高中数学数列压轴题练习(江苏)及详解
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2021年01月29日 00:14
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高中数学数列压轴题练习（江苏）及详解
1.
已知数列
(
Ⅰ
)
求数列
的通项公式
;
是公差为正数的等 差数列
,
其前
n
项和为
,
且
•
,
(
Ⅱ
)
数列
①求数列
满足
,
的通项公式
;
,
使得
,
,
成等差数列
?
若存在
,
求出
m,
②是否存在正整数
m,
n的值
;
若不存在
,
请说明理由
.
解
:(I)
设数列
的公差为
d,
则
由
•
,
,
得
,
计算得出
;
或
(
舍去
).
(
Ⅱ
)
①
,
,
,
,
即
,
,
,
,
累加得
:
,
也符合上式
.
故
,
.
,
使得
,
,
成等差数列
,
②假设存在正整数
m
、
则
又
,
,
,
,
即
,
化简得
:
当
当
,
即
,
即
存在正整数
解析
,
时
,
时
,
,(
舍去
);
,
符合题意
.
,
使得
,
,
成等差数列
.
(
Ⅰ
)
直接由已知列关于首项和公差的方程组
,
求解方程组得首项和公差
,
代入等
差数列的通项公式得答案
;
(
Ⅱ
)
①把数列< br>可求得数列
的通项公式代入
的通项公式
;
,
然后裂项,
累加后即
②假设存在正整数
m
、
,
使得
,< br>,
成等差数列
,
则
.
由此列关于
m
的方程< br>,
求计算得出答案
.
2.
在数列
(1)
求 证
:
数列
(2)
记
的最小项
,
求
解
:(1)
证明
:
又
,
,
,
中
,
已知
,
为等比数列
;
,
且数列
的取值范围
.
,
的前
n
项和为
,
若
为数列
中
故
,
是以
3
为首项
,
公比为
3
的等比数列
(2)
由
(1)
知道
若
为数列
,
,
中的最小项
,
则对
有
恒成立
,
即
对
恒成立
当
当
当
时
,
有
时
,
有
时
,
⇒
;
;
恒成立
,
对
恒成立
.
令
对
恒成立
,
,
则
在
,
即
综上
,
解析
(1)
由
时为单调递增数列
.
,
整理得
:
.
由
,
,
可以知道
(2)
由(1)
求得数列
是以
3
为首项
,
公比为
3的等比数列
;
,
由
为数列
中的最
通项公式及前n
项和为
小项
,
则对
时和当
有
的取值范围,
恒成立
,
分类分别求得当
当
时
,
,利用做差法
,
根据函数的单调性
,
即可求得
的取值范围
.
3.
在数列
为
中
,
已知
,
,
,
设
的前
n
项和
.
是等差数列
;
(1)
求证
:
数列
(2)
求
;
(3)
是否存在正整数
p,q,
出
p,q,r的值
;
若不存在
,
说明理由
.
,
使
,
,
成等差数列
?
若存在
,
求
(1)
证明
:
由
得到
则
,
,
,
又
,
,
数列
是以
1
为首项
,以
-2
为公差的等差数列
;
,
(2)
由
(1)
可以推知
:
所以
,
,
所以
,
①
,
②
①
-
②
,
得
,
,
,
所以
(3)
假设存在正整数
p,q,
则
,
,
使
,
,
成等差数列
.
即
因为当
所以数列
又
所以
,
时
,
单调递减
.
,
且
q
至少为
2,
所以
,
①当
时
,
,
又
,
所以
②当
时
,
,
等式不成立
.
,
所以
所以
所以
,
,(
数列
单调递减
,
解唯一确定
).
综上可以知道
,p,q,r
的值分别是
1,2,3.
解析
(1)
把给出的数列递推式
,
,
变形后得到新数列
,
该数列是以
1
为首项
,
以
-2
为公差的等差数列
;
(2)
由
(1)
推出
的通项公式
,
利用错位 相减法从而求得求
;
(3)
根据等差数列的性质得到
4.
已知< br>n
为正整数
,
数列
满足
,
从而推知
p,q,r
的值
.
,
,
设数
列
满足
(1)
求证
:
数列
(2)
若数列
(3)
若数列
在
值
.
(1)
证明
:
数列
为等比数列
;
是等差数列
,
求实数
t
的值
;
是等差数列
,
前
n
项和为
,
对任意的
,
均存
的
,
使得
成立
,
求满足条件的所有整数
满足
,
,
•
数列
,
•
,
,
公比为
2; 为等比数列
,
其首项为
(2)
解
:
由
(1)< br>可得
:
•
,
,
数列
是等差数列
,
,
,
计算得出
或
12.
时
,
列
.
,< br>是关于
n
的一次函数
,
因此数列
是等差数
时
,
因此数列
综上可得
,
不是等差数列
.
;
,
不是关于
n
的一次函数
,
(3)
解
:
由
(2)
得
对任意的
,
,
均存在
,
使得
成立
,
即有
•
•
,
化简可得
,
当
当,
,
,
,
当
时
,
,
对任意的
,
符合题意
;
,
对任意的
综上可得
,
当
使得
解析
,
不符合题意
.
,
,
对任意的
成立
.
,
均存在
,
(1)
根据题意整理可得
,
•,
再由等比数列的定义即可得证
;
,
解方
(2)
运 用等比数列的通项公式和等差数列中项的性质
,
可得
程可得
t,
对< br>t
的值
,
检验即可得到所求值
;
(3)
由
(2)
可得
,
对任意的
,
均存在
,
使得
成立
,
即有
•
•
,
讨论
为偶数和奇数
,< br>化简整理
,
即可得到所求值
.
5.
已知常数
(1)
若
①求
,
的值
;
的前
n
项和
中存在三项
;
,
,
依次成等差数
,
数列
,
满足
,
②求数列
(2)
若数列
列
,
求
解
:(1)
①
的取值范围
.
,
,
,
,
②
当
当
时
,
,
时
,
,
,
,
即从第二项起
,
数列
是以
1
为首 项
,
以
3
为公比的等比数列
,
数列
显然当
的前
n
项和
,
,
时
,
上式也成立
,
;
(2)
,
,
即
单调递增
.
(i)
当
,
若数列< br>有
即
时
,
有
,
于是
,
中存在三项
,
,
,
依次成等差数列
,
则
,
数列
中不存在三项
,
,
.
因此
不成立
.
因此此时依次成等差数列
.
当
于是当
若数列
有
同
( i)
可以知道
:
时
,
时
,
有
.
从 而
,
,
.
此时
中存在三项
, 依次成等差数列
,
则
.
于是有
,
,
与
是整数
,
矛盾
.
.
于是
,
即
.
故此时数列
数列
.
中不存在三项
,
,
依次成等差
当
于是
此时数列
时
,
有
中存在三项
,
,
依次成等差数列
.
综上可得
:
解析
(1)
①
同理可得
②
,
,
,
可得
,
当
时
,
,
当
时
,
,
,
即从第二项起
,
数列
为公比的等比数列< br>,
利用等比数列的求和公式即可得出
(2)
,
可得
,
即
单调递增
.
是以
1
为首项
,
以
3
(i)
当
时
,
有
,
于是
,
可得
,
.
利用反证法
即可得出不存在
.
当
从而
.
假设存在时
,
有
.
此时
,
同
(i)
可以知道< br>:
.
于是当
时
,
.
.
得出矛盾
,< br>因此不存