最全的高中数学数列练习题-附答案与解析.
别妄想泡我
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2021年01月29日 00:11
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数列
1
．
{
a
n
}
是首项
a1
＝
1
，公差为
d
＝
3
的等差数列，如果a
n
＝
2 005
，则序号
n
等于
(
)
．
A
．
667
B
．
668
C
．
669
D
．
670
2
．在各项都为正数的等比数列
{
a
n
}
中，首项
a
1
＝
3
，前三项和为21
，则
a
3
＋
a
4
＋
a
5
＝
(
)
．
A
．
33
B
．
72
C
．
84
D
．
189
3
．如果
a
1
，
a
2
，…，
a
8
为各项都大于零的等差数列，公差
d
≠
0
，则
(
)
．
A
．
a
1
a
8
＞
a
4
a
5
B
．
a
1
a
8
＜
a
4
a
5
C
．
a
1
＋
a
8
＜
a
4
＋
a
5
D
．
a
1
a
8
＝
a
4
a
5
4
．已知方程
(
x
2
－
2
x
＋
m
)(
x
2
－
2
x
＋
n
)
＝
0
的四个根组成一个首项 为
｜
m
－
n
｜等于
(
)
．
A
．
1
B
．
1
的等差数列，则
4
3
4
C
．
1
2
D
．
3
8
5
．等比数列
{
a
n
}
中，
a
2
＝
9
，
a
5
＝
243
，则
{
an
}
的前
4
项和为
(
).
A
．
81
B
．
120
C
．
168
D
．
192
6
．若数列
{
a
n
}
是等差数列，首项
a
1
＞
0
，
a
2 003
＋
a
2 004
＞
0
，
a
2 003
·
a
2 004
＜
0
，则使前
n
项 和
S
n
＞
0
成立的
最大自然数
n
是
(
)
．
A
．
4 005
B
．
4 006
C
．
4 007
D
．
4 008
7
．已知等差数列
{
a
n
}
的公差为
2
，若
a
1
，
a
3
，
a
4
成等比数列
,
则
a
2
＝
(
)
．
A
．－
4
B
．－
6
C
．－
8
D
．
－
10
8
．设
S
n
是等差数列
{
a
n
}
的前n
项和，若
A
．
1
B
．－
1
a
5
S
5
＝
，则
9
＝
(
)
．
a
3
S
5
9
C
．
2
D
．
1
2
a
2
a
1
的值是
(
)
．
b
2
9
．
已知数列－
1
，
a
1
，
a
2< br>，
－
4
成等差数列，
－
1
，
b
1< br>，
b
2
，
b
3
，
－
4
成等 比数列，
则
A
．
1
2
B
．－
1
2
C
．－
1
1
或
2
2
D
．
1
4
2
10
．在等差数列
{
a
n
}
中，
a
n
≠
0
，
a
n
－
1
－
a
n
＋
a
n
＋
1
＝
0
(
n
≥
2
)
，若S
2
n
－
1
＝
38
，则
n
＝
(
)
．
A
．
38
B
．
20
C
．
10
D
．
9
二、填空题
11
．设
f
(
x
)
＝
1
2
x
2
，利用课 本中推导等差数列前
n
项和公式的方法，可求得
f
(
－
5< br>)
＋
f
(
－
4
)
＋…＋
f
(0)
＋…＋
f
(
5
)
＋
f
(
6
)
的值为
.
12
．已知等比数列
{
a
n
}
中，
(
1
)
若
a
3
·
a
4
·a
5
＝
8
，则
a
2
·
a
3< br>·
a
4
·
a
5
·
a
6
＝< br>
．
(
2
)
若
a
1
＋
a
2
＝
324
，
a
3
＋
a
4
＝
36
，则
a< br>5
＋
a
6
＝
．
(
3
)
若
S
4
＝
2
，
S
8
＝
6
，则
a
17
＋
a
18
＋
a
19
＋
a
20
＝
.
8
27
13
．在
和
之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入 的三个数的乘积为
．
2
314
．在等差数列
{
a
n
}
中，
3
(
a
3
＋
a
5
)
＋
2
(
a
7
＋
a
10
＋
a
13
)
＝
24
，则此数列前
13
项之和为
.
15
．在等差数列
{
a
n
}
中，
a
5
＝
3
，
a
6
＝－
2< br>，则
a
4
＋
a
5
＋…＋
a
10＝
.
16
．设平面内有
n
条直线
(
n
≥
3
)
，其中有且仅有两条直线互 相平行，任意三条直线不过同一点．若用
f
(
n
)
表示这
n
条直线交点的个数，则
f
(
4
)
＝
；当
n
＞
4
时，
f
(
n
)
＝
．
三、解答题
17
．
(
1
)
已知数列{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
＝
3
n
2
－
2
n
，求证数列
{
a< br>n
}
成等差数列
.
(
2
)
已知
1
1
1
b
c
c
a
a
b
，
，
成等差数列，求证
，
，
也成等差数列
.
a
b
c
a
b
c
18
．设
{
a
n
}
是公比为
q
的等比数列，且< br>a
1
，
a
3
，
a
2
成等差数列．< br>
(
1
)
求
q
的值；
(
2
)
设
{
b
n
}
是以
2
为首项，
q
为公差的等差数列，其前
n
项和为
S
n
，当n
≥
2
时，比较
S
n
与
b
n
的大小，
并说明理由．
19
．数列
{
a
n
}
的前
n
项和记为
S
n
，已知
a
1＝
1
，
a
n
＋
1
＝
求证：数列
{
n
2
S
n
(
n
＝
1
，
2
，
3
…
)
．
n
S
n
}
是等比数列．
n
20
．
已知数列
{
a
n
}
是首项为
a
且公比不 等于
1
的等比数列，
S
n
为其前
n
项和，
a
1
，
2
a
7
，
3
a
4
成等差数列，
求证：
12
S
3
，
S
6
，< br>S
12
－
S
6
成等比数列
.
数列
参考答案
一、选择题
1
．
C
解析： 由题设，代入通项公式
a
n
＝
a
1
＋
(
n
－
1
)
d
，即
2 005
＝
1
＋
3
(
n
－
1
)
，∴
n
＝
699
．
2
．
C
解析：本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力．
设等比数列
{< br>a
n
}
的公比为
q
(
q
＞
0
)
，由题意得
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＝
21
，
即
a
1
(
1
＋
q
＋
q
2
)
＝
21
，又
a< br>1
＝
3
，∴
1
＋
q
＋
q
2
＝
7
．
解得
q
＝
2
或
q
＝－
3
(
不合题意，舍去
)
，
∴a
3
＋
a
4
＋
a
5
＝
a1
q
2
(
1
＋
q
＋
q
2)
＝
3
×
2
2
×
7
＝
84< br>．
3
．
B
．
解析：由
a
1
＋
a
8
＝
a
4
＋
a
5
，∴排除
C
．
又
a
1
·
a
8
＝
a
1
(
a
1
＋
7
d
)
＝
a
1
2
＋
7
a
1
d
，
∴
a
4
·
a
5
＝
(
a
1
＋
3
d
)(
a
1
＋
4
d
)
＝
a
1
2
＋
7
a
1
d
＋
12
d
2
＞
a
1
·
a
8
．
4
．
C
解析：
解 法
1
：设
a
1
＝
1
1
1
1
，
a
2
＝
＋
d
，
a
3
＝
＋
2
d
，
a
4
＝
＋
3
d
，而方程
x
2
－
2
x
＋
m
＝
0
中两根之和为
2
，
x
2
4
4
4
4
－
2
x
＋
n
＝
0
中两根之和也为
2
，
∴
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＋
a
4
＝
1
＋
6
d
＝
4
，
∴
d
＝
∴
1
1
7
3
5
，
a
1
＝
，
a
4
＝
是一个方程的两个根，
a
1
＝
，
a
3
＝
是另一个方程的两个根．
2
4
4
4
4
7
15
，
分别为
m
或
n
，
16
16
1
，故选
C
．
2
∴｜
m
－
n
｜＝
解法
2
：设方程的四个根为
x
1
，
x
2
，
x
3
，
x
4
，且
x
1
＋
x
2
＝
x
3
＋
x
4
＝
2
，
x
1
·
x
2
＝
m
，
x
3
·
x
4
＝
n
．
由等差数列的性质：若
＋
s
＝
p
＋
q
，则
a
＋
a
s
＝
a
p
＋
a
q
，若设
x
1
为第一项，
x
2
必为第四项，则
x
2
＝
于是可得等差数列为
7
，
4
1
3
5
7
，
，
，
，
4
4
4
4
∴
m
＝
7
15
，
n
＝
，
16
16
1
．
2
∴｜
m
－
n
｜＝
5
．
B 解析：∵
a
2
＝
9
，
a
5
＝
243
，
a
5
243
＝
q
3
＝
＝
27
，
a
2
9
∴
q
＝
3
，
a
1
q
＝
9
，
a
1
＝
3
，
3
－
3
5
240
∴
S
4
＝
＝
＝
120
．
1
－
3
2
6
．
B
解析：
解法
1
：由
a
2 003
＋
a
2 004
＞
0
，
a
2 003
·
a
2 004
＜
0
，知
a
2 003
和
a
2 0 04
两项中有一正数一负数，又
a
1
＞
0
，则公
差 为负数，否则各项总为正数，故
a
2 003
＞
a
2 004
，即
a
2 003
＞
0
，
a
2 004
＜
0.
∴
S
4 006
＝
∴
S
4 007
＝
4
006
(< br>a
1
＋
a
4
006
)
2
＝
4
006
(
a
2
003
＋
a
2
0 04
)
2
＞
0
，
4
007
4< br>007
·
(
a
1
＋
a
4 007
)
＝
·
2
a
2 004
＜
0
，
2
2
故
4 006
为
S
n
＞
0
的最大自然数
.
选
B
．
解法
2
：由
a
1
＞
0
，
a
2 003
＋
a
2 004
＞
0
，
a
2 003
·
a
2 004
＜
0
，同
得
a
2 003
＞
0
，
a
2 004
＜
0
，
∴
S
2 003
为
S
n
中的最大值．
∵
S
n
是关于
n
的二次函数，如草图所示，
∴
2 003
到对称轴的距离比
2 004
到对称轴的距离小，
∴
4
007
在对称轴的右侧．
2
(
第
6
题
)
解法
1
的分析
根据已知条件及图象的对称性可得
4
006
在图象中右侧
侧，
4 007
，
4 008
都在其右侧，
S
n
＞
0
的最大自然数是
4 006
．
7
．
B
解析：∵
{
a
n
}
是等差数列，∴
a
3
＝
a
1
＋4
，
a
4
＝
a
1
＋
6
，
又由
a
1
，
a
3
，
a
4< br>成等比数列，
∴
(
a
1
＋
4
)< br>2
＝
a
1
(
a
1
＋
6
)< br>，解得
a
1
＝－
8
，
∴
a
2
＝－
8
＋
2
＝－
6
．
8
．
A
零
点
B
的
左