25奇数偶数
余年寄山水
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2021年01月29日 07:38
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§
25
奇数偶数
将全体整数分为两类，凡是
2
的 倍数的数称为偶数，否则称为奇数
.
因此，任一偶数可
表为
2
m（
m
∈
Z
），任一奇数可表为
2
m+
1
或
2
m
－
1
的形式
.
奇、偶数具有如下性质：< br>
（
1
）奇数±奇数
=
偶数 ；偶数±偶数
=
偶数；
奇数±偶数
=
奇数；偶数×偶数
=
偶数；
奇数×偶数
=
偶数；奇数×奇数
=
奇数；
（
2
）
奇数的平方都可表为
8
m+1
形式，
偶数的平方都可表为
8
m
或
8
m< br>+4
的形式
（
m
∈
Z
）
.
（
3
）任何一个正整数
n
，都可以写成
n
2
l
的形式，其中
m
为非负整数，
l
为奇数
.
这些性质既简单又明显，然而它却能解决数学竞赛中一些难题
.
m
例题讲解
1
．
下列每个算式中，最少有一个奇数，一个 偶数，那么这
12
个整数中，至少有几
个偶数？
□+□=□，□
-
□=□，□×□＝□，□÷□＝□.
x
1988
y
n
x
p
2
．
已知
n
是偶数，
m
是奇数，
方程组
的解
是整数，
那么
( )
11
x
27
y
m
y
q
（
A
）
p
、
q
都是偶数
.
（
B
）
p
、
q
都是奇数
.
（
C
）
p
是偶数，
q
是奇数
（
D
）
p
是奇数，
q
是偶数
3
．
在
1
，
2
， 3…，
1992
前面任意添上一个正号和负号，它们的代数和是奇数还是偶
数
.
4
．
70
个数排成一行，除 了两头的两个数以外，每个数的
3
倍都恰好等于它两边两
个数的和，这一行最左边的几 个数是这样的：
0
，
1
，
3
，
8
，
21
，….问最右边的一个
数被
6
除余几？
5
．
设
a
、
b
是自然数，且有关系式
< br>123456789=
（
11111+a
）（
11111-b
），
①
证明
a-b
是
4
的倍数
.
6
．
在
3×3
的正方格（
a
）和（
b）中，每格填“+”或“
-
”的符号，然后每次将表
中任一行或一列的各格全部变 化试问重复若干次这样的“变号”程序后，能否从一
张表变化为另一张表
.
-
+
+
-
+
+
-
-
-
+
-
+
-
+
+
-
-
-
a
b
7
．设正整数
d
不等于
2
，
5
，
13.
证明在集合｛< br>2
，
5
，
13
，
d
｝中可以找到两个元素< br>a
,b
，使得
a
b
－
1
不是完全平方数.
8
．设
a
、
b
、
c
、
d
为奇数，
0
a
b
c
< br>d
,
并且
ad
bc
，证明：如果
a
+
d
=2
k
，
b+c=2
m
，
k,m< br>为整数，那么
a
=1.
9
．设
a
1
,
a
2
,
,
a
n
是一组数，它们中的每一个都取
1
或－
1
，而且
a
1
a
2
a
3
a
4
+a
2
a
3
a
4
a
5
+…
+
a
n
a
1
a
2
a
3=0
，证明：
n
必须是
4
的倍数
.
课后练习
1.
填空题
（
1
）有四个互不相等的自然数，最大数与最小数的差等于
4
，最大数与最小数的积
是一个 奇数，而这四个数的和是最小的两位奇数，那么这四个数的乘积是
______.
（
2
）有五个连续偶数，已知第三个数比第一个数与第五个数和的
偶数之和是
____.
多
18
，这五个
（
3
）能否把
1993
部 电话中的每一部与其它
5
部电话相连结？答
____.
2.
选择题
（
1
）设
a
、
b< br>都是整数，下列命题正确的个数是（
）
①若
a +5b
是偶数，则
a-3b
是偶数；②若
a+5b
是偶数，则
a-3b
是奇数；
③若
a+5b
是奇数，则
a-3b< br>是奇数；④若
a+5b
是奇数，则
a-3b
是偶数
.
（
A
）
1
（
B
）
2
（
C
）
3
（
D
）
4
（
2
）若
n
是大于< br>1
的整数，则
的值（
）
.
（
A
）一定是偶数
（
B
）必然是非零偶数
（
C
）是偶数但不是
2
（
D
）可以是偶数，也可以是奇数
（
3
）已知关 于
x
的二次三项式
ax
+bx+c
（
a
、
b
、
c
为整数），如果当
x=0
与
x=1
时，二次三项式的值都是奇数，那么
a
（
）
（
A
）不能确定奇数还是偶数
（
B
）必然是非零偶数
（
C
）必然是奇数
（
D
）必然是零
3.
试证明
1
1986
2
+9
1986
+8
1986
+6
19 86
是一个偶数
.
4.
请用
0
到
9
十个 不同的数字组成一个能被
11
整除的最小十位数
.
5.
有
n
个整数，共积为
n
，和为零，求证：数
n
能被
4
整除
6.
在一个凸
n
边形内， 任意给出有限个点，在这些点之间以及这些点与凸
n
边形顶
点之间，用线段连续起来， 要使这些线段互不相交，而且把原凸
n
边形分为只朋角
形的小块，试证这种小三我有形 的个数与
n
有相同的奇偶性
.
7.
一个四位数是奇数，它的首位数 字泪地其余各位数字，而第二位数字大于其它各
位数字，第三位数字等于首末两位数字的和的两倍，求这 四位数
.