小学英语教研计划-excel下标

2021年1月28日发(作者：骄傲的拼音)

《绪论》


0-1

叙述我国法定计量单位的基本内容。


答：
我国的法定计量单位是 以国际单位制
(SI)
为基础并选用少数其他单位制的计量单位来组成的。

1
．基本单位

根据国际单位制
(SI)
，七个基本量的单 位分别是：长度——米
(Metre)
、质量——千克
(Kilogram)
、时间
——秒
(Second)
、温度——开尔文
(Kelvn)
、 电流——安培
(Ampere)
、发光强度——坎德拉
(Candela)
、 物质
的量——摩尔
(Mol>
。


它们的单位代号 分别为：米
(m))
、千克
(kg)
、秒
(s)
、开
(K)
、安
(A)
、坎
(cd)
、摩
(mol)
。


国际单位制
(SI)
的基本单位的定义为：


米
(m)
是光在真空中，在
1
／
2997 92458s
的时间间隔内所经路程的长度。


千克
(kg)
是质量单位，等于国际千克原器的质量。

< br>秒
(s)
是铯
-133
原子基态的两个超精细能级间跃迁对应的辐射< br>9192631770
个周期的持续时间。

安培
(A)
是电 流单位。在真空中，两根相距
1m
的无限长、截面积可以忽略的平行圆直导线内通过等量恒定< br>-7
电流时，若导线间相互作用力在每米长度上为
2
×
10
N
，则每根导线中的电流为
1A
。


开尔文
(K)
是热力学温度单位，等于水的三相点热力学温度的
1
／
273
．
16
。


摩尔
(mol)
是一系统的物 质的量，该系统中所包含的基本单元数与
0
．
012kg
碳
-12< br>的原子数目相等。使用
摩尔时，基本单元可以是原子、分子、离子、电子及其他粒子，或是这些粒 子的特定组合。

12

坎德拉
(cd)
是一光源在 给定方向上的发光强度，该光源发出频率为
540
×
10
Hz
的单色 辐射，且在此方向
上的辐射强度为
1
／
683W
／
sr。


2
．辅助单位


在国际 单位制中，平面角的单位——弧度和立体角的单位——球面度未归入基本单位或导出单位，而称
之为辅助 单位。辅助单位既可以作为基本单位使用，又可以作为导出单位使用。它们的定义如下：


弧度
(rad)
是一个圆内两条半径在圆周上所截取的弧长与半径相等时，它们所夹的 平面角的大小。


球面度
(sr)
是一个立体角，其顶点位 于球心，而它在球面上所截取的面积等于以球半径为边长的正方形
面积。


3
．导出单位


在选定了基本单位和辅助单位之后，按物理 量之间的关系，由基本单位和辅助单位以相乘或相除的形式
所构成的单位称为导出单位。


0-2

如何保证量值的准确和一致？


答：
通过对计量器具实施检定或校准，将国家基准所复现的计量单位量值经过各级计量标准传递到工作
计量器具，以保证被测对象量值的准确和一致。在此过程中，按检定规程对计量器具实施检定的工作对量值的准确和一致起着最重要的保证作用，是量值传递的关键步骤。


0-3
何谓测量误差？通常测量误差是如何分类、表示的？

答：
测量结果与被测量真值之差称为测量误差。

根据误差的统计特征将误差分为：系统误差、随机误差、粗大误差。

实际工作中常根 据产生误差的原因把误差分为：器具误差、方法误差、调整误差、观测误差和环境误差。

常用的误差表示方法有下列几种：

（
1
）绝对误差

测量误差
=
测量结果
-
真值

（
2
）相对误差

相对误差
=
误差÷真值

当误差值较小时，可采用

相对误差≌误差÷测量结果

（
3
）引用误差

引用误差
=
绝对误差÷引用值（量程）

（
4
）分贝误差


1
分贝误差
=20
×
lg(
测量结果÷真值
)
对于 一部分的量
(
如广义功
)
，其分贝误差需改用下列公式：

分贝误差
=10
×
lg(
测量结果÷真值
)

0-4
请将下列诸测量结果中的绝对误差改写为相对误差：


①
1
．
0182544V
±
7
．
8
µ
V

②
(25
．
04894
±0
．
00003)g
2

③
(5
．
482
±
0
．
026)g
／
cm
答：< br>

7
.
8


7
.
66

10

6


0
.
00076 6
%

6
1
.
0182544

10
0
.
00003
②


1
.
19765

10

6


0
.
000120
%

25
.
04894

0
.
026
③


0
.
00473

0
.
473
%

5
.
482
①

0-5
何谓测量不确 定度？国际计量局于
1980
年提出的建议
《实验不确定度的规定建议书
IN C
—
1
（
1980
）
》
的要点是什么？

答：
测量不确定度是对被测量真值不能肯定的误差范围的一种评定，
是测量误差量值分 散性的衡量指标。
测量结果应带有这样一个指标。只有知道测量结果的不确定度时，此测量结果才有意义 和用处。

国际计量局于
1980
年提出的建议《实验不确定度的规定建议书
INC
—
1
（
1980
）》的要点是：

测量不确定度一般包含若干个分量，
按其数值评定方法将它们归并为
A
和
B< br>两类分量。
A
类分量都用估计的
方差
s
i

（或估计的标准差
s
i
）
和自由度
v
i
来表征。< br>必要时应给出估计的协方差。
B
类分量用某种
u
j
量来表征。
2
可以认为
u
2
j
量是假设存在的相应方差的近似。
u
j
量可以像方差那样处理，
而
u
j
量也可以像标准差那 样处理。
2
2
必要时应给出协方差，它可按类似的方法处理。
A
类分 量与
B
类分量可用通常合成方差的方法合成，所得的结
果称为合成不确定度，并按“标 准偏差”来看待。合成不确定度具有概率的概念；若为正态分布，合成不确
定度的概率为
68< br>．
27
％。

如有必要增加置信概率，则可将合成不确定度乘上与置信 概率相对应的置信因子，作为测量结果的总不
确定度。但此时必须对置信因子或置信概率的大小加以说明 。


0-6
为什么选用电表时，
不但要考虑它的准确 度，
而且要考虑它的量程？为什么使用电表时应尽可能在
电表量程上限的三分之二以上使用？用 量程为
150V
的
0
．
5
级电压表和量程为
30V
的
1
．
5
级电压表分别测量
25V
电压，请问哪一 个测量准确度高？

答：
国家标准
GB776-76
《测量指示仪表 通用技术条件》
规定，
电测量仪表的准确度等级指数
a
分为：
0．
1
、
0
．
2
、
0
．
5、
1
．
0
、
1
．
5
、
2．
5
、
5
．
0
共
7
级。它们的最大引 用误差不能超过仪表准确度等级指数
a
的百分数，
即


nm

a
%


依照上述规定，电测量仪表在使用时所产生的最大可能误差可由下式求出


A
m


A
m
a
%

【例】某
1
．
0
级电压表，量程为
300V
，当测 量值分别为
U
1
=300V
、
U
2
=200V、
U
3
=100V
时，试求出测量值的
（最大）绝对误差和示值 相对误差。


绝对误差


U
1


U
2


U
3


300

1
.
0
%


3
V
各测量值的相对误差


U
1


U
1
3

100
%

(

)
100
%


1
.
0
%

U
1
300

U
2
3

100< br>%

(

)

100
%


1
.
5
%

U
2
200
2

U
2



U
3


U
3
3

100
%

(

)

100
%


3
.
0
%< br>
U
3
100

由上例不难看出：测量仪表产生的示值 测量误差

x
不仅与所选仪表等级指数
a
有关，而且与所选仪表的< br>量程有关。量程
Am
和测量值
Ax
相差愈小，测量准确度愈高。所以， 在选择仪表量程时，测量值应尽可能接近
仪表满度值，一般不小于满度值的
2/3
。这 样，测量结果的相对误差将不会超过仪表准确度等级指数百分数的
1
．
5
倍。 这一结论只适合于以标度尺上量限的百分数划分仪表准确度等级的一类仪表，如电流表、电压表、
功率表 。

用量程为
150V
的
0
．
5
级电压表 测量
25V
电压，其绝对误差为


U
1


150

0
.
5
%


0< br>.
75
V

相对误差为


U
1< br>

U
1
U
1

100
%

(

0
.
75
)

100
%< br>

3
.
0
%

25
用量程为30V
的
1
．
5
级电压表测量
25V
电压，其 绝对误差为


U
2


30

1
.
5
%


0
.
45
V

相对误差为


U
2


U
2
U
2

100
%

(

0.
45
)

100
%


1
.
8
%

25
显然，用量程为
30V
的
1
．
5
级电压表测量准确度高。


0-7 如何表达测量结果
?
对某量进行
8
次测量，测得值分别为：
80 2
．
40
、
802
．
50
、
802
．
38
、
802
．
48
、
802
．42
、
802
．
46
、
802
．
45
、
802
．
43
。求其测量结果。

答：
国内外推行的测量结果表达方式为：

测量结果
=
样本平均值±不确定度

ˆ
x

x

X

x


样本平均值

n
s
n

x

样本的标准偏差


x
i

1
i
n

802
.40



802
.
43

802< br>.
44

8
s

样本平均值的标准偏差
< br>
(
x
i

1
n
i

x< br>)
2

0
.
04

n

1
s
n

0
.
04
8
ˆ
x


测量结果


0
.
01

ˆ
x

802
.
44

0
.
01< br>
X

x


0-8
用米尺逐 段丈量一段
10m
的距离，设丈量
1m
距离的标准差为
0
．
2mm
。如何表示此项间接测量的函数
式？求测此
10m
距离的标准 差。

解：
间接测量的函数式

X

x
1

x
2



x
10

标准差


X


1


2




10

10< br>
0
.
2

1
.
414
mm

0-9
直圆柱体的直径及高的相对标准差均为
0
．
5
％，求其体积的相对标准差为多少？

解：直圆柱体的体积


3
V

相对标准差


4
D
2
H

E
V



4
(
2
E
D
)
2

(
E
H
)
2

4

0
.
8 8
%

(
2

0
.
5
%)
2

(
0
.
5
%)
2

《第一章》思考题与习题

1-1
求周期方波
(
见图< br>1-4)
的傅里叶级数
(
复指数函数形式
)
，
画出< br>c
n


和

n


图，
并与表
1-1
对比。



图
1-4
周期方波

解：


A


x< br>(
t
)




A

< br>[

0

(
0

T

T< br>0
)
2
T
(

0

T
< br>0
)
2

2


j

t< br>
cos

t

j
sin

t






e
T
0
j


1
]
1
c
n

T
0
T

T
0
2
T

0
2
x
(
t
)
e

jn

0
t
dt
2

2

jn
t
0
1
2
0

jn
T
0
t

[

Ae
dt


T
0
Ae
T
0
dt
]

T
0
0< br>2
A


e
j

n
T
0< br>2


jn
t
2
T
0
0
A

[
1

e
j

n
]
j

n


2
A


j

n



0

n

1
,
3
,
5
,

n

0
,
2
,
4
,

2
A


n
c


n

arctan
nI



c
nR
2
c
n

（图略）。



4
1-2
求正弦信号
x
(
t)

x
0
sin

t
的绝对均值
解：

[


绝对均值


x
和均方根值
x
rms
。


1

cos

2


sin

]
2
2
T

x

均方根值

1T
1
T


x
(
t
)
dt< br>

x
0
sin

t
dt
T
0
T
0
2
x
0
T

T
2
0
sin

tdt

2
x
0
x
1
[

cos

t
]

0
T

0
T
2

x
rms

1
T
2
1
T
2
2

x
(
t
)
dt

x
0
sin

tdt
T

0
T

0
2
x
0
T

T
0
2
x
0
1

cos
2

t
dt

2
2
T
T

T0
(
1

cos
2

t
)
d t

2
x
0
1
2
T

[
t
0

sin
2

t
]

x0
2
T
2

2
0
1-3
求指数函数
x
(
t
)

Ae
解：


at
(
a

0
,
t

0
)
的频谱。



X
(
f
)< br>

x
(
t
)
e

j
2< br>
ft
dt


Ae

at
e
j
2

ft
dt


0
A
e

(
a

j
2

f
)
t
0
a

j
2

f
A
A
(
a

j
2

f
)


a

j
2

f
(
a

j
2

f
)(
a

j
2

f
)
Aa
2

fA

2

ja

4

2
f
2
a
2
4

2
f
2

A

e
(
a

j
2

f
)
t
dt< br>



0

（图略）
。


1-4
求符号函数
(
见图
1-25a)
和单位阶跃函数
(
见图
1-25b)
的频谱。


图
1-25
题
1-4
图

解：
单位阶跃函数


1

u
(
t
)



0

时域上当

< br>0
时的极限，其频谱为
e


t
t

0
t

0



t
阶跃信号不满足绝对 可积的条件，不能由定义式直接求其频谱。可把单位阶跃函数看作指数信号
e
的频谱在


0
时的极限。

在

5
X
e
(
f
)


x
(
t
)
e

j
2

ft
dt


e

t
e

j
2

ft
dt


0

1
e

(


j
2

f
)
t
0


j
2

f
1



2


j
2

f


4

2
f





2

j
2

f

2

4

2
f
2

X
eR
(
f
)

jX
eI
(f
)
实频部分的极限
U
R
(
f
)
为：



0


0


0

2

4

2
f
2

U
R
(
f
)

lim
X
eR
(f
)

lim
2




0


0


4

2
f
2
U
R
(
f
)

lim
X
eR(
f
)

lim
而



0


f

0

f

0

lim

X
eR
(f
)
df

lim



0


df



2

4

2
f
2


lim



< br>0


1

(
1
2

f< br>d
(
)
2
2

f

2
< br>f
)

lim
arctan


0








由以上三式可知，U
R
(
f
)
为一冲激函数，冲激强度为

，即

U
R
(
f
)


(
f
)

虚频部分的极限
U
I
(
f
)
为：

U
I
(
f
)

lim
X
eI
(
f
)

lim


0

2

f


0

2

4

2
f
2


1

2

f
因此，单位阶跃函数的频谱为

U
(
f
)

U
R
(
f
)

jUI
(
f
)


(
f
)
< br>j
符号函数

1
2

f
t

0
t

0



1

sgn(
t
)




1


e


t

x
e
(
t
)



t


e

X
(
f
)


符号函数也不满足绝对可积的条件，不能由定义式直接求其频谱。可把 符号函数看作双边奇指数信号

t

0
,

0
t

0
,


0

在

0
时的极限。单边指数信号的频谱上面以求出，则双边指数信号的频谱为
1
1
4

f



j2

2
2


j
2

f

j
2

f


4
f
由于把符号函数看成双边指数信号
x
e
(
t
)
在


0
时的极限，那么它的频谱就为双边指数信号的频谱在
< br>
0
时的极限，即


j
4

f< br>1
sgn(
f
)

lim
2

< br>j



0


4

2< br>f
2

f



6
1-5
求被截断的余弦函数
cos

0
t

（见图
1-26
）的傅里叶变换


cos
0
t

x
(
t
)


0


t

T

t

T

图
1-26
题
1-5
图



1
t

T

解：
被截断的余弦函数
y
(
t
)
可 以看作矩形窗函数
w
(
t
)


与余弦函数
x
(
t
)

cos

0
t
的乘 积
t

T

0

y
(
t
)

w
(
t
)
x
(
t
)

而余弦函数
x
(
t
)
的频谱为

1
X
(
f
)

[

(
f

f
0
)


(
f

f
0
)]

2
矩形窗函数
w
(
t
)
的频谱为


1

j
2

fT
W
(
f)

(
e

e
j
2

fT< br>)
j
2

f

sin
2

fT

T

T
sin
c
(
2
< br>fT
)
2

fT
根据频域卷积定理，时域上两个函数相乘，其 频谱为两个函数频谱的卷积。因此，截断的余弦函数
y
(
t
)
的频< br>谱为

Y
(
f
)

W
(
f
)

X
(
f
)
1

T
s in
c
(
2

fT
)

[
(
f

f
0
)


(
f
f
0
)]

2
T
T

si n
c
[
2

(
f

f
0
)
T
]

sin
c
[
2

(f

f
0
)
T
]
2
2
函数与其它函数的卷积的结果，就是在发生

函数的坐标位置（以此作为坐标原点）将该函 数重新构图。

（图略）
。


1-6
求指数衰减振荡信号
x
(
t
)

e

a t
sin

0
t
的频谱。


e

at


at
解：
指数衰减振荡信号
x
(
t
)

e
sin

0
t
可以看 作单边指数函数
x
e
(
t
)



0

函数
x
s
(
t
)

sin

0
t
的乘积。

而正弦函数
x
s
(
t
)

sin

0
t
的频谱为

1
X
s
(
f
)

j
[

(
f

f
0
)


(
f

f
0
)]

2

t
0
t

0
(
a

0
)
与正弦
7

e

at

单边指数函数
x
e
(
t
)



0

t

0
t

0
X
e
(
f
)

(
a

0
)
的频谱为

1
a

2
a

j
2

f
a

4

2
f

j
2

f

2
2
2
a

2

f
2
根 据频域卷积定理，时域上两个函数相乘，其频谱为两个函数频谱的卷积。因此，指数衰减振荡信号
x(
t
)
的
频谱为

X
(
f
)

X
e
(
f
)

X
s
(
f
)
2

f
1
]

j
[

(
f

f
0
)


(
f

f
0
)]
2
2
2
2
2
a

4

f


(
f

f
0
)
a

j

2
[
a
2

4

2
(
f

f
0
)
2
]
a
2

4

2
(
f

f
0
)
2

[
a
a
2

4

2
f

j

j
a
2
[
a
2

4

2
(
f

f
0
)
2
]


(
f

f
0
)
a
2

4

2
(
f

f
0
)
2

函数与其它函数的卷积的结果，就是在发生

函数的坐标位置（以此作为坐标原点）将该函数重 新构图。

（图略）
。


1-7
设 有一时间函数
f
(
t
)
及其频谱如图
1-27
所示 ，现乘以余弦型振荡
cos

0
t
(

0


m
)
。在这个关系
中，函数
f
(
t< br>)
叫做调制信号，余弦型振荡
cos

0
t
叫做载波 。试求调幅信号
f
(
t
)
cos

0
t< br>的傅里叶变换，示意
画出调幅信号及其频谱。又问：若

0


m
时将会出现什么情况
?


图
1-27
题
1-7
图

解：
载波（余弦函数）
cos

0
t
的傅里叶变换

1
X
(
f
)

[

(
f

f
0
)


(
f

f
0
)]

2根据频域卷积定理，时域上两个函数相乘，其频谱为两个函数频谱的卷积。因此，调幅信号
f
(
t
)
cos

0
t
的傅
里叶变换
1
X
(

)

F
(
)

X
c
(

)

F
(
)

[

(



0)


(



0
)]
2< br>
1

[
F
(



0< br>)

F
(



0
)]
2
若

0


m
时将会出现频率混叠现象。



1-8
求正弦信号
x
(
t
)< br>
x
0
sin(

t


)
的均值

x
、均方值

x
和概率密度函数
p(
x
)
。

解：
均值

2

0

2

T
sin

2

1

cos


2
8

1
T
1
T

x

lim

x
(
t
)
dt


x
0
sin(

0
t


)
dt
T


T
0
T
0

均方值

x
0
T
< br>0

T
0
sin(

0
t
)
d
(

0
t
)

x
0
x
2

[

cos(
t
)]

0
T

0
T

0
T


x
2

lim
1
T
2
1
T
2
2x
(
t
)
dt

x
0
sin
(

0
t


)
dt

0
0
T


T

T
2
2
T
1

cos
2
(

t


)< br>T
x
0
x
0
0


dt

[
1

cos
2
(

0
t


)]
dt


0
0
T
2< br>2
T
2
2
x
0
x
0
1
T< br>T

[
t

sin
2

0
t
0
]

2
T
0
2

0
2
dx

x
0

0
cos(

0
t


)
dt

概率密度函数

T
x

2

t

2
dx

x
0

0
cos(

0
t

)
x
2
(
t
)
因为

2

sin
2
(

0
t


)

1

cos
2
(

0< br>t


)

x
0

0
t< br>

)

所以
< br>cos(
T
x

2

t

2
x
0

x
2
(
t
)

2
x
0
2
dx

x
0

0
cos (

0
t


)
2
dx
x
0

0

x

x
(
t
)
2
x
0
dx
2
0
2
2
0
2
T
x

lim
T


T
T


lim
2
dx
Tx
0

0< br>x

x
(
t
)
2
x
0
2< br>0
2

x

x
(
t
)
< br>dx
T
x
2
lim

x
0

x
2
(
t
)
1
T


T
p
(
x
)

lim

lim


2
2

x

0

x

0

x

x

x
0

x
(
t
)


《第二章》思考题与习题


2-1
进行某动态压力测量时，所采用的压电式力传感器的灵敏度为
90nC/MPa，将它与增益为
0.005V/nC
的电荷放大器相连，而电荷放大器的输出接到一台笔式 记录仪上，记录仪的灵敏度为
20mm/V
。试计算这个测
量系统的总灵敏度。当压力 变化为
3.5MPa
时，记录笔在记录纸上的偏移量是多少？

解：
测量系统的总灵敏度


9
S

S
1

S
2

S
3

90
nC
MP
a

0
.
005
V
nC

20
mm
V


9
mm
MP
a
当压力变化为
3.5MPa
时，记录笔在记录纸上的偏移量为

x< br>
S


P

9
mm
MP
a

3
.
5
MP
a

31
.5
mm


2-2
用一个时间常数为
0< br>．
35s
的一阶装置去测量周期分别为
1s
、
2s
和
5s
的正弦信号，
问幅值误差是多少？

解：
频率与周期的关系式

f

幅频特性表达式

1

T
A
(
f
)

f

0
时的幅值

1
1

4

f
A
(
0
)

1

2
2
2


A
1
s

A
(
0
)

A
(
f
)

1


1

1

1
4


T
2
2
2
1
1

4

2
f
2

2
1
2
2

1

4



0
.
35
1
2

A
2
s

0
.
327


A
5
s

0
.
085

1


0
.
586

2-3
求周期信号
x
(
t
)

0
.
5< br>cos
10
t

0
.
2
cos(
1 00
t

45

)
通过传递函数为
H
(< br>s
)

到的稳态响应。

解：
幅频特性表达式

1
的装置后得
0
.
005
s

1
A
(

)

幅频特 性表达式

1
1



2
2
< br>
(

)


arctan(

)

稳态响应

1

10

0
.
005
1

0
.
2

cos(
1 00
t

45


arctan
100

0
.
005
)

2
2
1

100

0
.
005

0
.
499cos(
10
t

2
.
8

)

0
.
179
cos(
100
t

71
.
6

)

2-4
气象气球携带一种 时间常数为
15s
的一阶温度计、
以
5m
／
s
的上 升速度通过大气层。
设温度按每升高
30m
下降
0
．
15< br>℃的规律而变化，
气球将温度和高度的数据用无线电送回地面。
在
3000m< br>处所记录的温度为
-1
℃。
试问实际出现
-1
℃的真实高度是 多少？

解：
一阶温度计的传递函数为

x
(
t< br>)

0
.
5

1
2
2
co s(
10
t

arctan
10

0
.< br>005
)
H
(
s
)

输入温度的变化规律（ 斜波函数）为


1

1


s
10
x
(
t
)

其拉氏变换为

0
.
15

5

t

0
.
025t

30
0
.
025

s
2
X
(
s
)

L
[
0
.
025tu
(
t
)]

温度计的输出的为

Y
(
s
)

H
(
s
)

X
(
s
)

1
0
.
025
1
1< br>
2

0
.
025
[
2


(


s

1
s
s
s

t
15
1
s

1
)]

y
(
t
)

0
.
025
[
t

15
(
1

e
输入与输出之间的动态误差为
)]

t
15


x
(
t
)

y
(
t
)

0
.
3 75
(
1

e
稳态误差为


)

lim


lim
0
.
375
(
1

e
t


t



t
15
)

0
.
375

C

换算为高度为


h

0
.
375

C

实际出现
-1
℃的真实高度

30
m

75
m

0
.
15
C
h

3000
m


h

3000
m

75
m

3075
m

2-5
想用一个一阶系统做
100Hz
正弦信 号的测量，
如要求限制振幅误差在
5
％以内，
那么时间常数应取为
多 少
?
若用该系统测量
50Hz
正弦信号，问此时的振幅误差和相角差是多少？

解：
时间常数

A
(
f
)
< br>(
1
1

4

f

2
2< br>2

0
.
95



1
2
1
2
)

1
(
)

1

4
0
.
95
0
.
95


5
.
23117

10

2
2
2
2
4

f
4

3
.
14
100
用该系统测量
50Hz
正弦信号的振幅误差


A

1

A
(
f
)

1


1

1
1

4

2
f
2

2
1
2
2

1

4

3
.
14

50

0
.000523117
2

1
.
3
%
用该系统测 量
50Hz
正弦信号的相角差


(
f
)


arctan(
2

f

)



arctan(
2



50
< br>0
.
000523117
)


9
.
33


2-6
试说明二阶装置阻尼比

多 用
0
．
6
～
0
．
7
的原因。
< br>答：
一般来说，
在


0
.
6
~< br>0
.
8
时，
可以获得较为合适的综合特性。
计算表明，
对二阶系统，
当


0
.
707
时，在
0
~
0
.
58

n
的频率范围内，幅频特性
A
(

)
的变化不超过
5
％，同时相频特性
< br>(

)
也接近于直线，因
而所产生的相位失真也很小。


2-7
将信号
cos

t
输入一个 传递函数为
H
(
s
)


1
的一阶装置后 ，试求其包括瞬态过程在内的输出

s

1
11
y
(
t
)
的表达式。

解：
已知一阶装置的传递函数为

H
(
s
)

输入信号
x
(
t
)

cos

t
的拉氏变换为

1


s

1
X
(
s
)

输出的拉氏变换为

s

s
2


2
1
s


2
2

s

1
s



t
Y
(
s
)

H
(
s
)
X
(
s
)

逆拉氏变换为

y
(
t
)


2-8
求频率 响应函数为
1
1

(

)
2
[cos(

t

arctan

)

e
cos(

arctan

)]


31550 72
的系统对正弦输入
x
(
t
)

10
s in(
62
.
8
t
)
(
1

j< br>0
.
01

)(
1577536

j
176



2
)
的稳态响应的均值显示。
< br>解：
该系统为一个一阶系统与一个二阶系统串联。一阶系统与二阶系统的标准频率响应函数的表达 式为

2

n
k

H
(

)

H
1
(

)

H
(

)
2


2
2
1

j




j
2

n

< br>
n
2

1256
2

H
(

)

H
1
(

)

H
(

)
2

(
1

j
0
.
01

)(
1256
2

j
2

0
.
07

1256



2
)
对照以上两式可得

k

2



0
.
01


n

1256



0
.
07

输入信号通过一阶系统后的幅值为

A
1
(

)

相位延迟

k1

(

)
2

2
1
< br>(
0
.
01

62
.
8
)
2

1
.
69371


1
(

)


arctan(

)


arctan(
0
.
01

62
.
8
)


32
.
1


输入信号通过二阶系统后的幅值为

A
2
(

)< br>
[
1

(

1

2
2< br>
)
]

4

2
(
)
2< br>
n

n
1

62
.
8
2
2
62
.
8
2
[
1

(
)
]

4

0
.
07
2

(
)
1256
1256

1
.
00248
相位延迟


62
.
8
)
2

0
.
07

(
)

n
1256


0
.
4



2
(

)


arctan


arctan

62
.
8
2
1

(
)
2
1

(
)

n
1256
2

(< br>
12
系统对正弦输入
x
(
t
)

10
sin(
62
.
8
t
)
的稳态响应为

y
(
t
)

10

A
1(

)

A
2
(

)
sin [
62
.
8
t


1
(

)


2
(

)]

10
< br>1
.
69371

1
.
00248
sin(
62
.
8
t

32
.
1

0
.
4
)

16
.
9791
sin(< br>62
.
8
t

32
.
5
)

2
1
.
5
41

n
2-9 < br>试求传递函数分别为
和
的两环节串联后组成的系统的总灵敏度
(
不考< br>2
3
.
5
s

0
.
5
s< br>2

1
.
4

n
s

< br>n

虑负载效应
)
。

解：
两环节串联后总的传递函数为

2
k
2
n
k
1
H
(
s
)

H
1(
s
)

H
(
s
)
2

2
1


s
s
2

2
n
s


n

41

3

2
2
7
s

1
s

2

0
.
7

n
s


n
k

k
1

k
2

3

41

123

2
n

两环节串联后组成的系统的总灵敏度


2-10
设某 力传感器可作为二阶振荡系统处理。
已知传感器的固有频率为
800Hz
，
阻 尼比


0
.
14
，
问使
用该传感器做频 率为
400Hz
的正弦测试时，其幅值比
A
(

)
和相角差

(

)
各为多少？若该装置的阻尼比改为

0
.
7
，问
A
(

)
和< br>
(

)
又将如何变化。

解：
阻尼比

0
.
14
时，幅值比

A
(f
)

[
1

(

[
1
(
相角差

1
f
2
2
f
)
]

4

2
(
)
2
f
n
f
n
1
400
2
2
400
2
)< br>]

4

0
.
14
2

(
)
800
800

1
.
31

2

0
.
14

(

(

)


arctan
阻尼比改为


0
.
7
时，幅值比

400
)
800

10
.
57


400
2
1

(
)
800
1
A
(
f
)

[< br>1

(

[
1

(
相角差

f
2
2
f
)
]

4

2
(
)
2
f
n
f
n
1

0
.
97

400
2
2
400
2
)
]

4

0
.
7
2

(
)
800
800
400
)
800

43
.
02



(

)


arctan
400
2
1

(
)
800
2

0
.
7

(
2-11
对一个可视为二阶系统的装置输入一单位阶跃函数后，测得其响应的第一个超调量峰值为< br>1
．
5
，

13
振荡周期为
6
．
23s
，设已知该装置的静态增益为
3
，求该装置的传递函数和该装置在无阻 尼固有频率处的频率
响应。


解：
已知该装置的静态增益为
3
，则最大超调量

M

阻尼比为

1
.
5

0
.
5

3


(
2

1

ln
M

(
1
)
2

1

ln
0
.
5

0
.
215

)
2

1< br>由

d


n
1


2< br>（

d


b
）可得该装置的无阻尼固有频率


n

该装置的传递函数为

2


b
1


2
k

n
2

2

6
.
23

1

0
.
215
2

1
.
03

3

1
.
03
2

H
(
s
)

2

2
2
2
s

2

n
s


n
s

2

0
.
215

1
.
03
s

1
.
03
该装置在无阻尼固有频率处的频率响应为

2k

n
3

1
.
03
2
< br>H
(

)


2


2< br>
j
2

n



n


2

j
2

0
.
215

1
.
03


1
.
03
2< br>







《第三章》思考题与习题


3-1
在机械式传感器中，影响线性度的主要因素是什么？试举例说明。

答：
在机 械式传感器中，影响线性度的主要因素是弹性元件的的蠕变和弹性后效现象，这些现象最终都
会影响到输 出与输入的线性关系。

3-2
试举出你所熟悉的
5
种传感器，并说明它们的变换原理。


14

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