新人教版八年级数学下册勾股定理典型例题归类总结
余年寄山水
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2021年01月28日 12:44
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小学二年级工作总结-七年级期末考试试卷
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勾股定理典型例题归类总结
题型一：直接考查勾股定理
例１.
在
ABC
中，
C
90
．
⑴已知
AC
6
，
B C
8
．求
AB
的长
⑵已知
AB
17
，< br>AC
15
，求
BC
的长
跟踪练习：
1.
在
A BC
中，
C
90
.
（
1
）若
a=5,b=12,
则
c=
;
（
2
）若
a:b=3:4,c=15,
则
a=
,b=
.
（
3
）若 ∠
A=30
°，
BC=2,
则
AB=
，
AC=
.
2.
在
Rt
△
ABC
中，∠
C=90°
，∠
A
，∠
B
，∠
C
分别对的边为
a
，
b
，
c
，则下列结论正确的是
(
)
A
、
B
、
C
、
D
、
3.
一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为
(
)
A
、
2
、
4
、
6
B
、
4
、
6
、
8
C
、
6
、
8
、
10
D
、
3
、
4
、
5
4.
等腰直角三角形的直角边为
2
，则斜边的长为（
）
A
、
B
、
C
、
1
D
、
2
5.
已知等边三角形的边长为
2cm
，则等边三角形的面积为（
）
A
、
B
、
C
、
1
D
、
6.
已知直角三角形的两边为
2
和
3
，则第三边的长为
___________.
7.
如图，∠
AC B=
∠
ABD=90°
，
AC=2
，
BC=1
，< br>，则
BD=___________.
8.
已知△
ABC
中，
AB=AC=10
，
BD
是
AC
边上的高线，
CD=2
，那么
BD
等于（
）
A
、
4
B
、
6
C
、
8
D
、
9.
已知
Rt
△
ABC
的周长为
，求这个三角形的面积。
，其中斜边
10.
如果把勾股定理的边的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理可以推广
.
(1)
如图，以
Rt
△
ABC
的三边长为边作三个等边三角 形，则这三个等边三角形的面积
S
1
、
S
2
、
S< br>3
之间有
何关系？并说明理由。
（
2
）如图，以< br>Rt
△
ABC
的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积
S1
、
S
2
、
S
3
之间有何关系？
< br>（
3
）
如果将上图中的斜边上的半圆沿斜边翻折
18
0
°，
请探讨两个阴影部分的面积之和与直角三角形的面
积之间的关系，并说明理由。
（此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”
）
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题型二：利用勾股定理测量长度
例
1.
如果梯子的底端离建筑物
9
米，那么
15
米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？
跟踪练习：
1.
如图（
8
）
，水池中 离岸边
D
点
1.5
米的
C
处，直立长着一根芦苇，出水部分
BC
的长是
0.5
米，把芦苇
拉到岸边，它的顶端
B
恰好落到
D
点，并求水池的深度
AC.
2.
一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后， 发现最多只能靠近建筑物底端
5
米，消防车的云梯最大升
长为
13
米 ，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（
）
A
、
12
米
B
、
13
米
C
、
14
米
D
、
15
米
3.
如图，有两颗树，一颗高
10
米，另一颗高
4
米，两树相距
8
米．一只鸟从一颗树的树梢飞 到另一颗树的
树梢，问小鸟至少飞行（
）
A
、
8
米
B
、
10
米
C
、
12
米
D
、
14
米
题型三：勾股定理和逆定理并用
——
例
3.
如图
3
，正方形
ABCD
中，
E
是
BC
边上的中点，
F
是
AB
上一点，且
FB
角三角形吗？为什么？
注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。
跟踪练习：
1
AB
那么△
DEF
是直
4
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1.
如图，正方形
ABCD
中，
E
为
BC
边的中点，
F
点
CD
边上 一点，且
DF=3CF
，求证：∠
AEF=90°
题型四：利用勾股定理求线段长度
——
例
1.
如图
4
，
已知长方形
ABCD
中
AB=8cm,BC=10cm,
在边
CD
上取一点
E
，< br>将△
ADE
折叠使点
D
恰好落
在
BC
边上的 点
F
，求
CE
的长
.
跟踪练习：
1.
如图，将一个有
45
度角的三角板顶点
C
放在一张宽为
3cm
的纸带边沿上，另一个 顶点
B
在纸带的另一
边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成
3 0°
角，求三角板的最大边
AB
的长
.
2.
如图，在△
ABC
中，
AB=BC
，∠
ABC=90°
，
D
为
AC
的中点，
DE< br>⊥
DF
，交
AB
于
E
，交
BC
于< br>F
，
（
1
）
求证：
BE=CF;
（
2
）若
AE=3
，
CF=1
，求
EF
的长
.
3.
如图，
CA=CB, CD=CE,
∠
ACB=
∠
ECD=90°
,D
为
AB
边上的一点
.
若
AD=1
，
BD=3
，求CD
的长
.
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题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直
——
例
1.
有一 个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高
4.5
米的墙上，任何东西只要移至
5米以内，灯就自
动打开，一个身高
1.5
米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好 打开？
跟踪练习：
1.
如图，每个小正方形的边长都是
1
，△< br>ABC
的三个顶点分别在正方形网格的格点上，试判断△
ABC
的形
状 ，并说明理由
.
（
1
）求证：∠
ABD=90°
;
（
2
）求
的值
2.
下列各组数中，以它们边的三角形不是直角三角形的是（
）
A
、
9
，
12
，
15
B
、
7,24,25
C
、
3.
在△
ABC
中，
下列说法①∠
B=∠
C-
∠
A
；
②
D
、
，
，
；
③∠
A:
∠
B:
∠
C=3
：
4
：
5
；
④
a:b:c=5:4:3
；
⑤
：
：
=1:2:3
， 其中能判断△
ABC
为直角三角形的条件有（
）
A
、
2
个
B
、
3
个
C
、
4
个
D
、
5
个
4.
在△
ABC
中， ∠
A
、∠
B
、∠
C
的对边分别是
a
、b
、
c.
判断下列三角形是否为直角三角形？并判断哪一个
是直角？
（
1
）
a=26
，
b=10
，
c= 24;
（
2
）
a=5
，
b=7
，
c=9;
（
3
）
a=2
，
A
、
2
个
B
、
3
个
C
、
4
个
D
、
5
个
，
5.
已知△ABC
的三边长为
a
、
b
、
c
，且满足
，则此时三角形一定是（
）
A
、等腰三角形
B
、直角三角形
C
、等腰直角三角形
D
、锐角三角形
6.
在△
ABC
中，若
a=
n
1
，
b=2n
，
c=
n
1
，则△
ABC
是（
）
2
2
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A
、锐角三角形
B
、钝角三角形
C
、等腰三角形
D
、直角三角形
7.
如图，正方形网格中的△
ABC
是（
）
A
、直角三角形
B
、锐角三角形
C
、钝角三角形
D
、锐角三角形或钝角三角形
8.
已知在△
ABC
中，∠
A
、∠
B
、∠
C
的对边分别是
a
、
b
、
c
，下列说法中，错误的是（
）
A
、如果∠
C-
∠
B=
∠
A ,
那么∠
C=90°
B
、如果∠
C=90°
，那么
C
、如果（
a+b
）
（
a-b
）
=
，那么∠
A=90°
D
、如果∠
A=30°
，那么
AC=2BC
9.
已知△
ABC
的三边分别为
a
，
b
，
c
， 且
a+b=3
，
ab=1
，
并说明理由
10.< br>观察下列各式：
，
写出下一个式子为
_____________
， 求
的值，试判断△
ABC
的形状，
，
，
……
，根据 其中规律，
11.
已知，
m
＞
n
，
m
、< br>n
为正整数，以
，
2mn
，
为边的三角形是
___< br>三角形
.
12.
一个直角三角形的三边分别为
n+1
，n-1
，
8
，
其中
n+1
是最大边，
当
n
为多少时，
三角形为直角三角形？
题型六：旋转问题：
例题
6.
如图，
P
是等边三角形
ABC
内一点，
PA=2,PB=
2
3
,PC=4,
求△
ABC
的 边长
.
跟踪练习
1.
如图，△
ABC
为等 腰直角三角形，∠
BAC=90
°，
E
、
F
是
BC
上的点，且∠
EAF=45
°，试探究
BE
2
、
C F
2
、
EF
2
间的关系，并说明理由
.
题型七：关于翻折问题
例题
7.
如图，矩形纸片
ABCD
的边
AB=10cm
，
BC=6cm
，
E
为
BC
上一点，将矩形纸片沿
AE
折叠，点
B
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恰好落在
CD
边上的点
G
处 ，求
BE
的长
.
跟踪练习
1.
如图，
AD
是△ABC
的中线，∠
ADC=45
°，把△
ADC
沿直线
AD
翻折，点
C
落在点
C
’
的位置，
BC=4,< br>求
BC
’的长
.
(
一
)
折
叠直角三角形
1.
如图，
在△
ABC
中，
∠
A = 90°，
点
D
为
AB
上一点，
沿
CD
折叠△
ABC
，
点
A
恰好落在
BC
边上的
A处，
AB=4
，
AC=3
，求
BD
的长。
'
2.
如图，< br>Rt
△
ABC
中，∠
B=90°
，
AB=3
，
AC=5
．将△
ABC
折叠使
C
与
A
重 合，折痕为
DE
，求
BE
的长．
（二）折叠长方形
1.
如图，长方形
ABC D
中，
AB=4
，
BC=5
，
F
为
CD< br>上一点，将长方形沿折痕
AF
折叠，点
D
恰好落在
BC
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上的点
E
处，求
CF
的长。
2.
如图，长方形
ABCD
中，
AD=8cm
，
AB=4cm
，沿
EF
折叠，使点
D
与点
B
重合，点
C
与
C'
重合
.
（< br>1
）
求
DE
的长
;
（
2
）求折痕< br>EF
的长
.
3. < br>（
2013•
常德）如图，将长方形纸片
ABCD
折叠，使边
CD
落在对角线
AC
上，折痕为
CE
，且
D
点落< br>在对角线
D′
处．若
AB=3
，
AD=4
，则
ED
的长为（
）
4.
如图，
长方形
ABCD
中，
AB=6，
AD=8
，
沿
BD
折叠使
A
到
A′
处
DA′
交
BC
于
F
点
.
（
1
）
求证：
FB=FE
（
2
）求证：
CA′
∥
BD
（
3
）求△
DBF
的面积
7.
如图，正方形
ABCD
中，点
E
在边
CD
上，将△
ADE
沿
AE
对折至△AFE
，延长
EF
交边
BC
于点
G,G
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为
BC
的中点，连结
AG
、
CF.
（
1
）求证：
AG
∥
CF;
（
2
）求
的值.
题型八：关于勾股定理在实际中的应用：
例
1
、如图，公路
MN
和公路
PQ
在
P
点处交汇，点
A
处有一所中 学，
AP=160
米，点
A
到公路
MN
的距
离为< br>80
米，
假使拖拉机行驶时，
周围
100
米以内会受到噪音影 响，
那么拖拉机在公路
MN
上沿
PN
方向行
驶时，学校是否 会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是
18
千米
/
小 时，那么学校
受到影响的时间为多少？
例
2 .
一辆装满货物高为
1.8
米，宽
1.5
米的卡车要通过一个直径为
5
米的半圆形双向行驶隧道，它能顺利
通过吗？
跟踪练习：
1.
某 市气象台测得一热带风暴中心从
A
城正西方向
300
km
处，以每小 时
26
km
的速度向北偏东
60
°方向
移动，距风暴中心< br>200
km
的范围内为受影响区域。试问
A
城是否受这次风暴的影响？ 如果受影响，请
求出遭受风暴影响的时间；如果没有受影响，请说明理由。
2.
一辆装满货物的卡车
,
其外形高
2.5
米
,
宽
1.6
米
,
要开进厂门形状如下图 的某工厂
,
问这辆卡车能否通过该工
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厂的厂门
?
3.
有一个边长为
50dm
的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长？（结果保留整
数）
4 .
如图，
铁路上
A
，
B
两点相距
25km
，
C
，
D
为两村庄，
DA
⊥
AB
于
A
，
CB
⊥
AB
于
B
，
已知
D A=15km,CB=10km
，
现在要在铁路
AB
上建一个土特产品收购站
E
，使得
C
，
D
两村到
E
站的距离相等， 则
E
站应建在离
A
站
多少
km
处？
题型九：关于最短性问题
例
1
、如右图
1
－19
，壁虎在一座底面半径为
2
米，高为
4
米的油罐的下底边沿
A
处，它发现在自己的正
上方油罐上边缘的
B
处有一只害虫，便决定 捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而
是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害 虫进行突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美
餐．请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到 害虫
?
（
π
取
3.14
，结果保留
1
位小 数，可以用计算器计算）
例
2.
跟踪练习：
1.
如图为一棱长为3cm
的正方体，把所有面都分为
9
个小正方形，其边长都是
1cm，假设一只蚂蚁每秒爬
行
2cm
，则它从下地面
A
点沿表面爬行 至右侧面的
B
点，最少要花几秒钟？
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2.
如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于
5cm，
3cm
和
1cm
，
A
和
B
是这个台 阶的两
个相对的端点，
A
点上有一只蚂蚁，
想到
B
点去吃可 口的食物
.
请你想一想，
这只蚂蚁从
A
点出发，沿着台
阶面 爬到
B
点，最短线路是多少？
A
5
1
3
B
3.
一个长方体盒子的长、宽、高分别为
8cm
，< br>6cm
，
12cm,
一只蚂蚁想从盒底的
A
点爬到盒顶的B
点
,
你能
帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少 ？
B
4.
如图将一根
13.5
厘米长的细木 棒放入长、宽、高分别为
4
厘米、
3
厘米和
12
厘米的长方 体无盖盒子中，
能全部放进去吗？
A
A
？
A
？
3
题型十：勾股定理与特殊角
（一）
直接运用
30
°或
45
°的直角三角形
1.
如图，在△
ABC
中，∠
C = 90°
，∠
B = 30°
，
AD
是△
ABC
的角 平分线，若
AC=
2
3
，求
AD
的长。
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2.
如图，在△
ABC
中，∠
ACB = 90°
，
AD
是△
ABC
的角平分线，
C
D
⊥
AB
于
D
，∠
A= 30°
，
CD=2
，求
AB
的长。
3.
如图，在△
ABC
中，
A
D
⊥BC
于
D
，∠
B= 60°
，∠
,C= 45°
，
AC=2
，求
BD
的长。
（二）
作垂线构造
30
°或
45
°的直角三角形
（
1
）
将
105
°转化为
45
°和
60
°
1.
如图，在△
ABC
中，∠
B= 45°
，∠
A =105
°，
AC=2
，求
BC
的长。
2.
如图，在四边形
ABCD
中，∠
A=
∠
C=
45°
，∠
ADB=
∠
ABC=105
°
,
⑴若
AD=2,
求
AB
的长；⑵若
AB+CD=
2
3
+2
，求
AB
的长。
C
D
A
B
（
2
）将
75
°转化为
30
°和
45
°
3.
如图，在△
ABC
中，∠
B= 45°
，∠
BAC=75
°，
AB=
6
，求
BC
的长。