数列综合练习题以及答案解析
玛丽莲梦兔
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2021年01月28日 23:57
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维稳工作总结-当爱还没说出口
数列综合练习题
一．选择题（共
23
小题）
1
．已知函数
f
（
x
）
=
列，则实数a
的取值范围是（
）
A
．
[
，
4
）
B
．
（
，
4
）
C
．
（
2
，
4
）
D
．
（
1
，
4
）
，若数列
{< br>a
n
}
满足
a
n
=f
（
n
）
（
n
∈
N
*
）
，且
{
a
n
}
是递增数
2
．
已知
{
a
n
}
是递增数列，
且对任意
n
∈
N
*
都有
a
n
=n
2
+
λn
恒成立，
则实数
λ
的取值范围是
（
）
A
．
（﹣
，
+
∞）
B
．
（
0
，
+
∞）
C
．
[
﹣
2
，
+
∞）
D
．
（﹣
3
，
+
∞）
3
．已知函数
f
（
x
）是
R
上的单调增函数且为奇函数，数 列
{
a
n
}
是等差数列，
a
11
＞
0
，则
f
（
a
9
）
+
f
（a
11
）
+
f
（
a
13
）的值（
）
A
．恒为正数
B
．恒为负数
C
．恒为
0
D
．可正可负
4
．等比数列
{
a
n}
中，
a
4
=2
，
a
7
=5
，则数列
{
lga
n
}
的前
10
项和等于（
）
A
．
2
B
．
lg50 C
．
10
D
．
5 5
．右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，
称为杨辉三角形，根据图中的数 构
成的规律，
a
所表示的数是（
）
A
．
2
B
．
4
C
．
6
D
．
8
=4a
1
，则
+
的
6< br>．已知正项等比数列
{
a
n
}
满足：
a
7< br>=a
6
+
2a
5
，若存在两项
a
m
，
a
n
，使得
最小值为（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
7
．已知
，把数列
{
a
n
}
的各项排列成如图的三角形状，记
A
（
m
，
n< br>）表示第
m
行的
第
n
个数，则
A
（
10
，
12
）
=
（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
1
8
．设等差数列
{
a
n
}
满足
=1
，公差
d
∈（﹣
1
，
0
）
，
若当且仅当
n=9时，
数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
取得最大值，
则首项
a
1
的取值范围是
（< br>
）
A
．
（
π
，
）
B
．
[
π
，
]
C
．
[
，
]
D
．
（
，
）
9
．定义在（﹣∞，
0
）∪（
0
，
+
∞）上的函数
f
（
x< br>）
，如果对于任意给定的等比数列
{
a
n
}
，
{
f
（
a
n
）
}
，仍是等比数列，则称
f
（
x
）为
“
等比函数
”
．现有定义在（﹣∞）< br>，
0
）∪（
0
，
+
∞）
上的如下函数：
①
f
（
x
）
=3
x
，②
f
（
x
）
=
，③
f
（
x
）
=x
3
，④
f
（
x
）
=log
2
|
x
|
，
则其中是
“
等比函数
”
的
f
（
x
）的序号为（
）
A
．①②③④
B
．①④
C
．①②④
D
．②③
10
．已知数列
{
a
n
}
（
n
∈
N
*
） 是各项均为正数且公比不等于
1
的等比数列，对于函数
y=f
（
x< br>）
，
若数列
{
lnf
（
a
n
）}
为等差数列，则称函数
f
（
x
）为
“
保比差 数列函数
”
．现有定义在（
0
，
+
∞）
上的三个函 数：①
f
（
x
）
=
；②
f
（
x< br>）
=e
x
；③
f
（
x
）
=
数
”
的是（
）
A
．③④
B
．①②④
C
．①③④
D
．①③
，则
a
n
=
（
）
；④
f
（
x
）
=2x，则为
“
保比差数列函
11
．已知数列
{
a
n
}
满足
a
1
=1
，
a
n
+
1
=
A
．
B
．
3n
﹣
2
C
．
D
．
n
﹣
2
1 2
．已知数列
{
a
n
}
满足
a
1
=2
，
a
n
+
1
﹣
a
n
=an
+
1
a
n
，那么
a
31
等于（
）
A
．﹣
B
．﹣
C
．﹣
D
．﹣
13
．如果数列
{
a
n
}
是等比数列，那么（
）
A
．数列
{
}
是等比数列
B
．数列
{
2
an
}
是等比数列
C
．数列
{
lga
n
}
是等比数列
D
．数列
{
na
n
}
是等比数列
14
．在数列
{
a
n
}
中，
a
n
+
1
=a
n
+
2
，且
a
1
=1
，则
A
．
B
．
C
．
D
．
=
（
）
1 5
．等差数列的前
n
项，前
2n
项，前
3n
项的和 分别为
A
，
B
，
C
，则（
）
A
．
A
+
C=2B
B
．
B
2
=AC
C
．
3
（
B
﹣
A
）
=C
D
．
A
2
+
B
2
=A
（
B+
C
）
16
．已知数列
{
a
n}
的通项为
a
n
=
（﹣
1
）
n
（
4n
﹣
3
）
，则数列
{
a
n
}
的前
50
项和
T
50
=
（
）
2
A
．
98
B
．
99
C
．
100
D
．
101
17
．数列
1
，
A
．
B
．
，
C
．
，
…
，
D
．
的前
n
项和为（
）
18
．数列
{
a
n
}
的通项公式为
A．
1006
B
．
1008
，其前
n
项和为
s
n
，则
s
2017
等于（
）
C
．﹣
1006
D
．﹣
1008
，则数列
{
a
n
}
前
16
项和等于（
）
19．数列
{
a
n
}
中，
A
．
130
B
．
132
C
．
134
D
．
136
20
．
《庄子
•
天 下篇》中记述了一个著名命题：
“
一尺之锤，日取其半，万世不竭
”
．反映这 个
命题本质的式子是（
）
A
．
1< br>+
+
C
．
+
+
…
+
+
…< br>+
=2
﹣
=1
D
．
+
=
B
．
1
+
+
+
…
+
+
+
…
+
＜
1
，
a
1
=8
，则数 列
{
a
n
}
的通项公式为（
）
+
…
＜
2
21
．在数列< br>{
a
n
}
中，若
A
．
a
n
=2
（
n
+
1
）
2
B
．
a
n
=4
（
n
+
1
）
C
．
a
n
=8n
2
D
．
a
n
=4n
（
n
+
1
）
，把 函数
g
（
x
）
=f
（
x
）﹣
x< br>的零点按从小到大的顺
22
．已知函数
f
（
x
）=
序排列成一个数列，则该数列的前
n
项的和为
S
n
， 则
S
10
=
（
）
A
．
2
10
﹣
1
B
．
2
9
﹣
1
C
．
45
D
．
55
，公差
d
∈（﹣
1
，
0
）
，当且仅当
23
．设等差数列
{
a
n
}
满足
n=9
时，数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
取得最大值，求该数列首项
a
1< br>的取值范围（
）
A
．
B
．
[
，
]
C
．
（
，
）
D
．
[
，
]
二．解答题（共
4
小题）
24
．已知
{
a
n
}
是等差数列，
{
b
n
}
是等比数列 ，且
b
2
=3
，
b
3
=9
，
a< br>1
=b
1
，
a
14
=b
4
．
（
1
）求
{
a
n
}
的通项公式；
（
2
）设
c
n
=a
n
+
b
n
，求数列
{
c
n
}
的前
n
项和．
3
25
．
已 知等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
Sn
，
等比数列
{
b
n
}
的前
n
项和为
T
n
，
a
1
=
﹣
1
，< br>b
1
=1
，
a
2
+
b
2
= 2
．
（
1
）若
a
3
+
b
3
=5
，求
{
b
n
}
的通项公式；
（< br>2
）若
T
3
=21
，求
S
3
．
26< br>．设数列
{
a
n
}
满足
a
1
+3a
2
+
…
+
（
2n
﹣
1
）
a
n
=2n
．
（
1
）求
{a
n
}
的通项公式；
（
2
）求数列
{
27
．已知等差数列
{
a
n
}
和等比数列
{
b
n
}
满足
a
1
=b
1
=1
，
a
2
+< br>a
4
=10
，
b
2
b
4
=a
5
．
（Ⅰ）求
{
a
n
}
的通项公式；
（Ⅱ）求和：
b
1
+
b
3
+
b
5
+
…
+
b
2n
﹣
1
．
}
的前
n
项和．
4
数列综合练习题答案与解析
一．选择题（共
23
小题）
1
．已知函数
f
（
x
）
=
列，则实数a
的取值范围是（
）
A
．
[
，
4
）
B
．
（
，
4
）
C
．
（
2
，
4
）
D
．
（
1
，
4
）
，数列
{a
n
}
满足
a
n
=f
（
n
）
（
n
∈
N
*
）
，且
{
a
n
}
是递
，若数列
{
a
n
}
满足
a
n
=f
（
n
）
（
n
∈
N
*
）
，且
{
a
n
}
是递增数
【解答】< br>解：函数
f
（
x
）
=
增数列，
∴
，
解得
2
＜
a
＜
4
．
故选：
C
．
2
．
已知{
a
n
}
是递增数列，
且对任意
n
∈
N
*
都有
a
n
=n
2
+
λn
恒成 立，
则实数
λ
的取值范围是
（
）
A
．
（﹣
，
+
∞）
B
．
（
0
，
+
∞）
C
．
[
﹣
2
，
+
∞）
D
．
（﹣
3
，
+
∞）
【解答】
解：∵
{
a
n
}
是递增数列，
∴
a
n
+
1
＞
a
n
，
∵
a
n
=n
2
+
λn
恒成立
< br>即（
n
+
1
）
2
+
λ
（
n
+
1
）＞
n
2
+
λn
，
∴
λ
＞﹣
2n
﹣
1
对于
n
∈
N
*
恒成立．
而﹣
2n
﹣
1
在
n =1
时取得最大值﹣
3
，
∴
λ
＞﹣
3
，
故选
D
．
3
．已知函数
f
（
x
）是
R
上的单调增函数且为奇函数，数列
{
a
n
}
是等差数列，
a
11
＞
0
，则
f
（
a
9
）
+
f
（
a
11）
+
f
（
a
13
）的值（
）
A
．恒为正数
B
．恒为负数
C
．恒为
0
D
．可正可负
【解答】
解 ：∵
f
（
a
11
）＞
f
（
0
）< br>=0
，
a
9
+
a
13
=2a
11< br>＞
0
，
a
9
＞﹣
a
13
，
5
∴
f
（
a
9
）＞
f
（﹣
a
13
）
=
﹣
f
（
a< br>13
）
，
f
（
a
9
）
+
f
（
a
13
）＞
0
，
∴
f
（
a
9
）
+
f
（
a
11
）+
f
（
a
13
）＞
0
，
故选：
A
．
4
．等比数列
{
a
n
}
中，
a
4
=2
，
a7
=5
，则数列
{
lga
n
}
的前
1 0
项和等于（
）
A
．
2
B
．
lg50 C
．
10
D
．
5
【解答】
解：∵等比数列
{
a< br>n
}
中，
a
4
=2
，
a
7
=5
，
∴
a
1
a
10
=a
2< br>a
9
=…=a
4
a
7
=10
，
< br>∴数列
{
lga
n
}
的前
10
项和
S=lga
1
+
lga
2
+
…
+
lga< br>10
=lga
1
a
2
…a
10
= lg10
5
=5
故选：
D
5
．右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，
称为杨辉三角形，根据图中的数构
成的规律，
a
所表示的数是（
）
A
．
2
B
．
4
C
．
6
D
．
8
【解答】
解：杨辉三角形中，每一行的第一个数和 最后一个数都是
1
，首尾之间的数总是上
一行对应的两个数的和，
∴
a=3
+
3=6
；
故选
C
．
6
．已知正项等比数列< br>{
a
n
}
满足：
a
7
=a
6
+
2a
5
，若存在两项
a
m
，
a
n，使得
最小值为（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
= 4a
1
，则
+
的
【解答】
解：设正项等比数列
{< br>a
n
}
的公比为
q
，且
q
＞
0，
由
a
7
=a
6
+
2a
5
得：
a
6
q=a
6
+
，
化简得 ，
q
2
﹣
q
﹣
2=0
，解得
q=2
或
q=
﹣
1
（舍去）
，
6
因为
a
m
a
n
=16a
1
2< br>，所（
a
1
q
m
﹣
1
）
（
a
1
q
n
﹣
1
）
=16a
1
2< br>，
则
q
m
+
n
﹣
2
=1 6
，解得
m
+
n=6
，
+
=
× （
m
+
n
）×（
+
）
=
×（
17
+
+
，
＞
，
）≥
×（
17
+
2
）
=
，
当且仅当
=
，解得：
m=
，
n=
因为
m n
取整数，所以均值不等式等号条件取不到，
+
验证可得，当
m=1
、
n=5
时，取最小值为
故答案选：
B
．
7
．已知
．
，把数列
{
a
n
}
的各项排列成如图的三角形状，记
A
（
m
，
n< br>）表示第
m
行的
第
n
个数，则
A
（
10
，
12
）
=
（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
【解答】
解：由
A
（
m
，
n
）表示第
m
行的第
n
个数可知，
A
（< br>10
，
12
）表示第
10
行的第
12
个数，
根据图形可知：
①每一行的最后一个项的项数为行数的平方，所以第10
行的最后一个项的项数为
10
2
=100
，
即为< br>a
100
；
②每一行都有
2n
﹣
1
个项，所以第
10
行有
2
×
10
﹣
1=19项，得到第
10
行第一个项为
100
﹣
19
+
1=82
，所以第
12
项的项数为
82
+
12
﹣< br>1=93
；
所以
A
（
10
，
12
）
=a
93
=
故选
A
．
8
．设等差数列
{
a
n
}
满足
=1
，公差
d
∈（﹣
1
，
0
）
，
若当且仅当
n=9
时，
数列
{
a
n
}< br>的前
n
项和
S
n
取得最大值，
则首项
a1
的取值范围是
（
）
A
．
（
π
，
）
B
．
[
π
，
]
C
．
[
，
7
]
D
．
（
，
）
【解答】
解：∵
=
=
=
=
=
=
﹣
=
﹣
sin
（
4d
）
，
∴
sin
（
4d
）
=
﹣
1
，
∵
d
∈（﹣1
，
0
）
，∴
4d
∈（﹣
4
，
0
）
，
∴
4d=
﹣
∵
S
n< br>=na
1
+
，
d=
﹣
=
，
，
=
﹣
+
，
∴其对称轴方程为：n=
有题意可知当且仅当
n=9
时，数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
取得最大值，
∴< br>＜
＜
，解得
π
＜
a
1
＜
，
故选：
A
．
9
．定义在（﹣∞，< br>0
）∪（
0
，
+
∞）上的函数
f
（
x
）
，如果对于任意给定的等比数列
{
a
n
}
，< br>{
f
（
a
n
）
}
，仍是等比数列，则称f
（
x
）为
“
等比函数
”
．现有定义在（﹣∞ ）
，
0
）∪（
0
，
+
∞）
上的如下函数：
①
f
（
x
）
=3
x
，
②
f
（
x
）
=
，
8
③
f
（
x
）
=x
3
，
④
f
（
x
）
=log
2
|
x|
，
则其中是
“
等比函数
”
的
f< br>（
x
）的序号为（
）
A
．①②③④
B
．①④
C
．①②④
D
．②③
【解答】
解：不 妨设等比数列
{
a
n
}
中，
a
n
=a1
•q
n
﹣
1
，
①∵
f
（
x
）
=3
x
，
∴
=
=
=
=
常数，
故当q
≠
1
时，
{
f
（
a
n
）< br>}
不是等比数列，
故
f
（
x
）
= 3
x
不是等比函数；
②∵
f
（
x
）
=
，
∴
=
=
=
，
故
{
f
（
a
n
）
}
是等比数列，
故
f
（
x
）
=
是等比函数；
③∵
f
（
x
）
=x
3
，
∴
=
═
q
3
，
故
{
f
（
a
n
）
}
是等比数列，
故
f
（
x
）
=x
3
是等比函数；
④
f
（
x
）
=log
2
|
x|
，
∴
=
=
，
故
{f
（
a
n
）
}
不是等比数列，
故< br>f
（
x
）
=log
2
|
x
|
不是等比函数．
故其中是
“
等比函数
”
的
f< br>（
x
）的序号②③，
故选：
D
．
9