数列求和专项训练题(学生)
玛丽莲梦兔
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2021年01月29日 00:17
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数列求和的常用方法
第一类：公式法求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的
.
n
< br>a
1
a
n
n
n
< br>1
na
1
d
2
2
1
、等差数列前
n
和公式：
S
n
na
1
2
、等比数列前
n
和公式：
S
n
a
1
(1
q
n
)a
1
a
n
q
1
q
1
q
(
q
1)
(< br>q
1)
自然数方幂和公式：
n
11
3
、
S
n
k
n(
n
1)
4
、
S
n
< br>k
2
n
(
n
1)(2
n
1)
2
6
k
1
k
1
n
5
、
S
n
k
3
[
n
(
n
1)]
2
k
1
n
1
2
【例】
已知数列
a
n
满足
a
1
< br>1,
a
n
1
a
n
4 ,
n
N
*
，
求数列
a
n
的前
n
项和
S
n
.
【练习】
已知
log
3
x
1
，求
x
x
2
x
3
x
n
的前
n
项和
.
log
23
第二类：分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列
适当拆开，可分为几个等差、等 比或常见的数列，然后分别求和，再
将其合并即可
.
若数列
c
n
的通项公式为
c
n
a
n
b
n
，其中数列
a
n
< br>，
b
n
分别是等
差数列和等比数列，求和时一般 用分组结合法。
【例】
数列
1
,2
,3
,4
1
2
1
4
1
8
1
,
16
,
n
1
,
2
n
求数列的前
n
项和
.
【练习】
数列
a
n
的通项公式a
n
2
n
2
n
1
第三类：裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用
.
裂项法的实质是
将数列中的 每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，
最终达到求和的目的
.
常用的通项分解（裂项）如：
（
1
）
a
n
f
n
1
f
n
（
2
）
a
n
1
1
1
1
1
1
1
（
a
n
< br>
）
n
n
k
k< br>
n
n
k
n
n
< br>1
n
n
1
1
1
1< br>
2
n
< br>1
2
n
1
2
2
n
1< br>2
n
1
1
n
1
n
n
1
n
（
3
）
a
n
1
（
4
）
a
n
1
1
（
5
）
a
n
log
a
log
a
n
1
< br>log
a
n
n
【例
1
】
数列
1,
1
1
,
,
1
2
1
2
3
,
1
1
2
3
n
,
，求该数列的前
n
项和
.
【例
2】
已知等差数列
a
n
满足
a
3< br>
5,
a
5
a
7
22
.
（
1
）求
a
n
；
（2
）令
b
n
1
，求数列
b
n
的前
n
项和
S
n
.
a
n
a
n
1
【例
3
】
数列
1
1
1
,
,
,
1
3
2
4
3
5
,
1
,
n
n
2
，求该数列的前
n
项和
.
小结：
要先观察通项类型，
在裂项求和时候，
尤其要注 意究竟是像例
1
一样剩下首尾两项，还是像例
3
一样剩下四项
.
1
，若前
n
项和为
10
，则
n
< br>1
n
【例
4
】
数列
a
n
的通项公式是
a
n
项数为（
）
A. 11 B. 99 C. 120 D. 121
1
1
【例
5
】
数列
a
n
的通项公式是
an
log
2
，求该数列的前
127
项
n
和
.
第三类：错位相减法求和
这
种
方
法
主
要
用
于
求
数
列
a
n
b
n
的
前
n
项
和
（
S
n
a
1
b
1
a
2
b
2
a
3
b
3
和等比数列
.
【例
1
】
求数列
a
n
的前
n项和
S
n
.
（
1
）
1
< br>2,
2
2
,3
2
,
4
2
,
2
3
4
a
n
b
n
），其中
a
n
，
b< br>n
分别是等差数列
,
n
2
n
（
2
）
,
1
2
3
4
,
3
,
4
,
2
2
2
2
2
,
n
2
n
【 练习】
求数列
a
n
的前
n
项和
S
n
.
（
1
）
1
2,3< br>
2
2
,5
2
3
,7
2
4
,
,
2
n
1
2
n