高中数列知识点总结及练习题
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2021年01月29日 00:00
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数列知识点总结
第一部分
等差数列
一
定义式：
a
n
a
n
1
d
二
通项公式：
a
n
< br>a
m
(
n
m
)
d
a
1
(
n
1)
d
一个数列是等差数列的等价条件：
a
n
an
b
(a
，
b
为常数
)
，即
a
n
是关于
n
的一次函数，因
为
n
Z
，所以
a
n
关于
n
的图像是一次函数图像的分点表示 形式。
三
前
n
项和公式：
S
n
n
(
a
1
a
n
)
n
(
n
1)
na
中间项
na
1
d
2
2
2
一个数列是等差数列的另一个充要条件：
S
n
an
bn
(a
，
b
为 常数，
a
≠
0)
，即
S
n
是关于
n
的二次函数，因为
n
Z
，所以
S
n
关于
n
的图像是二次函数图像的分点表示形式。
四
性质结论
1.3
或
4
个数成等差数列求数值时应按对称性原则设置，
如：
3
个数
a-d,a,a+d
；
4
个数
a-3d,a-d,a+d,a+3d
2.
a
与< br>b
的等差中项
A
a
b
；
2
在等差数列
a
n
中，若
m
< br>n
p
q
，则
a
m
a
n
a
p
a
q
；若
m
n
2
p
，则
a
m
a
n
2
a
p
；
3.
若等差 数列的项数为
2
n
n
N
，则
S
偶
S
奇
nd
，
S
奇
S
偶
a
n
；
an
1
若等差数列的项数为
2
n
1
n
N
，
则
S
2
n
1
2
n
1
a
n
，
且
S
奇
S
偶
a
n
，
S
奇
S
偶
n
n
1
4.
凡按一定规律和次序选出的一组一组的和仍然成等差数列。设A
a
1
a
2
a
n
,
，
B
a
n
1
a
n
2
a
2
n
，
C
a
2
n
1
a
2
n
2
a
3
n
，则有
2
B
A
C
；
5.
a
1
0
,
S
m
S
n
,
则前
S
m
n
(m+n
为偶数
)
或
S
m
n
1
(m+n
为奇
2
2
数
)
最大
第二部分
等比数列
a
n
q
(
n
2,
a
n
0,
q
0)
{
a
n
}
成等 比数列。
一
定义：
a
n
1
二
通项公式 ：
a
n
a
1
q
n
1
，
a
n
a
m
q
n
m
数列
{a
n
}
是等比数列的一个等价条件是：
S
n
a
(
b
n
1),(
a
0,
b
0
，
1
）
a
n< br>关于
n
的图像是指数函数图像的分点
当
q
0
且
q
0
时，
表示形式。
1
(
q
1)
na
1
n
三
前
n
项和：
S
n
< br>
a
1
(1
q
)
a
1
a
n
1
q
；
(
q
1)
1
q
1
q
(
注意对公比的讨论
)
四
性质结论：
1.
a
与
b
的等比中项
G< br>
G
ab
G
ab
(
a
,
b
同号
)
；
2.
在等比 数列
a
n
中，若
m
n
< br>p
q
，则
a
m
a
n
a
p
a
q
；
若
m
n
2
p
，则
a
m
a
n
a
2
p
；
3.
设
A
a
1
a
2
a
n
,< br>，
B
a
n
1
a
n< br>
2
a
2
n
，
2
C
a
2
n
1
a
2
n
2
a
3
n
，
则有
B
2
A
C
第三部分
求杂数列通项公式
a
n
一．
构造等差数列：递推式不能构造等比时，构造等差数列。
第一类：凡是出现分式递推式都可以构造等差数列来求通项公式，
例如：
a
n
1
1
a
n
1
，
2
a
n
1
1
1
a
n
1
1
2
1
1
{
}
是
公
差
为
2
的
等
差
数
列
a
n
1
a
n
1
两
边
取
倒
数
1
1
2
(
n
1
)
， 从而求出
a
n
。
a
n
1
a< br>1
1
第二类：
(
n
2
1)
a
n
n
2
a
n
1
n
(
n
1)
n
< br>1
n
n
1
a
n
< br>是公差为
1
的等差数列
a
n
a
n
1
1
n
n
1
n
n
1
1
1
2
n
a
n
a
1
a
n
n
1
n
1
二。递推：即按照后项 和前项的对应规律，再往前项推写对应式。
例如
a
n
n a
n
1
a
n
n
n
1
a
n
2
a
n
n
!
a
1
【注
:
n
!
n
(
n
1)(
n
< br>2)
L
1
】
求通项公式
a
n
的题 ，不能够利用构造等比或者构造等差求
a
n
的时候，一般通过递推来求
an
。
第四部分
求前
n
项和
S
n
一
裂项相消法：
1
1
1
1
L
1
1
1
1
1
2
2
3
3
4
（
n
n
1
）
1
,2
,3
,4
,
L的前
n
和是：
3
9
27
81
1
11
1
1
1
1
1
(
)
(
)
(
)
L
(
)
、
1
1
1
1
12
2
3
3
4
n
n
1
（+< br>1
2
+
3
+
4
+
L
）+
（
+
+
+
L
）
1
1
n
3
9
27
81
1
n
1
n
1
二
错位相减法：凡等差数列和等比数列对应项的乘积构成的数列求和时用此方法，
2
求：
S
n
=x
3x
2
5x
3
L
(2n-5) x
n-2
(2n-3)x
n-1
(2n-1)x
n
(x
1)
S
n
=x
3x
2
5x
3
L
(2n-5)x
n- 2
(2n-3)x
n-1
(2n-1)x
n
(x
1)
①
xS
n
=x
2
3x
3
5x
4
L
(2n-5)xn-1
(2n-3)x
n
(2n-1)x
n+1< br> (x
1)
②
①减②得：
(1
x)S
n
=x
2x
2
2x
3
L
2x
n-1
2x
n
2n
1
x
n+1< br>
x
2x
2
1
x
n -1
1
x
2n
1
x
n+1
从而求出
S
n
。
错位相减法的步骤：
(1)
将要求和的杂数列前后各写出三项，列出①式
(2)
将①式左右两边都乘以公比
q
，得到②式
(3)
用①
②，错位相减
(4)
化简计算
三
倒序相加法：前两种方法不行时考虑倒序相加法
例：等差数列求和：
S
n
=a
1
a
2
a
3< br>
L
a
n
2
a
n< br>
1
a
n
S
n
=a
n
a
n
1
a
n
2
L
a
3
a
2
a
1
两式相加可得：
2S
n
=
a
1
a
n
a
2
a
n
1
a
3
a
n
2
L
a
3
a
n
2
a
2
a
n
1
a
1
a
n
n
a
1
a
n
S
n
数列
一、选择题
（每题
5
分，共
10
题）
1 .
公比为
2
的等比数列
a
n
的各项都是正数，且
a
3
a
11
=16
，则
a
5
=
（
）
A.
1
B.
2
C.
4
D.
8
2.
在各项都为正数的等比数列
a
n
中，
首 项
a
1
3
，
前三项和为
21
，
则
a
3
a
4
a
5
（
）
A.
33
B.
72
C.
84
D.
189
a
7
2
3
．在等比数列< br>
a
n
中，若
a
3
a
4
a
5
a
6
a
7
243
，则
的值 为（
）
a
9
A.
9
B.
6
C.
3
D.
2
4.
已知数列
1,
a
1
,
a
2
,
4
成等差数列
,
1,
b
1
,
b
2
,
b3
4
成等比数列，则
（
）
a
2
a
1
的值为
b
2
3