三角函数应用题的解题小技巧 需要修改
玛丽莲梦兔
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2021年01月29日 05:22
最佳经验
本文由作者推荐
告别母校-班干部会议
三角函数应用题解题小技巧
湖北省武穴市私立百汇学校
徐国纲
你好，这个摘要和文章开头是乱改的吧
直接把第一段作为摘要
把第一大点开头作为文章开头，这样文章很乱啊
请认真拟写摘要
内文不要改了（以第一次送审的为准）
请把文章的内容简单介绍一下，不要用
本文，笔者之类的第一人称，直接客观
陈述文章的内容
摘要：< br>在近几年的中考试题中，有一类三角函数应用题。这类问题的特点是含有角度，并
且在解答过程中 通常需要作辅助线，
因此难度较大，
很多同学不擅长解这类问题。
本文介绍
一 些解此类问题的小技巧，供同学们参考。
关键词：
中考
三角函数
应用题
技巧
在三角函数应用题中，最重要的图形是直角三角形。在解题过程中，如果我们能够根
据具体情境找到等 腰三角形或相似三角形，
那么解题方法就将更灵活，
解题过程更简洁。
下
面举 例说明。
一、
寻找或构造直角三角形
【例
1
】
如图，一艘海伦位于灯塔
P
的北偏东
65°
方向，距离灯塔
80
海里的
A
处，它沿正南
方向航行一段时间后，到达位于灯塔
P< br>的南偏东
34°
方向上的
B
处，这时，海伦所在的
B
处
距离灯塔
P
有多远？（
sin65°
≈
0.91
，
cos65°
≈
0.42
，
sin34°
≈
0. 56
，
cos34°
≈
0.83
）
【解答】解：如图，在
Rt
△
APC
中，∠
APC=90°
﹣< br>65°
=25°
，
∴
PC=PA•cos
∠
APC
≈
80
×
0.91=72.8
．
在
Rt
△
BPC
中，∠
B=34°
，
∴
PB=
=
=130
（海里），
答：海轮所在的
B
处距离灯塔
P
约有
130
海里．
【点 评】
这个题是课本上的例题，
它是三角函数应用题中最基础也是最重的题型，
编者向我
们传递出两个很重要的信息：
【例
2
】
如图，
“
中国海监
50”
正在南海海域
A
处巡逻，岛礁
B
上 的中国海军发现点
A
在点
B
第
1
页
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的正西方向上，岛礁< br>C
上的中国海军发现点
A
在点
C
的南偏东
30°方向上，已知点
C
在点
B
的北偏西
60°
方向上，且< br>B
、
C
两地相距
120
海里．
（
1
）求出此时点
A
到岛礁
C
的距离；
（
2
）若
“
中海监
50”
从
A
处 沿
AC
方向向岛礁
C
驶去，当到
达点
A′
时，测得点
B
在
A′
的南偏东
75°
的方向上，
求 此时
“
中
国海监
50”
的航行距离．（注：结果保留根号）
【解答】
（
1
）如图所示：延长
BA
，过点C
作
CD
⊥
BA
延长线与点
D
，
< br>由题意可得：在
Rt
△
BCD
中，∠
CBD=30°
，
BC=120
海里，则
DC=60
海里，
在
R t
△
ACD
中，∠
A
CD=30°
，故
cos30 °
=
答：点
A
到岛礁
C
的距离为
40
海里 ；
=
=
，解得：
AC=40
，
（2
）如图所示：过点
A′
作
A′N
⊥
BC
于点
N
，
可得∠
1=30°
，∠
BA′A=45°< br>，
A′N=A′E
，
则∠
2=15°
，即
A′B
平分∠
CBA
，
设
AA′=x
，则
A′E=
∵
x
+
x=40
x
，故
CA′=2A′ N=2
×
，
）海里．
x=
x
，
，∴解得：
x=60
﹣
20< br>答：此时
“
中国海监
50”
的航行距离为（
60
﹣< br>20
【点评】
此题第（
2
）除了原题的参考答案处，还可以过点
B
作
BH
⊥
CA
，交
CA
延长线于点
H
，
则∠
BA
’
H=75
°
-30
°
=45
°，
即△
BA
’
H
为等腰直角三角形，
且 在
Rt
△
ABH
中，
∠
BAH=60
°。
这种解法更容易想到。不过，这种解法需要得到
AB
的长度，这可以由△
ABC
为等腰三角形
得到。这涉及到寻找等腰三角形的技巧，具体参看本文第二部分．
【 小结】
第一、注意题目中的
隐含条件
，挖掘直角三角形。实际问题中，树木、电线杆< br>是竖直的，地面是水平的，航海问题中，所有的东西线是水平的，所有的南北线是竖直的，
那么这 里就有很多的平行线和垂线；
第二、
若题目中没有直角三角形，
就要作辅助 线来构造了。
例
2
便作了多条辅助线来构
造直角三角形。
一般的说， 斜三角形需要转化为直角三角形才能解。在作辅助线时，需要仔
细观察，在边、
角条件比较集中 的地方作垂线，对于多个直角三角形，
我们要注意解三角形
的
顺序
，
要从条件充分
（至少有一条已知边）
的直角三角形开始解，逐渐过渡到条件不充分
的直 角三角形中。
二、寻找等腰三角形
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在三 角函数应用题中，
如果能及时挖掘出特殊的三角形如等腰三角形，
就可以少作很多
的辅 助线，少解一些直角三角形，使解题过程大大简化。
【例
3
】
某班 数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈
山山顶的炎帝雕像高度，已知烈山坡面与水平面的夹角为< br>30°
，山高
857.5
尺，组员从山脚
D
处沿山坡向着雕像 方向
前进
1620
尺到达
E
点，在点
E
处测得雕像 顶端
A
的仰角为
60°
，求雕像
AB
的高度．
< br>【解答】
解：如图，过点
E
作
EF
⊥
AC
，
EG
⊥
CD
，
在
Rt
△
DEG
中，∵
DE=1620
，∠
D=30°
，
∴EG=DEsin
∠
D=1620
×
=810
，
∵
BC=857.5
，
CF=EG
，∴
BF=BC
﹣< br>CF=47.5
，
在
Rt
△
BEF
中，< br>tan
∠
BEF=
∴
EF=
BF
，
，
在
Rt
△
AEF
中，∠
AEF=60 °
，设
AB=x
，
∵
tan
∠
AEF=
，∴
AF=EF
×
tan
∠
AEF
，
∴
x
+
47.5=3
×
47.5
，
∴
x=95
，
答：雕像
AB
的高度为
95
尺．
【点评】
以上解答是原题的参考答案，
显然将简单问题复杂化了。
怎样解简单呢？如果我们
能 挖掘出图中隐含着一个等腰△
ABE
，则问题迎刃而解，即
AB=BE=BD- DE=2BC-DE=95
尺。
【例
4
】
“
一号 龙卷风
”
给小岛
O
造成了较大的破坏，救灾部门迅速组织力量，从仓储
D
处调
集救援物资，计划先用汽车运到与
D
在同一直线上的
C、
B
、
A
三个码头中的一处，再用货
船运到小岛
O．已知：
OA
⊥
AD
，∠
ODA=15°
，∠
OCA=30°
，∠
OBA=45°
，
CD=20km
．若汽车行驶的速度为
50km/
时，货船航行的速度为
25km/
时，问这批物 资在哪个码头装船，最早运
抵小岛
O
？（在物资搬运能力上每个码头工作效率相同，参 考数据：
≈
1.4
，
≈
1.7
）．
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