电子商务策划方案-故事在线

2021年1月28日发(作者：空城计简介)
1
）如图
1
，点
O
是线段
AD
的中点，分 别以
AO
和
DO
为边在线段
AD
的同侧作等边三角
形
OAB
和等边三角形
OCD
，连接
AC
和
BD< br>，相交于点
E
，连接
BC
．求∠
AEB
的大小；
（
2
）
如图
2
，
△
OAB
固定不动，
保持△
OCD
的形状和大小不变，
将△
OCD
绕 点
O
旋转
（△
OAB
和△
OCD
不能重叠），求∠
AEB
的大


（
1
）：根据已知条件可知，可得 出三个全等的等边三角形。即
OCDOABOBC
在三角形
CDA
中，O
是
AD
的中点，
CD=OC=1/2AD,
所以三角形
DCA
是特殊直角三
角形，角
CAD
＝
30
度。所以角< br>BAC
也得
30
度，角
DBA
是直角，所以角
AEB =60
度。


（
2
）：只要证明三角形
OBC
与三角形
OBD
全等即可。条件为“
边角边
”

即：
OA=OB
OC=OD
角
AOC=
角
BOD(
提示：角
BOC
是它们的公共角
)
当证出两 个三角形全等后，即可得出角
OBD=
角
OAC,
而在原等边三角形
OAB
中，

角
OAB+
角
OBA=60+60=120 ,
即可推出在三角形
BEA
中，角
EAB+
角
EBA=12 0
度，故
角
ABE=60.
结论：无论如何旋转，只要不重叠，均为
60
度。

1.
以 下有
4
个命题
:1.
两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形不一定是< br>全等三角形
2.
两边和第三边上的高对应相等的两个
锐角三角形
不一定 是
全等三角形

3.
两边和第三边上的
高对应相等的两个三角形是< br>全等三角形
4.
两边和其中一边所对的角对应相等的两个三角形
不一定是全等三 角形。其中正确的是哪

两个？

2.
在直角三角形
ABC
中，∠
BAC=90°
，
AB=AC,D
为
AC
的 中点，
AE
⊥
BD
交
BC
于
E
，连
接
ED
，若

角
BDE=α,
∠
ADB
的大小是多少（用含
α
的式子表示）

3.
△
ABC
中，∠
BAC=120°
，
AD
⊥
BC
于
D，且
AB+BD=DC
，∠
C
的大小是多少？（求∠
C
的度数）

答案：
1.1
和
42.90°
－
α／
23.20°
如图，
AB=AC
。点
D.E
是
BC
的三等分点，
AD=AE
求证：
三角形
ABE
全等于 三角形
ACD

如图：
AD////=PQ.
求证：
DP=BN


1
∵
AB=AC,
点
D.E
是
BC
的三 等分点
,AD=AE
∴
BD=EC
∴
BD+DE=CE+DE
即
BE=CE
△
ABE
≌△
ACD
2
∵
AB//DC,AD//BC
∴∠
MPD=
∠
QNB,
∠
M=
∠
Q
∵
MN=PQ
∴
MN+NP=PQ+NP
即
MP=NQ
∴△
MDP
≌△
QBN
∴
DP=BN
如图，< br>AB=CD
，
AE
⊥
BC
，
DF
⊥
BC
，
CE=BF
，求证
AE=DF
。

向左转
|
向右转



解：因为：
AE< br>垂直于
BC
，
DF
垂直于
BC







所以：角
CFD=
角
DFE=
角
AEB=90
度





所以：三角形
AEB
与三角形
DFC
为直角三角形





又：
CE=BF







所以：
CE-EF=BF-EF







所以：
BE=CF







在直角三角形
AEB
与直角三角形
DFC
中：





AB=CD







BE=CF







所以：

直角三角形
AEB
全等于直角三角形
D FC
（
HL
）





所以：
AE=DF

如图所示，
A
、
B
、
C
、
D
在同一直线上且△
ABF
≌△
DCE < br>求证，
AF
∥
DE
，
BF
∥
CE
，
AC=BD


∵△
ABF
≌△
DCE
∴∠
A=
∠
D
∴
AF
∥
DE
（内错角相等，两直线平行）


∵△
ABF
≌△
DCE
∴∠
ABF=
∠
DCE,
180-
∠
ABF=180-
∠
DCE







∠
FBC=
∠
BCE
∴
BF
∥
CE
（内错角相等，两直线平行）


∵△
ABF
≌△
DCE
∴
AB=CD

AB+BC=CD+BC
∴
AC=BD
如图，
AB//DC，点
E
、
F
在
BD
上，
BE=DF
。 求证：
AE//CF

AB=DC
∵

AB//CD
∴∠
ABE=
∠
CDF
又∵
BE=DF
∴△
ABE
、△
CDF
全等

∴∠
AEB=
∠
DFC
∴∠
AEF=
∠
CFE
∴
AE//CF
在△< br>ABC
中，
AD
平分∠
BAC
交
BC
于D
，
EF
∥
AD
，交
AC
于
E
，交
BA
的延长线于
F
。
求证：△
AEF
为等腰 三角形


EF
∥
AD
，

所以∠
F=
∠
BAD (
同位角相等
)
，且∠AEF=
∠
CAD(
内错角
相等
)
AD
平分∠
BAC
交
BC
于
D
，

所以∠
CAD=
∠
BAD
综上，∠
F=
∠
BAD=
∠
CAD=
∠
AEF
△
AEF
为等腰三角形

如图
,
已知
OA =OB,AC=BD,
且∠
A=
∠
B=90°
,M
为
CD
的中点
,
求证
:OM
⊥
CD

证明：如图，连接
OC
，
OD
，

在△
AOC
和△
BOD
中

OA=OB
，

∠
A=
∠
B=90°
，

AC=BD
，

∴△
AOC
≌△
BOD
（
SAS
）

∴
OC=OD
在等腰三角形
COD
中，
M
为
CD
的中点

所以
OM
是底线的中线，也是高（
三线合一
）

所以
OM
⊥
CD
轴对称：

点
(x,y )
关于
x
轴对称点的坐标为
_________,
点
(x, y)
关于
y
轴对称点的坐标为
__________,
点
( x,y)
关于直线
x=a
的对称点的坐标为
___________
。

点
(x,y)
关于
x
轴对称
点的坐标为：（< br>X,-y
）

点
(x,y)
关于
y
轴对称< br>点的坐标为：
(-x,y)
点
(x,y)
关于直线
x=a
的对称点的坐标为：

(2a-x,Y)
说明：关键是横坐标

（
X
，
Y),(a,Y),(?,Y)
三点的横坐标成等差数列，
x+?=2a,?=2a-x A
、
B
两点在直线
l
的同侧
,
点
A’
与
A
关于直线
l
对称
,
连接
A’B
交
l
与
P
点
,
设
A’B=a

(1)
求
AP+PB
；（
2
）若点
M
是直线
l
上异于
P
点的任意一点，求证：
AM+MB
＞
AP+P B
=A'P
AP+PB=A'P+BP=A'B=a
2.
连接
BMA'
AM=A'M
BM+A'M>AP+PB(
三角形两边之和大于第三边）

BM+AM>AP+PB(
等量代换）

如图在三角形
ABC
中，
AB=AC
，
DE
分别在
AB,AC
上，且
BD=DE=AE
，
BE=BC
，你能求
出角
A
的度数吗< br>

解：设∠
DBE
＝
x
∵
BD=DE
∴∠
ADE=2x
∵
DE=AE
∴∠
A=
∠
ADE=2x
∴∠
BEC =
∠
ABE +
∠
A =3x
∵
BE=BC
∴∠
C =
∠
BEC =3x
∵
AB =AC

∴∠
ABC =
∠
C =3x
在△
ABC
中，∠
A+
∠
ABC+
∠
C=180°

∴
2x+3x+3x=180°

8x=180°

∴
2x=45°

∴∠
A=45°

如图，点A
是
BC
上的一点，△
ABD
、△
ACE
都是 等边三角形。

求证：（
1
）
AM=AN






(2) MN
∥
BC
（
1
）证明：

∵△
ABD
和△
ACE
都是等边三角形

∴
AB=AD
，
AE=AC
，∠
BAD=
∠
EAC=60°

∵∠
BAC
是
平角
，

∴∠
DAE=60°

∠
BAD+
∠
DAE=∠
EAC+
∠
DAE=60°
+60°

∠
BAE=
∠
DAC=120°

∴在△
ABE
和△
DAC
中

﹛
BA=DA














﹜





































﹛∠
BAE=
∠
DAC



﹜



＝＞△
ABE
≌△
DAC



(SAS)














































﹛
EA=AC













﹜



∴∠
EBA=
∠
CDA







﹜

∵∠
BAM=
∠< br>DAN=60°
﹜∴△
BAM
≌△
DAN (ASA)
BA=DA




















﹜

∴
AM=AN
（
2
）证明：

∵
AM=AN
，∠
MAN=60°

∴△
ANM
是等边三角形

∴∠
AMN=
∠
BAM=60°

∴
MN
∥
BC
（
内错角
相等两直线平行
)
已知△
ABC
中，< br>AB=AC
∠
BAC=120°
,EF
为
AB
的垂直 平分线，
EF
交
BC
于
F
，
交
AB
于
E,
求证：
bf=1/2FC
。

连接
AF
∵∠
BAC=120°
,AB=AC
∴∠
B=
∠
C=30°

∵
EF
垂直平分
AB
∴
AF=BF
∴∠
BAF=
∠
B=30°

∴∠
CAF=90°

∴
AF=1/2×
CF
∴
BF=1/2×
CF
1.
已知直角坐标系中两点
A（
k
，
-2
），
B
（
2
，
t
）。求下列条件下
k
，
t
的值：

（
1< br>）点
A
，
B
关于
x
轴对称

（2
）点
A
，
B
关于
y
轴对称

⑴关于
X
轴对称
，横坐标相等，纵坐标相反。

∴
k=2


t=2
⑵关于
Y
轴对称
，横坐标相反，纵坐标相等。

∴
k=
－
2



t=
－
2
在△
ABC
中，∠
C
为直角，
BC=AC
，
BD
是∠
ABC
的平分线，
AE⊥
BD,
垂足为
E
，求证：
BD=2AE
作
DE
⊥
AB
因为
DE
⊥
AB,BD< br>为∠
B
的
角平分线
,
所以
CD=DE
又因 为在直角三角行
ADE
中
,
角
CAB=45
度
,< br>则
DE=AE
因为
BC=BE,CD=DE=AE,
所以
( CD+BC)^2=(BE+EA)^2=BA^2=2BC^2
则
CD^2-BC^2+2CD*BC=0
则
BC^2+CD^2=2BC^2-2CD*BC=2(BC-CD)*BC=2AD*BC
又由三角形
ABD
面积得
BD*AE=AD*BC
所以
BD^2=2AE*BD
则
BD=2AE

< br>如图所示，
已知三角形
abc
中，
角
acb=90
度 ，
d
是
bc
延长线上的一点，
e
是
ab
上 的一点，
且在
bd
的垂直平分线
eg
上
de
交ac
于
f
，试判断三角形
aef
的形状

因为
EM
是
BD
垂直平分线，所以
BE=DE
。所以角
B
等于角
D.
又因为角
ABC
等于
90
度，
所以角
B
加角
D
等于
90
度

角
D
加角
DFC
等于
90
度。
又因为角
DFC等于角
AFE,
所以角
A
加角
AFE
等于
90
度。所以三角形
AEF
是直角三角形

已知在数轴上点
A< br>对应的数为
5
，点
B
对应的数为
2
，若点
A
与点
B
关于数轴上的点
C
对
称，则点
C
对 应的数是
_____
。

5-2
等于两点绝对距离

平分为
1.5
5-1.5=2+1.5
为
3.5
如图 ，△
ABC
中，
D
在
AB
上，
E
在
AC
的延长线上，
BD=CE
，
DE
和
BC
交于 点
M
，
DM
=ME
，求证：△
ABC
是等腰三角形 。

解：过
E
作
EF
∥
AB
且交
BC
延长线于
F
．

∵
AB=AC
，

∴∠
B=
∠
ACB
∵
EF
∥
AB
∴∠
F=
∠
B
∵∠
ACB=
∠
FCE
∴∠
F=
∠
FCE
∴
CE=EF
∵
BD=CE
∴
BD=EF
在△
BDM
与△
FEM
中，

∠
B=∠
F
∠
DMB=
∠
EMFBD=EF
∴△
BDM
≌△
FEM
（
AAS
），

∴
MD=ME
．

在三角形
ABC
中，
P
为
BC
上一点，
PR
⊥
AB
于
R
，
PS
⊥
AC
于
S
，
AQ=PQ,PR=PS,< br>求证：
(1)AS=AR(2)PQ
平行
AR

证明：连
AP
因为
PR
⊥
AB
于
R，
PS
⊥
AC
于
S
，
PR=PS,
所以
AP
是角
BAC
的平分线，

所以三角形
ARP
全等于三角形
AQP,
所以
AR=AS,

因为
AQ=PQ,
所以角
PAQ=
角
APQ
又角
BAP=
角
PAQ
所以角
BAP=
角
APQ,
所以
PQ
平行
AR
如图，△
ABC
是等边三角形 ，△
BDC
是顶角∠
BDC=120
堵的等腰三角形，以
D
为顶点作
一个
60°
的角，角的两边分别交
AB
、
AC边于
M
、
N
两点，连接
MN
。探究：线段
BM
、
M
N
、
NC
之间的关系，并加以证明。


延长
AB
到
E
使
BE=NC

易证三角形
BED
全等三角形
CND



再证明
EDM
全等
NDM
（用
SAS


MD=MD

ED=ND
角
MDN=
角
MDE
因为角
MDN=60
角
BDM+
角
NDC



角
EDB=
角
NDC


所以角
MDN=
角
MDE
）

所以
EM
（
BE+mb)=MN




既
MN=BM+NC
直线
a
、
b
相交于点
O
，点
A
、
B
关于
a
对称，点
B
、
C
关于
b
对称，
OA=OB
。点
A
、
O
、
C
在一条直线上吗？为什么？



线段
AB
交
a
于
D
，线段
BC
交
b
于
E

1
、那么角
AOD+
角
A=90
度，角
BOD+
角
OBD=90
度

因为
AO=OB
所以角
A=
角
OBA
，所以角
AOD+
角
BOD=90
度

2
、又因为点
B
、
C
关于
b
对称，所以
BE=CE
，所以
RT
三角形< br>OEB
与
RT
三角形
OEC
全等（
边角边
），所以
OB=OC
，所以（证法与
1
相同）角
BOE+
角
EOC=90
度

3
、所以角
AOD+
角
BOD+
角
BOE+
角
EOC=180
度，因此
AOC在一条直线上


在△
ABC
中
,AB=AC,P、
Q
分别是
BC
、
AB
边上的点，且
AC=A P=PQ=BQ
。求∠
B
的度数

AB=BC

∠
B=
∠
BPQ=0.5
∠
APQ=0.5
∠
AQ P
∠
C=0.5(180-
∠
B)=
∠
APC
由于

∠
BPQ+
∠
APQ+
∠
C=180°

代入解得

∠
B=36°

如图，在等腰△
ABC
中，
CH
是底边上的高线，点
P
是线段
CH
上不与 端点重合的任意一
点，连结
AP
交
BC
于点
E
，连 结
BP
交
AC
于点
F
。

（
1< br>）证明：∠
CAE=
∠
CBF
（三线合一）

（2
）证明：
AE=BF
（△
ACE≡
△
BCF
）



1
、

因为
ABC
是等 腰三角形，且
CH
是高，
P
是
CH
上的一点
所以
AC=BC,
角
ACH=
角
BCH,CP
是公共线

边角边，证明三角形
ACP=BCP
所以角
CAE=CAP=CBP=CBF
2
、

因为角
CAE=CBF,AC=BC
，角
ACB
是公共角

角边角
，所以三角形
ACE=BCF
所以
AE=BF
如 图
,
在△
ABC
中
,AB=AC,BE
平分∠
AB C,DE
∥
BC,
求证
:DE=EC

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