整式乘除法的运算技巧
玛丽莲梦兔
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2021年01月28日 18:56
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班主任论坛发言稿-国庆画一等奖
（一）运用公式法：
我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。如果把乘法公式< br>反过来就是把多项式分解因式。于是有：
a^2-b^2=(a+b)(a-b)
a^2+2ab+b^2=(a+b)^2
a^2-2ab+b^2=(a-b)^2
如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因
式。这种分解因式的方法叫做运用公式 法。
（二）平方差公式
1
．平方差公式
（
1
）式子：
a^2-b^2=(a+b)(a-b)
（2
）语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个
数的差的积。这个公式就是平方差 公式。
（三）因式分解
1
．因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一
步分解。
2
．因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为
止。
（四）完全平方公式
（
1
）
把
乘
法< br>公
式
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
和
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
反过来，就可以得到：
a^2+2ab+b^2 =(a+b)^2
- 1 -
a^2-2ab+b^2 =(a-b)^2
这就是说，两个数的平方和，加上（或者减去 ）这两个数的
积的
2
倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。
把
a^2+2ab+b^2
和
a^2-2ab+b^2
这样的式子叫完全平方 式。
上面两个公式叫完全平方公式。
（
2
）完全平方式的形式和特点
①项数：三项
②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。
③有一项是这两个数的积的两倍。
（
3
）当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公
式分解。
（
4
）完全平方公式中的
a
、
b
可表示单项式，也 可以表示多
项式。这里只要将多项式看成一个整体就可以了。
（
5
）分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分
解为止。
（五）分组分解法
我们看多项式
am+ an+
bm+ bn
，这四项中没有公因式，所以
不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式．
如果我们把它分成两组
(am+ an)
和
(bm+ bn)
，这两组能分别
用提取公因式的方法分别分解因式．
原式
=(am +an)+(bm+ bn)
＝
a(m+ n)+b(m +n)
- 2 -
做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解
的意义．但不难看出这两项还有公因式
(m+n)
，因此还能继
续分解，所以
原式
=(am +an)+(bm+ bn)
＝
a(m+ n)+b(m+ n)
＝
(m +n)
•
(a +b)
．
这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．从上面的
例子 可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后
它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可 以用分组
分解法来分解因式．
（六）提公因式法
1.
在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察
多项式的结构特点，确定多项式的公因式．当 多项式各项的
公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为
单项式，也可以把这个 多项式因式看作一个整体，直接提取
公因式；当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式
进行适当的变形，
或改变符号，
直到可确定多项式的公因式．
2.
运用公式
x^2
+(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)
进行因式分解要注
意：
1
．必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的
代数和等于
一次项的系数．
- 3 -
2
．将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试，一
般步骤：
①
列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况；
②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数．
3
．将原多项式分解成
(x+q)(x+p)
的形式．
（七）分式的乘除法
1.
把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约
分．
2.
分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式．
3.
如 果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解
因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公 因式．如
果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分
子、分母中的某些项单独约分 ．
4.
分
式约分中
注意正确
运用乘方
的符号法
则，如
x-y
＝
-(y-x)
，
(x-y)^2
＝
(y-x)^2
，
(x-y)^3
＝
-(y-x)^3
．
5
．分 式的分子或分母带符号的
n
次方，可按分式符号法则，
变成整个分式的符号，然后再按
-1
的偶次方为正、
奇次方为
负来处理．当然，简单的分式之分子分母可直接 乘方．
6
．注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除，最
后算加减．
（八）分数的加减法
- 4 -
1
．通分与约分虽 都是针对分式而言，但却是两种相反的变
形．
约分是针对一个分式而言，
而通分是针对 多个分式而言；
约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的
分母统一起来．
2
．通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同
点是保持分式的值 不变．
3
．一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，
分子 则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备．
4
．通分的依据：分式的基本性质．
5
．通分的关键：确定几个分式的公分母．
通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的
公分母叫做最简公分母．
6.
类比分数的通分得到分式的通分：
把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母
的分式，叫做分式的通分．
7
．同分母分式的加减法的法则是：同分母分式相加减，分
母不变，把分子相加减。< br>
同分母的分式加减运算，分母不变，把分子相加减，这就是
把分式的运算转化为整式 运算。
8
．异分母的分式加减法法则：异分母的分式相加减，先通
分，变 为同分母的分式，然后再加减．
- 5 -
9
． 同分母分式相加减，分母不变，只须将分子作加减运算，
但注意每个分子是个整体，要适时添上括号．< br>
10
．对于整式和分式之间的加减运算，则把整式看成一个整
体，即看成是 分母为
1
的分式，以便通分．
11
．异分母分式的加减运算，首 先观察每个公式是否最简分
式，能约分的先约分，使分式简化，然后再通分，这样可使
运算简化 ．
12
．作为最后结果，如果是分式则应该是最简分式．
(
九
)
含有字母系数的一元一次方程
1
．含有字母系数的一元一次方程
引例：一数的
a
倍（
a
≠
0
）等于
b
，求这个数。用
x
表示这
个数，根据题意，可得方程
ax=b
（
a
≠
0
）
在这个方程中，
x
是未知数，
a
和
b
是用字母表示的已知数。
对
x
来说，字母
a
是
x
的系数，
b
是常数项。这个方程 就是
一个含有字母系数的一元一次方程。
含有字母系数的方程的解法与以前学过的 只含有数字系数
的方程的解法相同，但必须特别注意：用含有字母的式子去
乘或除方程的两边， 这个式子的值不能等于零。
初二数学（上）应知应会的知识点
因式分解
1.
因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；注意：因式分解与乘法是相反的
- 6 -