(完整word版)数列求和方法(带例题和练习题)
巡山小妖精
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2021年01月29日 00:14
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暴走漫画头像-八年级下册数学补充习题答案
数列的求和
数列求和主要思路：
1
．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式；
2
．求和过程中注意分类讨论思想的运用；
3
．转化思想的运用；
数列求和的常用方法
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法
.
1
、
等差数列求和公式：
S
n
n(
a
1
a
n
)
n
(
n
1
)
na
1
d
2
2
(
q
1
)
na
1
n
2
、等比数列求和公式：
S
n
a
1
(
1
q
)
a
1
a
n
q
(
q
1
)
1
q
1
q
3
、
S
n
k
1
2
3
L
k
1
n
n
1
n
…
n
(
n
1)
2
4
、
1
S
n
k
2
1
2
2
2
3
2
L
n
2
n
(
n
1)(2
n< br>
1)
6
k
1
n
(
n
1)
5
、
S
n
k
1
2
3
L
n
2
k
1
3
3
3
3
3
n
2
公式法求和注意事项
（
1
）弄准求和项数
n
的值；
（
2
）等比数列公比
q
未知时，运用前
n
项和公式要分类。
例
1
．求和
1
x
x
x
2
n
2
(
n
2
,
x
0
)
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前
n
项和公式时 所用的方法，
这种方法主要用于求数列
{a
n
·
b
n
}
的前
n
项和，其中
{ a
n
}
、
{ b
n
}
分别是等差数列和等比数列
.
2
3
n
1例
2
．求和：
S
n
1
3
x
5
x
7
x
(
2
n
1
)
x
例
3
．求数列
2
4
6
2
n
,2
,
3
,
,
n
,
前
n
项的和
.
2
2
2
2
三、倒序相加法
如果一个数列与首末两 端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列前
n
项和即可用
倒序 相加发，如等差数列的前
n
项和就是此法推导的
例
4
．求
sin
1
sin
2
sin
3
sin
88
sin
89
的值
2
2
2
2
2
例
4
变式训练
1
：
求
cos1
°
+ cos2
°
+ cos3
°
+
·
·
·
+ cos178
°
+ cos179
°的值
.
例
4
变式训练
2
：
数列
{a
n
}
：
a
1
1
,
a
2
3
,
a
3
2
,
a
n
2
a
n
1
a
n
， 求
S
2002
.
例
4
变式训练
3
：在各项均为正数的等比数列中，若
a
5
a
6
9
,
求
log
3
a
1
log
3
a
2
log
3
a10
的值
.
数列求和练习
第
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页
四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当 拆开，可分为几个等差、等比或
常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可
.
< br>n
例
5
．已知数列
a
n
的通项 公式
a
n
3
n
2
1
，求数列
a
n
的前
n
项和
S
n
。
例
5
变式训练
1
：
求
1
11
111
111
1
之和
.
n
个
1
例
5
变式训练
2
：
求数列的前
n
项和：
1
3,2
4,3
5,
L
,
n
(
n
2),
L
；
例
6
．求数列的前
n
项和：
1
1
,
1
1
1
4
,
2
7
,
,
n
1
3
n
2
，
…
a
a
a
五、裂项相消法
：
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用
.
裂项法的实质是将数列中的每项（通 项）分解，然后
重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的
.
通项分解
（裂项）
如：
（
1
）
1
1
1
1
1
1
1
(
)
（
2
）
n
(
n
2)
2
n
n
2
n
(
n
1
)
n
n
1
1
1
1
1
(
)
(
2
n
1
)(
2
n
1
)
2
2
n
1
2
n
1
（
3
）
若
为
等
差
数
列
，
公
差
为
d
，
则
数列求和练习
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；
（
4
）
1
n
1
n
n
1
n
(
2
n
)
2
1
1
1
1
(
)
（
5
）
a
n
(
2
n
1
)(
2
n
1
)
2
2
n
1
2
n
1
(6)
a
n
1
1
1
1< br>
[
]
n
(
n
1< br>)(
n
2
)
2
n
(
n
1
)
(
n
1
)(
n
2
)
n
2
1
2
(
n
1
)
n
1
1
1
1
n
n
,
则
S
1
n
n
(
n
1
)
2
n
(
n
1
)
2
n
2
n
1
(
n
1
)
2
n
(
n
1
)
2
n
(7)
a
n
a
n
f
(
n
1
)
f
(
n
)
例
7
．求数列1
1
2
,
1
2
3
,
,
1
n
n
1,
的前
n
项和
.
例
8
．在数列
{a
n
}
中，
a
n
2
1
2
n
，又
b
n
，求数列
{ b
n
}
的前
n
项的和
.
a
n
a
n
1
n
1
n
1
n
1
例
8
变式训练
1
：
求数列的前
n
项和：
参考 答案：
例
2
解：
x
1
时
< br>1
1
1
1
,
,
,
L
,
,< br>L
；
1
3
2
4
3< br>
5
n
(
n
2)
S
n
1
3
x
5
x
2
7
x
3
(
2
n
1
)
x
n
1
………………………①
2
3
4
n
设
xS
n
< br>1
x
3
x
5
x
7< br>x
(
2
n
< br>1
)
x
……………………….
②
（设制错位）
2
3
4
n
1
n
①－②得
(
1
x
)
S
n
1
2
x
2
x
2
x
2x
2
x
(2
n
1
)
x
（错位相减
）
数列求和练习
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1
x
n
1
(
1
x
)
S
n
1
2
x
(
2
n
1
)
x
n
1
x
(
2
n
1
)
x
n
1
(
2
n
1
)
x
n
(
1
x
)
∴
S
n
2
(
1
x
)
x
1
时
略
例
3
解：由题可知，
{
2
n
1
}
的通项是等差数列{2n}
的通项与等比数列
{
}
的通项之积
2
n
2
n
2
4
6
2
n
设
S
n
2
3
n
…………………………………
①
2
2
2< br>2
1
2
4
6
2
n
S
n
< br>2
3
4
< br>n
1
………………………………
②
（设制错位）
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
n
①－②得
(
1
)
S
n
2
3
4
n
n
1
（错位相减
）
2
2
2
2
2
2< br>2
1
2
n
2
n
1
n
1
2
2
n
2
∴
S
n
4
n
1
2
2
2
2
2
2
例
4
．解：设
S
sin
1
s in
2
sin
3
< br>sin
88
sin
89
………….
①
将①式右边反序得
S
sin
89
sin
8 8
sin
3
sin
2
sin
1
…………..
②
（倒序）
又因为
sin< br>x
cos(
90
x
),
sin
x
cos
x
1
①
+
②得
（反序相加）
2
2
2
2
2
2
2
2
S
(sin
2
1
cos
2
1
)
(sin
2
2
cos
2
2
)
(sin
2
89
cos
2
89
)
＝
89
∴
S
＝
44.5
例
4
变式训练
1
：
解：设
S
n
＝
cos1
°
+ cos2
°
+ cos3
°
+
·
·
·
+ cos178
°
+ cos179
°
∵
cos
n
cos(
180
n
)
（找特殊性质项）
∴
S
n
＝
（
cos1
°
+ cos179
°）
+
（
cos2
°
+ cos178
°）
+
（
cos3
°
+ cos177
°）
+
·
·
·
+
（
cos89
°
+ cos91
°）
+ cos90
°
（合并求和）
＝
0
例
4
变式训练
2
：
解：设
S
2002
＝
a
1< br>
a
2
a
3
< br>
a
2002
由
a
1
1
,
a
2
3
,
a
3
2
,
a
n
2
a
n
1
a
n
可得
a
4
1,
a
5
3
,
a
6
2
,
a
7
1
,
a8
3
,
a
9
2
,
a10
1
,
a
11
3
,
a
12
2
,
……
a
6
k
1
1
,
a
6
k
2
3
,
a
6
k
3
2
,
a
6
k
4
1
,
a
6
k
5
3
,
a
6
k
6
2
数列求和练习
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∵
a
6
k
1
a
6
k
2
a
6
k
3
a
6
k
4
a
6
k
5
a
6
k
6
0
（找特殊性质项）
∴
S
2002
＝
a
1
a
2
a
3
a
2002
（合并求和）
＝
(
a
1
a
2
a
3
a
6
)
(
a
7
a
8
a
12
)
(
a
6
k
1
a
6
k
2
a
6
k
6
)
(
a
1993
a< br>1994
a
1998
)
a
1999
a
2000
a
2001
a
2002
＝
a
1999
a
2000
a
2001
a
2002< br>
＝
a
6
k
1
a
6< br>k
2
a
6
k
3
< br>a
6
k
4
＝
5
例
4
变式训练
3
：
解：设
S
n
log
3
a
1
log
3
a
2
< br>
log
3
a
10
由等比数列的性质
m
n
p
q
a
m
a
n
a
p
a
q
和对数的运算性质
log
a
M
< br>log
a
N
log
a
M
N
得
S
n
(log
3
a
1
log
3
a
10
)
(l og
3
a
2
log
3
a
9
)< br>
(log
3
a
5
log
3
a
6
)
＝< br>(log
3
a
1
a
10
)
(log
3
a
2
a
9
)
(log
3
a
5
a< br>6
)
＝
log
3
9
log
3
9
log
3
9
＝
10
例
5
．略
例
5
变式训练
1
：< br>解：由于
111
1< br>
1
9
999
9
1
(
10
k
1
)
k
个
1
k
个
1
9
特征）
∴
1
11
111
111
1
n
个
1
＝
1
9
(
1 0
1
1
)
1
9
(
10
2
1
)
1
9
(
10
3
1
)
1
9(
10
n
1
)
＝
1
9
(
10
1
10
2
103
10
n
)
< br>1
9
(
1
1
< br>1
< br>1
)
n
个
1
＝
1
10
(
10
n
9
1
)
10
1
n
9
＝
1
81
(
10< br>n
1
10
9
n
)
例
5
变式训练
2
：
∵
n
(
n
2)
n
2
2
n
，
数列求和练习
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（合并求和）
（找通项及
（分组求和）
（找特殊性质项）