等比数列的前n项和练习题
温柔似野鬼°
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2021年01月28日 23:55
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生活文章-桂林山水文章
等比数列的前
n
项和练习
1、设
S
n
是数列
{a
n
}
（
n
∈
N
*
）的前
n
项和，已知
a
1
=4< br>，
a
n+1
=S
n
+3
n
，设
b< br>n
=S
n
﹣
3
n
．
（Ⅰ）证明： 数列
{b
n
}
是等比数列，并求数列
{b
n
}的通项公式；
（Ⅱ）令
c
n
=2log
2
b
n
﹣
+2
，求数列
{c
n
}
的前
n
项和
T
n
．
2
、已知数列
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
=
，且
a
1
=1
．
（
1
）求数列
{a
n
}
的通项公式；
< br>（
2
）
令
b
n
=lna
n
，
是否存在
k
（
k
≥
2
，
k
∈
N
*
）
，
使得
b
k
、
b
k+1、
b
k+2
成等比数列．
若
存在，求出所有符合条件的
k
值；若不存在，请说明理由．
3
、数列
{a
n
}
满足
a
1
=1
，
a
2
=r< br>（
r
＞
0
），令
b
n
=a
n
•
a
n+1
，
{b
n
}
是公比为
q（
q
≠
0
，
q
≠﹣
1
）的等比数列， 设
c
n
=a
2n
﹣
1
+a
2n
．
（
1
）求证：
c
n
=
（
1+r
）•
q
n
﹣
1
；
（
2
）设
{c
n
}
的前
n
项和为
S
n
，求的值；
（
3
）设
{c
n
}
前
n
项积为
T
n
，当
q=
﹣时，
T
n的最大值在
n=8
和
n=9
的时候取到，
求
n
为何值时，
T
n
取到最小值．
4
、已知等比数 列
{a
n
}
的公比为
q
，
a
1
=
，其前
n
项和为
S
n
（
n
∈
N< br>*
），且
S
2
，
S
4
，
S
3
成等差数列．
（
I
）求数列
{a
n
}
的通项公式；
< br>（Ⅱ）设
b
n
=S
n
﹣（
n
∈
N< br>*
），求
b
n
的最大值与最小值．
5
、等比数列
{}
的前
n
项和为，已知
,,
成等差数列
（
1
）求
{}
的公比
q
；（
2
）若－
=3
，求。
6
、
对于一组向量
()
，
令，
如果存在
()
，
使得，
那么称是该向量组的
“向量”
．
（
1
）设
()
，若是向量组的“向量”，
数的取值围；
（
2
）若
()
，向量组是否存在“向量”？
给出你的结论并说明理由；
（
3
）已知均是向量组的“向量”，其中，
．设在平面直角坐标系 中有一点列满足：为坐标原点，为的位置向量的终点，且
与关于点对称，与
()
关于点 对称，求的最小值．
7
、已知数列为等比数列，其前项和为，已知，且对 于任意的有，，成等差
数列．
求数列的通项公式；
已知（），记，若对于恒成立，数的围．
8
、已知各项都为正数的等比数列的前
n
项和，数列的通项公式
，若是与的等比中项。
（
1
）求数列的通项公式；
（
2
）求数列的前
n
和项。
9
、等差数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，已知
a
1
=10
，
a
2
为整数，且在前
n
项和中
S
4
最大．（
1
）求
{a
n
}
的通项公式；
（
2
）设
b
n=
，
n
∈
N
+
．
①求证：
b
n+1
＜
b
n
≤；
②求数列
{b
2n
}
的前
n
项和
T
n
．
10
、设为公比不为
1
的等比数列，< br>=16
，其前
n
项和为，且
5
、
2
、成等差 数
列．
（
l
）求数列的通项公式；
（
2
）设，为数列的前
n
项和
.
是否存在正整数
k
， 使得对于任意
n
∈
N
*
不等式
>
恒成立？若存在， 求出
k
的最小值；若不存在，请说明理由．
11
、为了加强环保建设，
提高社会效益和经济效益，
某市计划用若干年时间
更换
10000
辆燃油型公交车。
每更换一辆新车，
则淘汰一辆旧车，
更换的新 车为
电力型车和混合动力型车。
今年初投入了电力型公交车辆，
混合动力型公交车辆，
计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加，
混合动力型车每年比上一年多投
入辆． 设、分别为第年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，设、分
别为年里投入的电力型公交车、 混合动力型公交车的总数量。
（
1
）求、，并求年里投入的所有新公交车的总数；
（
2
）该市计划用年的时间完成全部更换，求的最小值．
12
、已知等比数列的前
n
项和为，且满足
.
（
I
）求
p
的值及数列的通项公式；
（
II
）若数列满足，求数列的前
n
项和
.
13
、已知递增等比数列的前
n
项和为，
，
且
.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足，求的前项和．
14
、等差数列中，，公差且成等比数列，前项的和为
.
（
1
）求及
.
（
2
）设，，求
15
、本题共有
2
个小题，第
1
小题满分
7
分，第
2
小题满分
7
分
.
已知
a >0
且
a
lga
n
(n
1
，
数列
{a
n
}
是首项与公比均为
a
的等比数列，
数列
{ b
n
}
满足
b
n
=a
n
N*)
．
(1)
若
a=3
，求数列
{b
n
}的前
n
项和
S
n
；
(2)
若对于
n
16
、已知点是区域的点，目标函数的最 大值记作，若数列的前
n
项和为，，
且点在直线上。
N*
，总有
b
n
< b
n+1
，求
a
的取值围．
（
1
）证明：数列是等比数列；
（
2
）求数列的前
n
项和。
17
、设数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，若，
.
（
1
）求数列的通项公式；
（
2
）对于正整数（ ），求证：“且”是“这三项经适当排序后能构成等差数
列”成立的充要条件；
（
3
）设数列满足：对任意的正整数，都有
，且集合中有且仅有
3
个元素，试求的取值围
.
18
、已知等比数列，则
A
．
B
．
C
．
D
．
19
、
现有六名篮球运动员进行传球训练，
由甲开始传球
（第一次传球是由 甲
传向其他五名运动员中的一位）
，
若第次传球后，
球传回到甲的不同传球方 式的
种数记为
.
(1)
求出、的值，并写出与≥的关系式；
(2)
证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
(3)
当≥时，证明：
.
20
、
定义：
若各项为正实 数的数列满足，
则称数列为
“算术平方根递推数列”
.
已知数列满足且点在二次函数的图像上
.
(1)
试判断数列是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由；
(2)
记，求证：数列是等比数列，并求出通项公式；
(3)
从数列中依据某种顺序自左至右取出其中的项
，
把这些项重 新组成一个新
数列：
.(
理科
)
若数列是首项为、公比为的无穷等比 数列，且数列各项的和为，
求正整数的值．
(
文科
)
若数列是首项为，公比为的无穷等比数列，且数列各项的和为，求
正整数的值．
答
案
1
、（Ⅰ）由
a
n+1
=S
n
+3
n
可得< br>S
n+1
﹣
3
n+1
=2S
n
+3
n
﹣
3
n+1
=2
（
S
n
﹣
3< br>n
），从而得到
b
n+1
=2b
n
，
于是有 ：数列
{b
n
}
是等比数列，可求得
b
1
=1，从而可求得数列
{b
n
}
的通项公式；
（Ⅱ）由（ Ⅰ）得：
c
n
=2log
2
b
n
﹣
+2= 2n
﹣，设
M=1++++
…
++
…①则
M=++++…
++
…
②，利用错位相减法即可求得数列
{c
n
}< br>的前
n
项和
T
n
．
证明：（Ⅰ）∵
a
n+1
=S
n
+3
n
，
∴
S
n+1
﹣
S
n
=S
n
+3
n
即
S
n+1
=2S
n
+3
n
，
∴
S
n+1
﹣
3
n+1
=2S
n
+3
n
﹣
3
n+1
=2
（
S
n
﹣
3
n
）
∴
b
n+1
=2b
n
…（
4
分）
又
b
1
=S
1
﹣
3=a
1
﹣3=1
，
∴
{b
n
}
是首项为
1< br>，公比为
2
的等比数列，
故数列
{b
n
}
的通项公式为
b
n
=2
n
﹣
1
…（
6
分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
c
n
=2log
2
b
n
﹣
+2=2n
﹣…（
8
分）
设
M=1++++
…
++
…①
则
M=++++
…
++
…②
①﹣②得：
M=1+++++
…
+
﹣
=2
﹣﹣，
∴
M=4
﹣﹣
=4
﹣，
∴
T
n
=n
（
n+1
）
+
﹣
4
…（
12
分）
2
、（
1
）直接利用
a
n
=S
n
﹣
S
n
﹣
1
（
n
≥
2
）求解数列的通项公式即可（注意要验证
n=1
时通项是否 成立）．
（
2
）先利用（
1
）的结论求出数列
{ b
n
}
的通项，再求出
b
k
b
k+2
的表 达式，利用基
本不等式得出不存在
k
（
k
≥
2
，< br>k
∈
N
*
），使得
b
k
、
b
k+1
、
b
k+2
成等比数列．
解：（
1）当
n
≥
2
时，，（
2
分）
即（
n
≥
2
）．（
4
分）
所以数列是首项为的常数列．（
5
分）
所以，即
a
n
=n
（
n
∈
N
*
）．
所以 数列
{a
n
}
的通项公式为
a
n
=n
（< br>n
∈
N
*
）．（
7
分）
（
2
）假设存在
k
（
k
≥
2
，
m
，
k
∈
N
*
），使得
b
k
、
b< br>k+1
、
b
k+2
成等比数列，
则
bk
b
k+2
=b
k+1
2
．（
8
分）
因为
b
n
=lna
n
=lnn
（
n
≥
2
），
所以
．（
13
分）
这与
b
k
b
k+2
=b
k+1
2
矛盾．
故不存在
k
（
k
≥
2
，
k
∈
N
*
） ，使得
b
k
、
b
k+1
、
b
k+2
成等比数列．（
14
分）
3
、（
1
）根据题意得出
=q
（
n
≥
2
），判断出奇数项，偶数项分 别成等比数列，运
用等比数列的通项公式求解即可．
（
2
）运用等 比数列的求和公式得出
q=1
时，
S
n
=
（
1+r
）
n
，
=0
，
q
≠
1
时，
S
n
=
，
=
，
分类讨论求解即可
（< br>3
）利用条件得出（
1+r
）
8
（﹣）
28
=
（
1+r
）
9
（﹣）
36
，
r=28
﹣
1=255
，
T
n
=
（
256< br>）
n
•（﹣
2
）
=
（﹣
1
）•
2
，再根据函数性质得出最小项，注意符号即可．
解：（
1
）
b
n
=a
n
•
a
n+1
，{b
n
}
是公比为
q
（
q
≠
0
，
q
≠﹣
1
）的等比数列，
因为数列
{an
a
n+1
}
是一个以
q
（
q
＞0
）为公比的等比数列
因此
=q
，所以
=q
（
n
≥
2
），
即
=q
（
n
≥
2
），
∴奇数项，偶数项分别成等比数列
∵设
c
n
=a
2n
﹣
1
+a
2n
．
∴
c
n< br>=1
•
q
n
﹣
1
+r
•
q
n
﹣
1
=
（
1+t
）•
q
n
﹣< br>1
∴
bn=
（
1+r
）•
qn
﹣
1
（
2
）
q=1
时，
S
n
=
（
1 +r
）
n
，
=0
q
≠
1
时，
S
n
=
，
=
若
0
＜
q
＜
1
，
=
若
q
＞
1
，
=0
∴
=
（
3
）设
{c
n
}
前
n
项积为
T
n
，当
q=
﹣时，
T
n
=
（
1 +r
）
n
∵
T
n
的最大值在
n=8和
n=9
的时候取到，
∴（
1+r
）
8（﹣）
28
=
（
1+r
）
9
（﹣）
3 6
，
r=2
8
﹣
1=255
，
∴
T
n
=
（
256
）
n
•（﹣
2
）
=
（﹣
1
）•
2
，
根据数列的函数性 质得出
n=7
，
n=10
时，
T
n
的最小值为﹣< br>2
35
．
4
、（Ⅰ）利用等比数列的前
n
项和公式表示出
S
2
，
S
4
，
S
3
，然后根据
S
2
，
S
4
，
S
3
成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，将表示出的
S
2
，
S
4
，
S
3
代入得到
关于
a
1
与
q
的关系式，由
a
1
≠
0
，两边同时除以
a
1
，得到关于
q
的方程，求出方
程的解，即可得到数列
{ a
n
}
的通项公式；
（Ⅱ）
S
n
=1< br>﹣，分类讨论，利用函数的单调性，即可求出
b
n
的最大值与最小值．
解：（Ⅰ）由题意，
q
≠
1
，则
∵
S< br>2
，
S
4
，
S
3
成等差数列，
∴
2S
4
=S
2
+S
3
，
又数列
{a
n
}
为等比数列，
∴
4（
a
1
+a
1
q+a
1
q
2
+a
1
q
3
）
=
（
a
1
+a1
q
）
+
（
a
1
+a
1
q+ a
1
q
2
），
整理得：
2q
2
﹣
q
﹣
1=0
，
解得：
q=1
或
q=
﹣，
∴
a
n
=
；
（Ⅱ）
S
n
=1
﹣，
n
为奇数时，S
n
=1+
，随着
n
的增大而减小，所以
1
＜
S
n
≤
S
1
=
，
因为
y=x
﹣在（
0
，
+
∞）上为增函数，
b
n
=S
n
﹣（
n
∈
N
*
），
所以
0
＜
b
n
≤；
n
为偶数时 ，
S
n
=1
﹣，随着
n
的增大而增大，所以
S2
≤
S
n
＜
1
，
因为
y= x
﹣在（
0
，
+
∞）上为增函数，
b
n
= S
n
﹣（
n
∈
N
*
），
所以﹣≤
b
n
＜
0
；
所以﹣≤
b
n
＜
0
或
0
＜
b
n
≤，
所以
b
n
的最大值为，最小值为﹣．
5
、（Ⅰ）依题意有
由于
，故，又，从而……
6
分
（Ⅱ）由已知可得，故
从而
…………………………
12
分
6
、
( 1)
由题意，得：，则………………
..2
’
解得：
………………
..4
’
(2)
是向量组的“向量”，证明如下：
，
当为奇数时，
………………
..6
’
，故………
8
’
即
当为偶数时，
故
即
综合得：是向量组的“向量”………………
..10
’
(3)
由题意，得：，，即
即，同理，
三式相加并化简，得：
即，，所以………………
..13
’
设，由得：
设，则依题意得：，
得
故
所以
……
16
’
当且仅当
()
时等号成立
故………………
..18
’
7
、
8
、