2020高考文科数学数列大题专项练习
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2021年01月29日 00:15
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数列大题专项练习
1
．[2018·全国卷Ⅱ]记
Sn
为 等差数列
{
an
}
的前
n
项和，已知
a
1
＝－
7
，
S
3
＝－
15.
(1)
求
{
an
}
的通项公式；
(2)
求
Sn
，并求
Sn
的最小值．
解 析：
(1)
解：设
{
an
}
的公差为
d
， 由题意得
3
a
1
＋
3
d
＝－
15.
由
a
1
＝－
7
得
d
＝
2.
所 以
{
an
}
的通项公式为
an
＝
a
1＋
(
n
－
1)
d
＝
2
n
－< br>9.
(2)
解：由
(1)
得
Sn
＝
a1
＋
an
2
·
n
＝
n
－
8< br>n
＝
(
n
－
4)
－
16.
22
所以当
n
＝
4
时，
Sn
取得最小值，最小值 为－
16.
a
n
＋
1
4
n
＋
1
2
2
．[2019·河北廊坊省级示范高中联考
]在数列
{
a
n
}
中，
a
1
＝
1
，
＝
，设
b
n
＝
a
n
n
n
＋
2
n
＋
1
·
a
n
.
n
(1)
证明：数列
{
b
n
}< br>是等比数列；
(2)
求
{
a
n
}
的前
n
项积
T
n
.
n
＋
2
·< br>a
n
＋
1
b
n
＋
1
n
＋< br>1
n
n
＋
2
a
n
＋< br>1
n
n
＋
2
4
n< br>＋
1
2
解析：
(1)
因为
＝
＝< br>＝
·
＝
4
，
b
1
＝
2
a< br>1
＝
2
，
2
·
b
n
n< br>＋
1
n
＋
1
a
n
< br>n
＋
1
2
n
n
＋
2< br>
·
a
n
n
所以数列
{
b
n
}
是首项为
2
，公比为
4
的等比数列．
(2)
由
(1)
知
b
n
＝
n
＋
1
n
n
－
1
2
n
－
1
·
a
n
＝2·4
，则
a
n
＝
·2
.
nn
＋
1
n
1
＋
3
＋
5＋…＋
(2
n
－
1)
1
2
3
从而
T
n
＝
×
×
×…×
·2
n
＋
1
2
3
4
2
n
＝
.
n
＋
1
3
．[2019·辽宁鞍 山月考
]
已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
a
1
＋
a
2
＝< br>4,2
S
n
＋
1
－
a
n
＋
1
＝
2
S
n
＋
3
a
n
(
n
∈
N
)
．
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
< br>3
3
1
(2)
设
b
n
＝
，数列{
b
n
}
的前
n
项和为
T
n
，证明：
≤
T
n
＜
.
a
n
＋
1
－
1
S
n
＋
1
8
2
解析：(1)∵2
S
n
＋
1
－
a
n
＋
1
＝
2
S
n
＋
3
a
n
，∴2
a
n
＋
1
－
a
n
＋
1< br>＝
3
a
n
，
∴
a
n
＋< br>1
＝
3
a
n
(
n
∈
N
)< br>，∵
a
1
＋
a
2
＝
4
，∴
a
1
＝
1
，
∴数列
{
a
n}
是首项为
1
，公比为
3
的等比数列，
∴
a
n
＝
3
n
－
1
*
*
2
n
.
1
3
－
1
(2)
由
(1)
知
S
n
＝
.
2
3
2×3
1
1
∵
b
n< br>＝
，∴
b
n
＝
n
＝
n
－
n
＋
1
，
n
＋
1
a
n
＋
1
－
1
S
n
＋
1
3
－
1
3
－
1
3
－
1
3
－
1
∴
T
n
＝
n
n
n
1
1
－
2
1
＋
2
1
－
3
1
＋…＋
n
1
－
n
＋
1
＝
1
－1
.
1
3< br>－
1
3
－
1
3
－
1< br>3
－
1
3
－
1
3
－< br>1
2
3
n
＋
1
－
1
1< br>
1
*
∵
n
∈
N
，所以－
n
＋
1
∈
－
，
0
，
3
－
1
8
3
1
1
1
3
1
∴
≤
－
n
＋
1
<
，即
≤
T
n
<
.
8
2
3
－< br>1
2
8
2
1
1
4
．[2019·湖南衡阳联 考
]
已知数列
{
a
n
}
，
{
b< br>n
}
满足
a
1
＝
1
，
b
1
＝
，
2
a
n
＋
1
＝
a
n
＋
b
n
，
2
b
n
＋
2
2
1
1
*
＝
a
n
＋
b
n
(
n
∈
N
)
．
2
(1)
证明：数 列
{
a
n
＋
b
n
}
，
{
a
n
－
b
n
}
均是等比数列；
8
1
(2)
记
S
n
为数列
{
a
n
}
的前
n
项和，
S
n
＝
λ< br>＋
μ
a
n
－
×
n
，< br>
9
4
求
λ
－
μ
的值 ．
2
a
解析：
(1)
依题意得
2
b
n
＋
1
1
＝a
n
＋
b
n
，
2
1
n
＋1
＝
a
n
＋
b
n
，
2
两式相加，
3
得
a
n
＋
1
＋< br>b
n
＋
1
＝
(
a
n
＋
b< br>n
)
，∴{
a
n
＋
b
n
}
为等比数列；
4
1
两式相减，得
a
n
＋
1
－
b
n
＋
1
＝
(
a
n
－
b
n
)
，∴{
a
n
－
b
n}
为等比数列．
4
1
3
1
(2)∵
a
1
＝
1
，
b
1
＝
，∴
a
1
＋
b
1
＝
，
a
1
－
b
1
＝
.
2
2
2
3
3
n
－
1
由
(1)
可得
a
n
＋
b
n
＝
×
①，
2
4
a
n
－
b
n
＝
×
n
－
1
②.
4
12
1
1
n
3
n
①＋②，得
a
n
＝
＋
，
4
4
1
3
3
1
×
1
－
n
×
1
－
n
n
4
1
4
4
4
1
3
10
1
1
3
n
∴
S
n
＝
＋
＝
×
1
－
n
＋3×
1
－
n
＝
－×
n
－
3
×
.
1
3< br>3
4
4
3
3
4< br>
4
1
－
1
－
4
4
n< br>
2