个点落入 图形
M
中，则图形
M
的面积的估计值为
____________.

解析

由题意可得正方形面积为
4
，设不规则图形的面积 为
S
，由几何概型概率
S
30
公式可得
＝
，∴S
＝
0.6.
4
200
答案

0.6

4.
(2016·全国Ⅱ卷
)
某路口人行横道的信号灯为红灯和绿 灯交替出现，红灯持
续时间为
40
秒
.
若一名行人来到该路口遇到红 灯，则至少需要等待
15
秒才出现
绿灯的概率为
(

)
7
A.

10
5
B.

8
3
C.

8
3
D.

10
解析

至少需要等待
15
秒才出现绿灯的概率为
答案

B
40
－
15
5
＝
.
40
8
5.
(2018·深圳模拟
)
一只蜜蜂在一个棱长为
3
的正方体内自由飞 行，若蜜蜂在飞
行过程中始终保持与正方体
6
个表面的距离均大于
1
，称其为“安全飞行”，则
蜜蜂“安全飞行”的概率为
(

)
1
A.

8
1
B.

6
C.
1

27
3
D.

8
解析

由题意知小蜜蜂的安全飞行范围为以这个正方体的中心为中心，且棱 长
为
1
的小正方体内
.
1
这个小正方体的体积为
1
，大正方体的体积为
27
，故安全飞行的概率为
p
＝
.
27
答案

C
6.
(2018·全国Ⅰ卷
)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形
.
此图
由三个半圆构成，三个 半圆的直径分别为直角三角形
ABC
的斜边
BC
，直角边
AB
，
AC
.△
ABC
的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分 记为Ⅲ
.
在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为
p
1
，
p
2
，
p
3
，则
(

)

A.
p
1
＝
p
2

C.
p
2
＝
p
3



B.
p
1
＝
p
3

D.
p
1
＝
p
2
＋
p
3

解析

不妨设△
ABC
为等腰直角三角形，
AB
＝
AC
＝
2
，则
BC
＝
2
2
，所以 区域Ⅰ
1
π×（
2
）
2
的面积即△
ABC
的面积，为
S
1
＝
×2×2＝
2
，区域Ⅲ的面积
S
3
＝
－
S
1
2
2

2

＝π－
2.
区域Ⅱ的面积为
S
2
＝π·


－
S
3
＝
2.
根据几何概型的概率计算公式，

2

2
π－
2
得
p
1
＝
p
2
＝
，
p
3
＝
，所以
p
1≠
p
3
，
p
2
≠
p
3
，p
1
≠
p
2
＋
p
3
.
π＋
2
π＋
2
答案

A

考点一

与长度
(
角度
)
有关的几何概型

【例
1
】

(1)(2019·孝感期末
)
在区间
[
－
1
，
4]
内任取一个实数
a
，使得关 于
x
的方程
x
2
＋
2
＝
a
有实数 根的概率为
(

)
2
A.

3
2
B.

5
3
C.

5
3
D.

4
2
(2)
如图，四边形ABCD
为矩形，
AB
＝
3
，
BC
＝
1
，以
A
为圆心，
1
为半径作四分
︵
之一个圆弧< br>DE
，在∠
DAB
内任作射线
AP
，则射线
AP与线段
BC
有公共点的概率为
________.

解
析

(1)
若方程
x
2
＋
2< br>＝
a
有实根，可知
a
－2≥0，即
a
≥2
， 那么
p
＝
4
－
2
2
＝
.
4－（－
1
）
5
(2)
连接
AC
，如图所示tan∠
CAB
＝
CB
1
3
π
＝
＝< br>，所以∠
CAB
＝
，满足条件的事
AB
6
3
3
件是直线
AP
在∠
CAB
内且
AP
与
B C
相交时，即直线
AP
与线段
BC
有公共点，所以
π
∠
CAB
6
1
所求事件的概率
p
＝
＝
＝
.
∠
DAB
π
3
2

1
答案

(1)B
(2)

3
规律方法

1.
解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象 和对象的活动
范围，当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度
计算 概率，求解的核心是确定点的边界位置
.
2.(1)
第
(2)
题易 出现“以线段
BD
为测度”计算几何概型的概率，导致错求
p
＝
1< br>.
2
(2)
当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧 长的大小
作为区域度量来计算概率
.
事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对 应
的圆心角的弧度数之比
.
【训练
1
】

(1) (2016·全国Ⅰ卷
)
某公司的班车在
7
：
30
，
8
：
00
，
8
：
30
发车，
小明在7
：
50
至
8
：
30
之间到达发车站乘坐班车 ，且到达发车站的时刻是随机
的，则他等车时间不超过
10
分钟的概率是
(

)
1
A.

3
1
B.

2
2
C.

3
3
D.

4< br>π
角的终边上，任作一条射线
6
(2)
如图所示，在直角坐标系内，射 线
OT
落在
OA
，则射线
OA
落在∠
yOT
内的概率为
________.

解析

(1)
如图所示，画出时间轴：


小明到达的时间会随机的落在图 中线段
AB
上，而当他的到达时间落在线段
AC
或
DB
上时 ，才能保证他等车的时间不超过
10
分钟，根据几何概型得所求概率
p
＝10
＋
10
1
＝
.
40
2
(2)< br>因为射线
OA
在坐标系是等可能分布的，所以
OA
落在∠
yO T
内的概率为
p
＝
π
π
－
2
6
1
＝
.
2π
6
1
答案

(1)B
(2)

6
考点二

与面积有关的几何概型

角度
1
与平面图形面积有关的问题

【例
2
－
1
】

(1)(2019·烟台诊断)
七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，它是
由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块 平行四边形共七块板组成的，如图
是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自 阴影部
分的概率是
(

)
多维探究


1
A.

4
1
B.

8
3
C.

8
D.
3

16
(2)(2018·黄冈、黄石联考
)
若张三每天的工作时间在
6
小 时至
9
小时之间随机
均匀分布，则张三连续两天平均工作时间不少于
7
小时的概率是
(

)
2
A.

9
1
B.

3
2
C.

3
7
D.

9
解析

(1)
不妨 设小正方形的边长为
1
，则两个小等腰直角三角形的边长分别为
1
，
1
，
2
，两个大等腰直角三角形的边长为
2
，
2
，
2
2
，即最大正方形的边长
为
2
2
，则较大等腰直 角三角形的边长分别为
2
，
2
，
2
，

1
1
×
2
×
2
＋1×1×2＋
×2
2
×2
2
2
2
1
故所求概率
p
＝
1
－
＝
.
8
8

6≤
x
≤9，
(2)
设第一天工作的时间为
x
小时，第二天工作的时间为
y
小时， 则


6≤
y
≤9，
因为连续两天平均工作时间不少于7
小时，所以
x
＋
y
2
≥7，即
x
＋
y
≥14，

6≤
x
≤9，
1

表示的区域面积为
9
，其中满足
x
＋
y
≥14
的区 域面积为
9
－
×2×2
2

6≤
y
≤9< br>7
＝
7
，∴张三连续两天平均工作时间不少于
7
小时的概率是
.
9

答案

(1)B
(2)D
角度
2
与线性规划有关的问题


x
≤4，
【例
2
－
2
】
(2019·福州期末
)
关于
x
，
y
的不等式组

y
≥2，
所表示的平面

x
－
y
＋2 ≥0
区域记为
M
，不等式
(
x
－
4)
2< br>＋
(
y
－
3)
2
≤1
所表示的平面区域记为
N
，若在
M
内随
机取一点，则该点取自
N
的概率为
(

)
A.
π

16
B.
π

8
1
C.

4
1
D.

2
解析


x
≤4，
关于实数
x
，
y
的不等式组

y
≥2，
所表示的平面区域记为
M
，面积为

x
－
y
＋2≥0
1
×4×4＝
8
，不等式
(
x
－
4)
2
＋
(
y
－
3)
2
≤1所表示的区域记为
N
，且满足不等式组
2


y
≥2，

x
－
y
＋2≥0
π
＝
.
16
答案

A
x
≤4，
1
π
2
1
的面积为
π，所以在
M
内随机取一点，则该点取自
N的概率为
2
8
规律方法

(1)
几何概型与平面几何的 交汇问题：要利用平面几何的相关知识，
先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计 算出其面积，
进而代入公式求概率；

(2)
几何概型与线性规划的交汇问题 ：先根据约束条件作出可行域，再确定形
状，求面积大小，进而代入公式求概率
.
【训练
2
】
(1)(2017
·全国Ⅰ卷
)
如图 ，正方形
ABCD
内的图形来自中国古代的太
极图
.
正方形内切圆中 的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称
.
在
正方形内随机取一点，则此点 取自黑色部分的概率是
(

)

1
A.

4
B.
π

8
1
C.

2
D.
π

4

x
－
y
＋1≥0，
(2)(2018·石家庄调研
)
在满足不等式组

x< br>＋
y
－3≤0，
的平面内随机取一点

y
≥0
M
(
x
0
，
y
0
)
，设事件
A
＝“
y
0
＜
2
x
0
”，那么事件
A
发生的概率是
(

)
1
A.

4
3
B.

4
1
C.

3
2
D.

3
解析

(1)
设正 方形的边长为
2
，则面积
S
正方形
＝
4.
又正方形内切圆的面积
S
＝π×1
2
＝π.

所以根据对称性，黑色部分的面积
S
黑
＝
π
.
2
π
.
8
由几何概型的概率公式，概率
p
＝S
黑
S
正方形
＝

x
－
y
＋ 1≥0，
(2)
作出不等式组

x
＋
y
－3≤0，
表示的平面区域
(
即△
ABC
)
，其面积为
4.< br>事件
A

y
≥0
3
＝“
y
0
＜
2
x
0
”表示的区域为△
AOC
，其面积为
3 .
所以事件
A
发生的概率是
.
4

答案

(1)B
(2)B
考点三

与体积有关的几何概型

【例
3
】
(1)
在
5
升水中有一个病毒，现从中 随机地取出
1
升水，含有病毒的概
率是
________.
(2)
如图，正方体
ABCD
－
A
1
B
1
C1
D
1
的棱长为
1
，在正方体内随机取点
M
， 则使四棱
1
锥
M
－
ABCD
的体积小于
的概率为< br>________.
6

解析

(1)“取出
1< br>升水，其中含有病毒”这一事件记作事件
A
，则
P
(
A
)
＝
取出的水的体积
1
1
＝
.
从而所求的概率为
.
所有水的体积
5
5
1
(2)
设四棱锥
M
－
ABCD
的高为
h
，由于
S
正方形
A BCD
＝
1
，
V
正方体
＝
1
，且
S
正方形
ABCD
<
.
3
6
1
V
正方体
2
1
1
∴
h
<
，则点
M
在正方体的下半部分，故所求事件的概率
p
＝
＝
.
2
V
正方体
2
1
1
答案

(1)

(2)

5
2
规律方法

对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积
(
总空间
)
以及 事件的体积
(
事件空间
)
，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求
.
【训练
3
】

已知正三棱锥
S
－
A BC
的底面边长为
4
，高为
3
，在正三棱锥内任取一
1点
P
，使得
V
P
－
ABC
＜
V
S
－
ABC
的概率是
(

)
2
7
A.

8
3
B.

4
1
C.

2
1
D.

4
h
1
解析

由题意知，当点
P
在三棱锥 的中截面
A
′
B
′
C
′以下时，满足
V
P
－
ABC
<
V
S
－
2
1
1
1
，又
V
锥
S
－
A
′
B
′C
′
＝
×
V
锥
S
－
ABC
＝
V
锥
S
－
ABC
.
2
4
8ABC
1
V
台体
A
′
B
′
C
′－
ABC
V
锥
S
－
ABC
－
V
锥
S
－
A
′
B
′
C
′
7
∴事件“
V
P
－
ABC
<
V
S
－
ABC
”的概率
P
＝
＝
＝
.
2
V
锥
S
－
ABC
V
锥
S
－
ABC
8

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