我毕业了-今生今世张杰

2021年1月29日发(作者：当爱情来敲门)
2013
一、等差等比数列基础知识点

（一）知识归纳：

1
．概念与公式：

①等差数列：
1
°
.
定义：若数列
{
a
n
}
满足
a
n

1

a
n

d
(
常数
),
则< br>{
a
n
}
称等差数列；

2
°
.< br>通项公式：
a
n

a
1

(
n
1
)
d

a
k

(
n
k
)
d
;

3
°
.
前n
项和公式：公式：
S
n

n
(
a
1

a
n
)
n
(
n

1
)

na
1

d
.

2
2
②
等
比
数
列
：
1
°
.
定
义
若
数
列
{
a
n
}
满足
a
n

1
，
则
{
a
n
}
称
等
比
数
列
；
2
°
.
通
项
公
式
：

q
（
常
数
）
a
n
a
n

a
1
q
n

1

a
k
q
n

k
a
1

a
n
q
a
1
(
1

q
n
)

(
q

1
),
当
q=1
时
S
n

na
1
.

;
3
°
.
前
n
项和公式：
S
n

1

q
1

q
2
．简单性质：

①首尾项性质 ：设数列
{
a
n
}
:
a
1
,
a< br>2
,
a
3
,

,
a
n
,< br>
1
°
.
若
{
a
n
}
是等 差数列，则
a
1

a
n

a
2

a
n

1

a
3

a
n

2


;

2
°
.
若
{
a
n
}
是等比数列，则
a
1

a
n

a
2

a
n

1

a
3

a
n

2


.


②中项及性质：

1
°
.
设
a
，
A
，
b
成等差数列，则
A
称
a、
b
的等差中项，且
A

a

b
;< br>
2
2
°
.
设
a
,G,
b
成等比数列，则
G
称
a
、
b
的等比中项，且
G

ab
.

③设
p
、
q
、
r
、
s
为正整数，且
p

q

r

s
,

1
°
.
若
{
a
n
}
是等差数列，则
a
p

a
q

a
r

a
s
;

2
°
.
若
{
a
n
}
是等比数列 ，则
a
p

a
q

a
r

a
s
;

④顺次
n
项和性质：

1
°
.
若
{
a
n
}
是公差为
d
的等差数列，
则

a
,

a
,

a
k
k
k

1
k

n

1
2
n
k

2
n

1
3
n
n
k
k
n
2
n
3
n
k
组成公差为
n
2
d
的等差数列；

2
°
.
若
{
a
n
}
是公差为< br>q
的等比数列，
则
偶数时这个结论不成立）

⑤若
{
a
n
}
是等比数列，


a
,

a
,

a
k

1
k

n

1
k

2
n

1
k
组成公差为
q
n
的等比数列
.
（注意：当q
=
－
1
，
n
为
1
/
9
则顺次
n
项的乘积：
a
1
a
2

a
n
,
a
n

1
a
n

2

a
2
n
,
a
2
n

1
a
2
n

2

a
3
n
组成公比这
q
n
的等比数列
.
⑥若
{
a
n
}
是公差为
d
的等差数列
,
1
°
.< br>若
n
为奇数，则
S
n

na
中
且< br>S
奇

S
偶

a
中
(
注< br>:
a
中
指中项
,
即
a
中

a
n

1
,
而
S
奇、
S
偶
指所有奇数项、所有偶
2
2
数项的和）
；

2
°
.
若
n
为偶数，则
S
偶

S
奇< br>
nd
.

2
（二）学习要点：

1
．学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差
d
≠
0
的等差数列的通项公式是项
n
的一
次函数
a
n
=
an
+
b
;
②公差
d
≠
0
的等差数列的前
n
项和公式项数
n
的没有常数项的二次函数
S
n
=
an
2
+
bn
;
③公比
q
≠
1< br>的等
比数列的前
n
项公式可以写成“
S
n
=
a
(1-
q
n
)
的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.
2
．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确 ，绝对不能用课外的需要证
明的性质解题
.
3
．巧设“公差、公比”是解决 问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“
a,a+m,a+2m
（或a-m,a,a+m
）
”
②
三
数
成
等
比
数
列
，
可
设
三
数
为
“
a,aq,aq
2
(
或
a
，
a,aq
)
”
③
四
数
成
等
差
数
列
，
可
设
四
数
为
q
“
a
,
a

m
,
a

2
m
,
a

3
m
(
或
a

3
m
,
a

m
,
a

m
,
a

3
m
);
”
④
四
数
成
等
比
数
列
，
可
设
四
数
为
“
a
,
aq
,
aq
,
aq
(
或
2
3
a< br>a
,

,
aq
,

aq
3
),
”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验
.
3
q
q
[
例
1]
解答下述问题：

1
1
1
,
,
成等差数列，求证：

ab
c
b

c
c

a
a
b
（
1
）
成等差数列；

,
,
ab
c
b
b
b
（
2
）
a
,

,
c

成等比数列
.
2
22
（Ⅰ）已知
[
解析
]
该问题应该选择“中项”的知识解决，< br>
1
1
2
a

c
2
①
c

),





2
ac

b
(
a

a
c
b
ac
b
②
2
2
b

c
a

b
bc< br>
c

a

ab
b
(
a

c
)

a
2

c
2
(
1
)




a
c
ac
ac
2
(
a

c
)
2
2
(
a

c
)


.
b
(
a

c
)
b

b

c
c

a
a

b

,
,
成等差数列
;
a
b
c
b
b
b
b
2
b
(
2
)(
a

)(
c

)

ac
< br>(
a

c
)


(

)< br>2
,
2
2
2
4
2
b
b
b< br>
a

,

,
c

成等比数列.
2
2
2

[
评析
]
判断（或证明） 一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中项”性质、根据“定义”判断，
.
①

（Ⅱ）等比数列的项数
n
为奇数，且所有奇数项的乘积为
1024
，所有偶数项的乘积为


2
/
9
②


128
2
，求项数
n.
[
解析
]
设公比为
q
,

n

1
2
a
1
a
3
a
5

a
n
1024


4
2

a
2
a
4< br>
a
n

1
128
2
(
1
)

35
2
5
2

a
1

q

4
2
而
a
1
a
2
a
3

a
n

1024

128
2

2

(
a
1

q

n

1
n
2
35
2

a
1
q
1

2

3


(
n
1
)

2
n
35
2
35
2
)

2
,
将
(
1
)
代入得
(
2
)

2
,

5
n
35
,
得
n

7
.
2
2
（Ⅲ
）
等
差
数
列
{
a
n
}中
，
公
差
d
≠
0
，
在
此数
列
中
依
次
取
出
部
分
项组
成
的
数
列
：
a
k
1
,a
k
2
,

,
a
k
n
恰为等 比数列
,
其中
k
1

1
,
k
2< br>
5
,
k
3

17
,

求 数列
{
k
n
}
的前
n
项和
.
< br>[
解析
]

a
1
,
a
5
,
a
17
成等比数列
,

a
5

a
1

a
17
,

2

(
a
1

4
d
)
2

a
1

(
a
1

16
d
)

d
(
a
1

2
d
)

0

d

0
,

a
1

2
d
,

数列
{
a
k
n
}
的公比
q

a
5
a
1

4
d


3
,
a
1
a
1
①
②



a
k
n

a
1

3
n

1

2
d

3
n

1
而
a
k
n

a
1

(
k
n

1
)
d

2
d

(
k
n

1
)
d
由
①，②

得
k
n

2

3
n

1

1
,
3
n

1
{
k
n
}
的前
n
项和
S
n

2

< br>n

3
n

n

1
.
3< br>
1
[
评析
]
例
2
是一组等差、等比数列的 基本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功
.
[
例
3]
解答下述问题：

（Ⅰ）三数成等比数列，若将第 三项减去
32
，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去
4
，又成等比数 列，
求原来的三数
.
[
解析
]
设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单，
设等差数列的三项分别为
a
－
d
,
a
,
a+
d
，则有

2
2



(
a

d
)(
a

d

32
)

a

d

32
d

32< br>a

0



2
2

< br>(
a

4
)

(
a

d< br>)(
a

d
)
8
a

16

d


8
26

3
d
2

32
d

64

0
,

d< br>
8
或
d

,
得
a

10
或
,

3
9
2
26
338
原三数为
2
,
10
,
50
或
,
,.
9
9
9
（Ⅱ）有四个正整数成等差数列，公差为
10
，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数
.
[
解析
]
设 此四数为
a

15
,
a

5
,
a

5
,
a

15
(
a

15
)
,
3
/
9

(
a

15
2
)

(
a

5
)
2

(
a

5
)
2

(
a

15
)
2

(
2
m
)2
(
m

N

)

4
a2

500

4
m
2

(
m

a
)(
m

a
)

125,

125

1

125

5

25
,

m

a
与
m
a
均为正整数
,
且
m

a

m

a
,

m

a

1

m

a

2





m

a

125

m

a
< br>25
解得
a

62
或
a

12(
不合
),

所求四数为
47
，
57
，
67
，
77
[
评析
]
巧设公差、公比是解决等 差、等比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主
要方法
.



等差数列

等比数列



a
n
-a
n-1
=d

(
定义
)

2a
n
=a
n-1
+a
n+1
（等差中项）


a
n
=a
m
+(n-m)d
（通项公式）


m+n=p+q
a
m
+a
n
=a
p
+a
q
（通项公式）


S
1
=a
1

a
n
=S
n
-S
n-1

=q



(
定义
)

a
n
2
=a
n-1
a
n+1













（
等差中项
）


a
n
=a
m
q
n-m















（通项公式
）


m+n=p+q
a
m
a
n
=a
p
a
q
（通项公式 ）


S
1
=a
1

a
n
=S
n
-S
n-1

a
1
+a
n
=a
2
+a
n-1
=a
3
+a
n-2
…
(
在等差数列中，

S
n
,
S
2n
-S
n
,
S
3n
-S
2n

,
…
,
S< br>kn
-S
(k-1)n
成等比数列
，
首末两项距离相等的两项 和等于首末两项
q=q
n

的和
)[
e.g.

a
7
+a
8
=a
1
+a
14

2
a
10
=a
5
+a
15
]

S
n
=

S
2n-1
=(2n-1)a
n

S
n
, S
2n
-S
n
, S
3n
-S
2n
,
…
, S
kn
-S< br>(k-1)n
成等差数
列
,
公差
d=n
2
d


1
、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列（


）

（
A
）为常数数列







（
B
）为非零的常数数列（
C
）存在且唯一







（
D
）不存在

4
/
9

我毕业了-今生今世张杰

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