一次函数与图形变换
余年寄山水
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2021年01月28日 14:37
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王力宏依然爱你歌词-丰田管理
一次函数与图形变换（含答案）
1
．
（
2011
•
苏州）如图，巳知
A
点坐标为（
5
，
0
）
，直线
y=x+b
（
b
＞
0
）与
y
轴交 于点
B
，连接
AB
，∠
α
=75
°
，则< br>b
的值为（
）
A
．
3
B
．
C
．
4
D
．
1
2
3
2
．
（
2013< br>•
重庆）如图，平面直角坐标系中，已知直线
y=x
上一点
P
（
1
，
1
）
，
C
为
y
轴上一点， 连接
PC
，线段
PC
绕点
P
顺时针旋转
90
°
至线段
PD
，
过点
D
作直线
AB
⊥< br>x
轴，
垂足为
B
，
直线
AB
与直线
y=x
交于点
A
，
且
BD=2AD
，
连接
CD
，直线
CD
与直线
y=x
交于点
Q
，则点Q
的坐标为
．
3
．
（
2013
•
湖州）
如图，
已知点
A
是第一象限内横坐标为
2
的一个定点，AC
⊥
x
轴于点
M
，
交直线
y=
﹣< br>x
于点
N
．
若
点
P
是线段
ON上的一个动点，∠
APB=30
°
，
BA
⊥
PA
，则点
P
在线段
ON
上运动时，
A
点不变，
B< br>点随之运动．求
当点
P
从点
O
运动到点
N
时 ，点
B
运动的路径长是
．
4
．
（
2013•
义乌市）如图，直线
l
1
⊥
x
轴于点
A（
2
，
0
）
，点
B
是直线
l
1
上的动点．直线
l
2
：
y=x+1
交
l
1
于点
C
，过
点
B
作直线
l
3
垂 直于
l
2
，垂足为
D
，过点
O
，
B
的直线
l
4
交
l
2
于点
E
，当直线l
1
，
l
2
，
l
3
能围成三角形时， 设该三
角形面积为
S
1
，当直线
l
2
，
l
3
，
l
4
能围成三角形时，设该三角形面积为
S
2
．
（
1
）若点
B
在线段
AC
上 ，且
S
1
=S
2
，则
B
点坐标为
；
（
2
） 若点
B
在直线
l
1
上，且
S
2
=
S
1
，则∠
BOA
的度数为
．
4
5
5
．
（
2011
•
深圳）如图，
△
ABC
的内心在< br>y
轴上，点
C
的坐标为（
2
，
0
）
，点
B
的坐标是（
0
，
2
）
，直线
AC< br>的解析
式为
，则
tanA
的值是
．
第
1
页（共
26
页）
< br>6
．
（
2011
•
攀枝花）如图，已知直线
l
1
：
与直线
l
2
：
y=
﹣
2 x+16
相交于点
C
，直线
l
1
、
l
2< br>分别交
x
轴于
A
、
B
两点，矩形
DEFG< br>的顶点
D
、
E
分别在
l
1
、
l2
上，顶点
F
、
G
都在
x
轴上，且点
G
与
B
点重合，那么
S
矩形
DEFG
：
S
△
ABC
=
．
6
7
7
．
（
2007
•
南平）如图，直线
y =
x+4
与
x
轴、
y
轴分别交于
A
、B
两点，点
C
在
OB
上，若将
△
ABC
沿
AC
折叠，
使点
B
恰好落在
x
轴上的点
D
处，则点
C
的坐标是
．
8
．
（
2015
•
黑龙江 ）如图，四边形
OABC
是矩形，点
A
、
C
在坐标轴上，< br>△
ODE
是
△
OCB
绕点
O
顺时针旋转90
°
2
得到的，点
D
在
x
轴上，直线
BD
交
y
轴于点
F
，交
OE
于点
H，线段
BC
、
OC
的长是方程
x
﹣
6x+8= 0
的两个根，
且
OC
＞
BC
．
（
1
）求直线
BD
的解析式；
（
2
）求
△
OFH
的面积；
（
3
）点
M
在坐标轴上，平面内是否存在点
N
，使以点
D、
F
、
M
、
N
为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接 写出
点
N
的坐标；若不存在，请说明理由．
9
．
（
2014
•
新疆）如图，直线
y=
﹣
x+8
与
x
轴交于
A
点，与
y
轴交于< br>B
点，动点
P
从
A
点出发，以每秒
2
个单位
的速度沿
AO
方向向点
O
匀速运动，
同时动点
Q< br>从
B
点出发，
以每秒
1
个单位的速度沿
BA
方向向点
A
匀速运动，
当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接
P Q
，设运动时间为
t
（
s
）
（
0
＜
t
≤
3
）
．
（
1
）写出
A
，
B
两点的坐标；
（
2
）设
△
AQP
的面积为
S
，试求出
S
与
t
之间的函数关系式；并求出当
t
为何值时，
△
AQP
的面积最大？
（
3
）当
t
为何值时，以 点
A
，
P
，
Q
为顶点的三角形与
△
ABO
相似，并直接写出此时点
Q
的坐标．
第
2
页（共
26
页）
10
．
（
2013
•
泉州）如图，直线
y=
﹣
x+2
分别与
x
、
y
轴交于点
B
、
C，点
A
（﹣
2
，
0
）
，
P
是 直线
BC
上的动点．
（
1
）求∠
ABC
的大小；
（
2
）求点
P
的坐标，使∠
APO=30
°
；
（< br>3
）在坐标平面内，平移直线
BC
，试探索：当
BC
在不同位 置时，使∠
APO=30
°
的点
P
的个数是否保持不变？若
不变，指出点
P
的个数有几个？若改变，指出点
P
的个数情况，并简要说明理 由．
11
．
（
2013
•
牡丹江）如图，平面直角坐标系中，矩形
OABC
的对角线
AC=12，
tan
∠
ACO=
，
（
1
）求
B
、
C
两点的坐标；
（
2
）把矩形沿直线
DE
对折使点
C
落在点
A处，
DE
与
AC
相交于点
F
，求直线
DE的解析式；
（
3
）若点
M
在直线
DE
上，平面内是否存在点
N
，使以
O
、
F
、
M、
N
为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写
出点
N
的坐标； 若不存在，请说明理由．
12
．
（
2010
•
双流县）如图，一次函数的图象与
x
轴、
y
轴 分别交于
A
、
B
两点，且
A
、
B
两点的坐 标分别为（
4
，
0
）
，
（
0
，
3
）
．
（
1
）求一次函数的表达式．
（
2
）点
C
在线段
OA
上，沿
BC
将
△
OBC
翻折，
O
点恰好落在
AB
上的
D
处，求直线
BC
的表达式．
第
3
页（共
26
页）
13
．
（
2011
•
黑龙江）如图，直线
AB
与坐标轴分别交于点
A
、点
B
，且
OA
、
OB
的长分别为方程
x
﹣
6x+8=0
的两
个根（
OA
＜
OB
）
，点
C
在
y
轴上，且
OA
：
A C=2
：
5
，直线
CD
垂直于直线
AB
于点
P
，交
x
轴于点
D
．
（
1
）求出点
A
、点
B
的坐标．
（
2
）请求出直线
CD
的解析式．
（
3
）若点
M
为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点
M
，使以点
B
、
P
、
D
、
M
为顶点的四边形
是平行四边形？若存在，请直接写出点
M
的坐标；若不存在，请说明理由．
2
14
．
（
2013
•
济南）如图，点
A
的坐标是（﹣
2
，
0
）
，点
B
的坐标是（
6
，
0
）
，点
C
在第一象限内且
△
OBC
为等边三
角形，直线
BC
交
y
轴于点
D
，过点
A
作直线
AE
⊥
BD
，垂足为
E
，交
OC
于 点
F
．
（
1
）求直线
BD
的函数表达式；
（
2
）求线段
OF
的长；
（
3
）连接
BF
，
OE
，试判断线段
BF
和
OE
的数量关系，并说明理由．
答案
< br>1
．
（
2011
•
苏州）如图，巳知
A
点坐 标为（
5
，
0
）
，直线
y=x+b
（
b< br>＞
0
）与
y
轴交于点
B
，连接
AB
，∠
α
=75
°
，则
b
的值为（
）
第
4
页（共
26
页）
A
．
3
B
．
C
．
4
D
．
【考点】
一次函数综合题．
【专题】
综合题；压轴题．
【分析】
根据三角函数求出点
B
的坐标，代入直线
y=x+b
（
b
＞
0
）
，即可求得
b
的值．
【解答】
解：由直线
y=x+b< br>（
b
＞
0
）
，可知∠
1=45
°
，
∵∠
α
=75
°
，
∴∠
AB O=180
°
﹣
45
°
﹣
75
°
=60< br>°
，
∴
OB=OA
÷
tan
∠
A BO=
∴点
B
的坐标为（
0
，
∴
b=
．< br>
．
）
，
故选：
B
．
【点评】
本题灵活考查了一次函数点的坐标的求法和三角函数的知识，
注意 直线
y=x+b
（
b
＞
0
）
与
x
轴的夹角为
45
°
．
二．填空题（共
6
小题）
2
．
（
201 3
•
重庆）如图，平面直角坐标系中，已知直线
y=x
上一点
P（
1
，
1
）
，
C
为
y
轴上一 点，连接
PC
，线段
PC
绕点
P
顺时针旋转
90< br>°
至线段
PD
，
过点
D
作直线
AB
⊥
x
轴，
垂足为
B
，
直线
AB
与直线y=x
交于点
A
，
且
BD=2AD
，
连接CD
，直线
CD
与直线
y=x
交于点
Q
，则点
Q
的坐标为
（
，
）
．
【考点】
一次函数综合题．
【专题】
压轴题．
【分析】
过
P
作
MN
⊥
y
轴，
交
y
轴于
M
，
交
AB
于
N
，
过
D
作
DH
⊥
y
轴，
交
y
轴于
H
，
∠
CMP=
∠
DNP=
∠
CPD=9 0
°
，
求出∠
MCP=
∠
DPN
，证
△< br>MCP
≌△
NPD
，推出
DN=PM
，
PN=CM< br>，设
AD=a
，求出
DN=2a
﹣
1
，得出
2a
﹣
1=1
，求
出
a=1
，得出
D
的坐 标，在
Rt
△
DNP
中，由勾股定理求出
PC=PD=
，在
Rt
△
MCP
中，由勾股定理求出
CM=2
，
得出
C
的坐标，设直线
CD
的解析式是
y=kx+3
，把
D
（
3
，
2
）代入求出直线
CD
的解析式，解由 两函数解析式组成
的方程组，求出方程组的解即可．
【解答】
解：
过
P
作
MN
⊥
y
轴，交
y
轴于< br>M
，交
AB
于
N
，过
D
作
DH⊥
y
轴，交
y
轴于
H
，
∠
CMP=
∠
DNP=
∠
CPD=90
°
，
∴∠
MCP+
∠
CPM=90
°
，∠
MPC+
∠
DPN=90
°
，
第
5
页（共
26
页）
∴∠
MCP=
∠
DPN
，
∵
P
（
1
，
1
）
，
∴
OM=BN=1
，
PM=1
，
在
△
MCP
和
△
NPD
中
< br>∴△
MCP
≌△
NPD
（
AAS
）
，
∴
DN=PM
，
PN=CM
，
∵
BD=2AD
，
∴设
AD=a
，
BD=2a
，
∵
P
（
1
，
1
）
，
∴
DN=2a
﹣
1
，
则
2a
﹣
1=1
，
a=1
，即
BD=2
．
∵直线
y=x
，
∴
AB=OB=3
，
在
Rt
△
DNP
中，由勾股定理得：
PC=PD=
在
Rt
△
MCP
中，由勾股定理得：
CM=
则
C< br>的坐标是（
0
，
3
）
，
设直线
CD
的解析式是
y=kx+3
，
把
D
（
3
，
2
）代入得：
k=
﹣
，
即直线
CD
的解析式是
y=
﹣
x+3
，
=2
，
=
，
即方程组
得：
，
即
Q
的坐标是（
，
）
，
故答案为：
（
，
）
．
【点评】
本题考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，全等三角形的性质和判定，解方程组，勾股定理，旋转
的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度．
第
6
页（共
26
页）
3
．
（
2013
•
湖州）
如图，
已知点
A
是第一象限内横坐标为
2
的一个定点，
AC
⊥< br>x
轴于点
M
，
交直线
y=
﹣
x
于点
N
．
若
点
P
是线段
ON
上的一个动点，∠
APB=30
°
，
BA
⊥
PA
，则点
P< br>在线段
ON
上运动时，
A
点不变，
B
点随之运动．求
当点
P
从点
O
运动到点
N
时，点
B
运动的路径长是
．
【考点】
一次函数综合题．
【专题】
压轴题．
【分析】
（
1
）首先，需要证明线段
B
0
B
n就是点
B
运动的路径（或轨迹）
，如答图
②
所示．利用相似三角 形可以证
明；
（
2
）其次，如答图
①
所示，利用 相似三角形
△
AB
0
B
n
∽△
AON
，求 出线段
B
0
B
n
的长度，即点
B
运动的路径长．< br>
【解答】
解：由题意可知，
OM=
，点
N
在直线< br>y=
﹣
x
上，
AC
⊥
x
轴于点
M< br>，则
△
OMN
为等腰直角三角形，
ON=
OM=
×< br>=
．
如答图
①
所示，设动点
P
在
O
点（起点）时，点
B
的位置为
B
0
，动点P
在
N
点（终点）时，点
B
的位置为
B
n，
连接
B
0
B
n
∵
AO
⊥
AB
0
，
AN
⊥
AB
n
，∴∠
O AC=
∠
B
0
AB
n
，
又∵
A B
0
=AO
•
tan30
°
，
AB
n=AN
•
tan30
°
，∴
AB
0
：
AO=AB
n
：
AN=tan30
°
（此处也可用
30°
角的
Rt
△
三边长的关系来求
得）
，
∴△
AB
0
B
n
∽△
AON
，且相似比为tan30
°
，
∴
B
0
B
n
=ON
•
tan30
°
=
现在来证明线段
B< br>0
B
n
就是点
B
运动的路径（或轨迹）
．
如答图
②
所示，当点
P
运动至
ON
上的任一点时， 设其对应的点
B
为
B
i
，连接
AP
，
AB
i
，
B
0
B
i
∵
AO
⊥
AB
0
，
AP
⊥
AB
i
，∴∠
OAP=
∠
B
0
AB
i
，
又∵
AB
0
=AO
•
tan30
°
，
AB
i< br>=AP
•
tan30
°
，∴
AB
0
：
AO=AB
i
：
AP
，
∴△
AB
0< br>B
i
∽△
AOP
，∴∠
AB
0
B
i
=
∠
AOP
．
又∵△
AB
0
B
n
∽△
AON
，∴∠
AB
0
B
n
=
∠
AOP
，
∴∠
AB
0
B
i
=
∠
AB
0
B
n
，
∴点
B
i
在线段
B
0
B
n
上，即线段
B0
B
n
就是点
B
运动的路径（或轨迹）
．
< br>综上所述，点
B
运动的路径（或轨迹）是线段
B
0
B
n
，其长度为
．
故答案为：
．
×
=
．
第
7
页（共
26
页）
【点 评】
本题考查坐标平面内由相似关系确定的点的运动轨迹，难度很大．本题的要点有两个：首先，确定点
B
的
运动路径是本题的核心，
这要求考生有很好的空间想象能力和分析问题的 能力；其次，由相似关系求出点
B
运动路
径的长度，可以大幅简化计算，避免陷入坐标 关系的复杂运算之中．
4
．
（
2013•
义乌市）如图，直线
l
1
⊥
x
轴于点
A（
2
，
0
）
，点
B
是直线
l
1
上的动点．直线
l
2
：
y=x+1
交
l
1
于点
C
，过
点
B
作直线
l
3
垂 直于
l
2
，垂足为
D
，过点
O
，
B
的直线
l
4
交
l
2
于点
E
，当直线l
1
，
l
2
，
l
3
能围成三角形时， 设该三
角形面积为
S
1
，当直线
l
2
，
l
3
，
l
4
能围成三角形时，设该三角形面积为
S
2
．
（
1
）若点
B
在线段
AC
上 ，且
S
1
=S
2
，则
B
点坐标为
（
2
，
0
）
；
（
2
）若点
B
在直线
l
1
上，且
S
2
=
S
1
，则∠
BOA
的度数为
15
°
或
75
°
．
【考点】
一次函数综合题．
【专题】
压轴题．
【分析】
（
1
）设
B
的坐标是（
2
，
m< br>）
，则
△
BCD
是等腰直角三角形，即可表示出
S
1
，求得直线
l
1
的解析式，解方程
组即可求得
E
的 坐标，则
S
2
的值即可求得，根据
S
1
=S
2，即可得到一个关于
m
的方程从而求得
m
的值；
（< br>2
）分类讨论，根据
S
2
=
S
1
，即可得到 一个关于
m
的方程从而求得
m
的值，根据勾股定理，求得角的度数．
【解答】
解：
（
1
）设
B
的坐标是（
2< br>，
m
）
，
∵直线
l
2
：
y=x+1
交
l
1
于点
C
，
∴∠
ACE=45
°
，
∴△
BCD
是等腰直角三角形．
BC=|3
﹣
m|
，
则
BD=CD=
S
1
=
×
（
BC=
2
|3
﹣
m|< br>，
2
|3
﹣
m|
）
=
（
3
﹣
m
）
．
设直线
l
4
的解析 式是
y=kx
，过点
B
，
则
2k=m
，解得：
k=
，
则直线
l
4
的解析式是
y=
x
．
第
8
页（共
26
页）
根据题意得：
，解得：
，
则
E
的坐标是（
，
）
．
S
△< br>BCE
=
BC
•
|
|=
|3
﹣
m|
•
|
|=
．
∴
S
2
=S
△
BCE
﹣
S
1
=
﹣
（
3
﹣< br>m
）
2
．当
S
1
=S
2
时，
﹣
（
3
﹣
m
）
=
（
3
﹣
m
）
．
2
2
解得：
m
1
=4
或
m
2
=0
，
易得点
C
坐标为 （
2
，
3
）
，即
AC=3
，
∵点
B
在线段
AC
上，
∴
m
1
=4
不合题意舍去，
则
B
的坐标是（
2
，
0
）
；
（
2
）分三种情况：
①
当点
B
在线段
AC
上时
当
S
2
=
S
1
时，
﹣
（
3
﹣
m
）
2
=
（
3
﹣
m
）
2
．
解得：
m=4
﹣
2
或
2
（不在线段< br>AC
上，舍去）
，或
m=3
（
l2
和
l4< br>重合，舍去）
．
则
AB=4
﹣
2
．
在
OA
上取点
F
，使
OF=BF
，连接
BF，设
OF=BF=x
．
则
AF=2
﹣
x
，根据勾股定理，
，
解得：
，
∴
sin
∠
BFA=
，
∴∠
BFA=30
°
，
∴∠
BOA=15
°
；
②
当点
B
在
AC
延长线上时，
此时，
当
S
2
=
S
1
时，得：
，
解得符合题意有：
AB=4+2
．
在
AB
上取点
G
，使
BG=OG
，连接
OG
，设
BG=OG=x
，
则
AG=4+2
﹣
x
．根据勾股定理，得
，
解得：
x=4
，
第
9
页（共
26
页）
∴
sin
∠
OGA=
，
∴∠
OGA=30
°
，
∴∠
OBA=15
°
，
∴∠
BOA=75
°
；
③
当点
B
在
CA
延长线上时
此时，
，
当
S
2
=
S
1
时，得：
，
解得：
m=3
（
l
2
和
l
4
重合，舍 去）
，
∴此时满足条件的点
B
不存在，
综上所 述，∠
BOA
的度数为
15
°
或
75
°
．
【点评】
本题考查了一次函数与勾股定理的应用， 三角形的面积，正确表示出
S
2
是关键．
5
．
（
2011
•
深圳）如图，
△
ABC
的 内心在
y
轴上，点
C
的坐标为（
2
，
0
）
，点
B
的坐标是（
0
，
2
）
，直线
AC
的解析
式为
，则
tanA
的值是
．
第
10
页（共
26
页）
【考点】
一次函数综合题．
【专题】
压轴题．
【分析】
根据三角形内心的特点知∠
ABO=
∠
CBO
，根 据点
C
、点
B
的坐标得出
OB=OC
，∠
OBC= 45
°
，∠
ABC=90
°
可知
△
ABC
为直角三角形，
BC=2
，然后根据两点间距离公式及勾股定理得出点
A
坐标 ，从而得出
AB
，即可得
出答案．
【解答】
解：根据三角 形内心的特点知∠
ABO=
∠
CBO
，
∵已知点
C
、点
B
的坐标，
∴
OB=O C
，∠
OBC=45
°
，∠
ABC=90
°
可知< br>△
ABC
为直角三角形，
BC=2
，
∵点
A
在直线
AC
上，设
A
点坐标为（
x
，
x
﹣
1
）
，
根据两点距离公式可得：
A B
=x
+
AC
=
（
x
﹣
2
）+
在
Rt
△
ABC
中，
2
2
2
AB
+BC
=AC
，
解 得：
x=
﹣
6
，
y=
﹣
4
，
∴
AB=6
，
∴
tanA=
=
=
．
2
2
2
2
，
，
故答案为：
．
【点评】
本题主要考查了三角形内心的特点，两点间 距离公式、勾股定理，综合性较强，难度较大．
6
．
（
2011
•
攀枝花）如图，已知直线
l
1
：
与直 线
l
2
：
y=
﹣
2x+16
相交于点< br>C
，直线
l
1
、
l
2
分别交
x轴于
A
、
B
两点，矩形
DEFG
的顶点
D、
E
分别在
l
1
、
l
2
上，顶点F
、
G
都在
x
轴上，且点
G
与
B点重合，那么
S
矩形
DEFG
：
S
△
ABC< br>=
8
：
9
．
【考点】
一次函数综合题．
【专题】
压轴题．
第
11
页（共
26
页）
【分析】把
y=0
代入
l
1
解析式求出
x
的值便可求出 点
A
的坐标．令
x=0
代入
l
2
的解析式求出点< br>B
的坐标．然后可
求出
AB
的长．
联立方程组可求出交点C
的坐标，
继而求出三角形
ABC
的面积，
再利用
x< br>D
=x
B
=8
易求
D
点坐标．
又
已 知
y
E
=y
D
=8
可求出
E
点坐标．故可 求出
DE
，
EF
的长，即可得出矩形面积．
【解答】
解：由
x+
=0
，得
x=
﹣
4
．
∴
A
点坐标为（﹣
4
，
0
）
，
由﹣
2x+16=0
，得
x=8
．
∴
B
点坐标为（
8
，
0
）
，
∴
AB=8
﹣（﹣
4
）
=12
．
由
，解得
，
∴
C
点的坐标为（
5
，
6
）
，
∴
S
△
ABC
=
AB
•
C=
×< br>12
×
6=36
．
∵点
D
在
l< br>1
上且
x
D
=x
B
=8
，
∴
y
D
=
×
8+
=8
，
∴
D
点坐标为（
8
，
8
）
，
< br>又∵点
E
在
l
2
上且
y
E
=yD
=8
，
∴﹣
2x
E
+16=8
，
∴
x
E
=4
，
∴
E
点坐标为（
4
，
8
）
，
∴
DE=8
﹣
4=4
，
EF=8
．
∴矩形面积为：
4
×
8=32
，
∴
S< br>矩形
DEFG
：
S
△
ABC
=32
：
36=8
：
9
．
故答案为：
8
：
9
．
【点评】
此题主要 考查了一次函数交点坐标求法以及图象上点的坐标性质等知识，根据题意分别求出
C
，
D
两点的
坐标是解决问题的关键．
7
．（
2007
•
南平）如图，直线
y=
x+4
与
x
轴、
y
轴分别交于
A
、
B
两点，点
C< br>在
OB
上，若将
△
ABC
沿
AC
折叠，使点
B
恰好落在
x
轴上的点
D
处，则点
C的坐标是
（
0
，
1.5
）
．
【考点】
一次函数综合题．
【专题】
压轴题．
【分析】
利用三角形全等性质．
【解答】
解：由题意得：
A
（﹣
3
，
0
），
B
（
0
，
4
）
；
∴OA=3
，
OB=4
．那么可得
AB=5
．
易得
△
ABC
≌△
ADC
，∴
AD=AB=5
，∴
OD=AD
﹣
OA=2
．
第
12
页（共
26
页）
设
O C
为
x
．那么
BC=CD=4
﹣
x
．那么
x
+2
=
（
4
﹣
x
）
，
解得
x=1.5
，
∴
C
（
0
，
1.5
）
．
【点评】
本题用到的知识点为：翻折前后的三角形全等．
三．解答题（共
7
小题）
8
．
（
201 5
•
黑龙江）如图，四边形
OABC
是矩形，点
A
、
C
在坐标轴上，
△
ODE
是
△
OCB
绕点
O
顺时针旋转
90
°
得
2
到的，点
D
在
x
轴上，直线
BD
交
y
轴于点
F
，交OE
于点
H
，线段
BC
、
OC
的长是方程x
﹣
6x+8=0
的两个根，
且
OC
＞
BC< br>．
（
1
）求直线
BD
的解析式；
（
2
）求
△
OFH
的面积；
（
3
）点
M
在坐标轴上，平面内是否存在点
N
，使以点
D、
F
、
M
、
N
为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接 写出
点
N
的坐标；若不存在，请说明理由．
2
2
2
【考点】
一次函数综合题．
【专题】
压轴题．
【分析】
（
1
）解方程可求得
OC
、
BC
的长，可求得
B
、
D
的坐标， 利用待定系数法可求得直线
BD
的解析式；
（
2
）可求得
E
点坐标，求出直线
OE
的解析式，联立直线
BD
、
OE
解析式可求得
H
点的横坐标，可求得
△
OFH
的面积；
（
3
）当
△
MFD
为直角三角形时， 可找到满足条件的点
N
，分∠
MFD=90
°
、∠
MDF= 90
°
和∠
FMD=90
°
三种情况，分
别求得
M
点的坐标，可分别求得矩形对角线的交点坐标，再利用中点坐标公式可求得
N
点坐标．
【解答】
解：
2
（
1
）解方程
x
﹣
6x+8=0
可得
x=2
或
x=4
，
2
∵
BC
、
OC
的长是方程
x
﹣6x+8=0
的两个根，且
OC
＞
BC
，
∴
BC=2
，
OC=4
，
∴
B
（﹣
2
，
4
）
，
∵△
ODE
是
△
OCB
绕点
O
顺时针旋转
90
°
得到的，
∴
OD=OC=4
，
DE=BC=2
，
∴
D
（
4
，
0
）
，
设直线
BD
解析式为
y=kx+b
，
把
B
、
D
坐标代入可得
，解得
，
∴直线
BD
的解析式为
y=
﹣
x+
；
< br>（
2
）由（
1
）可知
E
（
4
，2
）
，
设直线
OE
解析式为
y=mx
，
把
E
点坐标代入可求得
m=
，
第
13
页（共
26
页）