高考数学练习题含答案四第3讲
别妄想泡我
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2021年01月29日 00:17
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鼓浪屿之波钢琴谱-马未都百家讲坛
配套作业
1.(2018·
全国卷Ⅲ
)
等比数 列
{
a
n
}
中，
a
1
＝
1
，
a
5
＝
4
a
3
.
(1)
求
{
a
n
}
的通项公式；
(2)
记
S
n
为
{
a
n
}
的前
n
项和．若
S
m
＝
63
，求
m
.
解
(1)
设
{
a
n
}
的公比为
q
，由题设得
a
n
＝
q
n
－
1< br>.
由已知得
q
4
＝
4
q
2
，解得
q
＝
0(
舍去
)
，
q
＝－
2或
q
＝
2.
故
a
n
＝
(
－
2)
n
－
1
或
a
n
＝
2
n
－
1
.
(2)
若
a
n
＝
(< br>－
2)
n
－
1
1
－
－
2
n
，则
S
n
＝
.
3
由
S
m
＝
63
得
(
－
2)
m
＝－
188
，此方程没有正整数解．
若
a
n
＝
2
n
－
1
，则
S
n
＝
2
n－
1.
由
S
m
＝
63
得
2
m
＝
64
，解得
m
＝
6.
综上，
m
＝
6.
S
n
2< br>．
(2018·
哈尔滨模拟
)
设数列
{
a
n
}
的前
n
项和是
S
n
，
若点
A< br>n
n
，
n
在函数
f
(
x
)
＝－
x
＋
c
的图象上运动，其中
c
是与
x
无关的常数，且
a
1
＝
3.
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
< br>(2)
记
b
n
＝
aan
，求数列
{
b
n
}
的前
n
项和
T
n
的最小值．
S
n
S
n
解
(1)< br>因为点
A
n
n
，
n
在函数f
(
x
)
＝－
x
＋
c
的图象上运动， 所以
n
＝－
n
＋
c
，所以
S
n
＝－
n
2
＋
cn
.
因为
a< br>1
＝
3
，所以
c
＝
4
，所以
Sn
＝－
n
2
＋
4
n
，所以
a
n
＝
S
n
－
S
n
－
1
＝－
2
n
＋
5(
n
≥
2)
．
又< br>a
1
＝
3
满足上式，所以
a
n
＝－
2
n
＋
5(
n
∈
N
*
)
．
(2)
由
(1)
知，
b
n
＝
aan< br>＝－
2
a
n
＋
5
＝－
2(
－
2
n
＋
5)
＋
5
＝
4
n
－5
，
所以
{
b
n
}
为等差
n
b
1
＋
b
n
2
数列，所以
T
n
＝
＝
2
n
－
3
n
，
2
当
n
＝
1
时，
T
n
取最小值，
所以
T
n
的最小值是
T
1
＝－
1. 3
．
(2018·
南昌模拟
)
若等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
满足
S10
＝
100
，数列
a
1
，
a
2－
a
1
，
a
3
－
a
2
，…，
a
n
－
a
n
－
1
的前
5
项和为
9.
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
< br>a
n
＋
3
5
(2)
若数列
{
bn
}
的前
n
项和为
T
n
，
b
n
＝
2
2
，求证：
T
n
<
.
8
n
＋
2
n
解
( 1)
设
{
a
n
}
的公差为
d
，
∵数列
a
1
，
a
2
－
a
1
，
a
3
－
a
2
，
…
，
a
n
－
a
n
－
1
的前
5
项和为
9
，∴
a
5
＝
9.
∵
S
10< br>＝
5(
a
5
＋
a
6
)
＝
1 00
，∴
a
6
＝
11
，∴
d
＝
2
，
a
1
＝
1.
∴
a
n
＝
2
n
－
1(
n
∈
N
*
)
．
(2)
证明：∵
b
n
＝
a
n
＋3
2
n
＋
2
＝
n
2
·
n
＋
2
2
n
2
·
n
＋
2
2
1
4
n
＋4
1
1
1
－
＝
2
×
2＝
2
2
，
n
·
n
＋
2
2
2
n
n＋
2
∴
T
n
＝
1
21
1
1
1
1
1
1
1－
9
＋
4
－
16
＋< br>
9
－
25
＋
…
＋
n
2
－
n
＋
2
2
＝
1
2
1
1
1
1
1
5
1
＋
－
－
<
×
1
＋
4
＝
.
4
n
＋
1
2
n
＋
2
2
8
2
1
4
．已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
Sn
，若
a
1
＝
3
，
3
S
n< br>＋
1
＝
S
n
＋
1.
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
(2)
若
b
n
＝
log
1
a< br>n
，数列
{
a
n
·
b
n
}
的前
n
项和为
T
n
，求
T
n
.
3
4
1
解
(1)
当
n
＝
1
时，
3
S
2
＝
3
，
a
2＝
9
，∴
3
a
2
＝
a
1
；< br>
1
1
当
n
≥
2
时，
3
S
n
＝
S
n
－
1
＋
1
，
∴
3
a
n
＋
1
＝
a
n
(
n
≥
2)
，
故数列
{
a
n
}
是以< br>3
为首项，
3
为
1
1
n
－
1
1
n
公比的等比数列，则
a
n
＝
3
×
3
＝
3
.
1
1
n
3
.
(2)
由
(1)
知
b
n
＝
log
3
a
n
＝
n
，则< br>a
n
·
b
n
＝
n
·
< br>1
1
1
1
< br>n
3
，①
从而
T
n
＝
1
×
3
＋
2
×
3
2
＋
…
＋
(
n
－
1)
×
3
n
－
1
＋
n
·
1
1
2
1
3
1
n
1
n
＋
1
3
，②
3
T
n
＝
1
×
3
＋
2
×
3
＋…
＋
(
n
－
1)
×
3
< br>＋
n
·
1
1
< br>
1
－
3
n
×< br>
2
1
1
2
< br>1
n
1
n
＋
1
3< br>
1
n
＋
1
3
< br>＝
3
，
由①－②得，
3
T< br>n
＝
3
＋
3
＋
…
＋< br>
3
－
n
·
－
n
·
1< br>
1
－< br>3
3
1
1
n
3
< br>.
因此
T
n
＝
4
－
4
(2
n
＋
3)·
5
．
(2018·
青海 西宁二模
)
已知正项数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且满足
4
S
n
－
1
*
＝
a
2
n
＋
2
a
n
，
n
∈
N
.
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
< br>(2)
设
b
n
＝
1
，数列
{
bn
}
的前
n
项和为
T
n
，
a
n
a
n
＋
2
1
1
证明：
3
≤
T
n
<
2
.
2
解
(1)
当
n
＝
1
时，4
a
1
＝
4
S
1
＝
a
1＋
2
a
1
＋
1
，解得
a
1
＝
1.
2
当
n
≥
2
时，
4
Sn
＝
a
n
＋
2
a
n
＋
1,4
S
n
－
1
＝
a
2
n
－
1
＋
2
a
n
－
1
＋
1
，
2
2
两式相减得
4
a
n
＝
a
n< br>＋
2
a
n
－
(
a
n
－
1< br>＋
2
a
n
－
1
)
，
2< br>即
a
2
n
－
a
n
－
1
＝< br>2(
a
n
＋
a
n
－
1
)
，
又
a
n
>0
，所以
a
n
＋a
n
－
1
≠
0
，则
a
n
－< br>a
n
－
1
＝
2
，
所以数列
{
a
n
}
是首项为
1
，公差为
2
的等差 数列，
所以
a
n
＝
1
＋
(
n< br>－
1)
×
2
＝
2
n
－
1.
因为
a
1
＝
1
也满足，综上，
a
n
＝< br>2
n
－
1(
n
∈
N
*
)
．
(2)
证明：
b
n
＝
1
1
＝
< br>a
n
a
n
＋
2
2< br>n
－
1
2
n
＋
1
1
1
1
－
＝
2
2
n
－
1
2
n
＋
1
，
所以数列
{
b
n
}
的前
n
项和
1
1
1
1
1
1
T
n
＝
2
1
－
3
＋
3
－
5
＋
…
＋
2
n
－
1
－
2
n
＋
1
1
1
1
＝
2
1
－
2
n
＋
1
<
2
，
1
1
1
1
－
(
T
n
)
m in
＝
T
1
＝
2
＝
，
2
×
1
＋
1
3
1
1
所以
3
≤
T
n
<
2
.
6< br>．
(2018·
四川模拟
)
设等差数列
{
a
n
}
的公差为
d
，点
(
a
n
，
b
n
)
在函数
f
(
x
)
＝
2
x
的图象上
(
n
∈
N
*
)
．
(1)
若
a
1
＝－
2
，点
(
a< br>8,
4
b
7
)
在函数
f
(
x
)
的图象上，求数列
{
a
n
}
的前
n
项 和
S
n
；
1
(2)
若
a
1＝
1
，
函数
f
(
x
)
的图象在点(
a
2
，
b
2
)
处的切线在
x
轴上的截距为
2
－
ln 2
，
a
n
求数列
b
的前
n
n项和
T
n
.
解
(1)
由已知得，
b
7
＝
2
a
7
，
b
8
＝
2
a
8
＝
4
b
7
，有
2
a
8
＝
4
×
2
a
7
＝
2
a
7
＋
2.
解得
d
＝
a
8
－
a< br>7
＝
2.
n
n
－
1
所以，
S
n
＝
na
1
＋
2
d
＝－
2
n
＋
n
(
n
－
1)
＝
n
2
－
3
n
.
(2)
f
′
(< br>x
)
＝
2
x
ln 2
，
f
′
(
a
2
)
＝
2
a
2ln 2
，故函数< br>f
(
x
)
＝
2
x
在
(
a< br>2
，
b
2
)
处的切线方程
为
y
－< br>2
a
2
＝
2
a
2ln 2(
x
－
a
2
)
，
1
它在
x
轴上的截距为
a
2
－
ln 2
.