数列中的奇数项和偶数项问题
巡山小妖精
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2021年01月29日 07:42
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创优争先-粉色信笺
1
a
1
2
n
1
设 数列
{
a
n
}
的首项
a
1
=
a< br>≠
，且
a
n
1
4
a
1
n
4
记
b
n
a
2
n
1
n
为
偶
数
,
n
为
奇
数
1
，
n
＝＝
l
，
2
，
3
，…
·
．
4
（
I
）求
a
2
，
a
3< br>；
（
II
）判断数列
{
b
n
}< br>是否为等比数列，并证明你的结论；
解：
（
I
）
a
2
＝
a
1
+
1
1
1
1
1
=
a
+
，
a
3
=
a
2
=
a
+
；
4
4
2
2
8
1
1
3
1
3
1
（
II
）∵
a
4
=
a
3
+
=
a
+
,
所以
a
5
=
a
4
=
a
+
,
4
2
8
2
4
16
1
1
11
1
1
1
1
所以
b
1
=
a< br>1
－
=
a
－
,
b
2
=
a
3
－
=
(
a
－
),
b
3
=
a
5
－
=
(
a
－
),
4< br>4
4
2
4
4
4
4
1
猜想：
{
b
n
}
是公比为
的等比数列
·
2
证明如下：
1
1< br>1
1
1
1
=
a
2
n
－
=< br>(
a
2
n
－
1
－
)=
b
n
, (
n
∈
N
*)
4
2
4
2
4
2
1
1
所以
{
b
n
}
是首项为
a
－
,
公比为
的等比数列
·
4
2
因为
b
n
+1
＝
a
2
n
+1
－
2
在数列
a
n
中，
a
1
=0
，且对任意
k
N
，
a
2k
1
,a
2k
,a
2k+1
成等 差数列，其公差为
2k.
*
（Ⅰ）证明
a
4
,a
5
,a
6
成等比数列；
（Ⅱ）求数列
a
n
的通项公式；
a
3
a
2
2
4
，
a
5
a
4
4
12
，
a
2
a
1
2
2
，
a
4
a
3
4
8
，
（
I
）
证明：
由题设可知，
a
6
a
5
6
18
。
从而
a
6
a
5
3
，所以
a
4
，
a
5
，
a
6
成等比数列。
a
5
a
4
2
（
II
）解：由题设可得
a
2
k
1
a
2
k
1
4
k
,
k
N
*
所以
a
2
k
1
a
1
a
2
k
1
a
2
k
1
a
2
k
1
a
2
k
3
...
a3
a
1
4
k
4
k
1
...
4
1
2
k
k
1
,
k
N
*
.
2
由
a
1
0
，得
a
2
k
1
2
k
k
1
，从而
a
2
k< br>
a
2
k
1
2
k
< br>2
k
.
n
2
1
n
,
n
为奇数
n
2
1
1
2
所以数列
a
n
的通项公式为
a
n
2
或写为
a
n
，
n
N
*
。
2
4
n
,
n
为偶数
2
*
设
S
n
为数列
{
a
n
}
的前
n
项和，
S
n
kn
n
，
n
N
，其中
k
是常数．
2
（
I
）
求
a
1
及
a
n
；
（
II
）若对于任意的
m
N
，
a
m
，
a
2
m
，
a
4
m
成等比数列，求
k
的值．
解析：
（Ⅰ）当
n
1
,
a
1
S
1
k
1
，
n
2
,
a
n
S
n
S
n
1
kn
n
[
k
(
n
1
)
(
n
1
)]
2
kn
k
1（
）
经验，
n
1
,
（
）式成立，
a
n
2
kn
k
1
（Ⅱ）
a
m
,
a
2
m
,
a
4
m
成等比数列，
a
2
m
a
m
.
a
4
m
，
即
(
4
km
k
1
)
(
2
km
k
1
)(
8
k m
k
1
)
，整理得：
mk
(
k
1
)
0
，
对任意的
m
N
成立，
k
0
或
k
1
（
2009
北京文）
（本小题共
13
分）
设数列
{
a
n
}
的通项公式为
a
n
< br>pn
q
(
n
N
,
P
0)
.
数列
{
b
n
}
定义如下：对于正 整
数
m
，
b
m
是使得不等式
a
n
m
成立的所有
n
中的最小值
.
（Ⅰ）若
p
*
2
2
2
2
1
1
,q
，求
b
3
；
2
3< br>（Ⅱ）若
p
2,
q
1
，求数 列
{
b
m
}
的前
2
m
项和公式；
（Ⅲ）是否存在
p
和
q
，使得
b
m
3
m
2(
m
N
)
？如果存在，求
p
和
q
的取值范围；
如果不存在，请说明理由
.
【解析】
本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、
分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题
.
（Ⅰ）由题意， 得
a
n
1
1
1
1
20
.
n
，解
n
3
，得< br>n
2
3
2
3
3
.
∴
1
1
n
3
成立的所有
n
中的最小整数为
7
， 即
b
3
7
.
2
3
（Ⅱ）由题意，得
a
n
2
n
1
，
对于正整数，由
a
n
m
，得
n
m
1
.
2
根据
b
m
的定义可知
当
m
2
k
1
时，
b
m
k
k
N
*
；
当
m
2
k
时，
b
m
k
1
k
N
*
.
∴
b
1
b
2
b
2
m
b
1
b
3
b
2m
1
b
2
b4
b
2
m
1
2
3
m
2
3
4
m
1
m
m
1
2
m
m
3
2
m
2
2
m
.
（Ⅲ）假设存在
p
和
q
满足条件，由不等式
pn
q
m
及
p
0
得
n
m
q
.
p
∵
b
m
3
m
2(
m
N
)
,
根据
b
m< br>的定义可知，对于任意的正整数
m
都有
3
m
1
m
q
3
p
1m
q
即
2
p
q
3
m
2
，
p< br>p
对任意的正整数
m
都成立
.
当
3
p
1
0
（或
3
p
1
0
）时，得
m
这与上述结论矛盾！
当
3
p
1
0
，即
p
p
q
2
p
q
（或
m
）
，
3
p
1
3
p
1
1
21
2
1
时，得
q
0
q
，解得
q
.
3
3
3
3
3
∴
存在
p
和
q
，使得
b
m
3
m
2(
m
N
)
；< br>
p
和
q
的取值范围分别是
p
已知数列
{
a
n
}
和
{
b
n
}< br>满足：
a
1
,
a
n
1
为实数，
n
为正整数
.
（Ⅰ）对任意实数< br>
，证明数列
{
a
n
}
不是等比数列；
< br>（Ⅱ）试判断数列
{
b
n
}
是否为等比数列，并证明你的结论 ；
1
2
1
，
q
.
3
3
3
.
2
a
n
n
4,
b
n
(
1)
n
(
a
n
3
n
21),其中
3
（Ⅲ）设
0
a
b
,
S
n
为数列
{
b
n
}
的前
n
项和
.
是否存在实数
，使得对任意正整数
n
，都
有
a
S
n
b
?
若 存在，求
的取值范围；若不存在，说明理由
.
本小题主要考查等比数列的 定义、
数列求和、
不等式等基础知识和分类讨论的思想，
考查综合分析问题的能力和推 理认证能力，
（满分
14
分）
（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ
，使｛
a
n
｝是等比数列，则有
a
2
2=
a
1
a
3
,
即
2
44
4
(
3
)
2
(
4
)
2
4
9
2
4
9
0
,
矛盾
.
3
9
9
9
所以｛
a
n
｝不是等比数列
.
(
Ⅱ
)< br>解：因为
b
n
+1
=(-1)
n
+1
［a
n
+1
-3(
n
-1)+21
］
=(-1)
n
+1
(
=
2
a
n
-2
n
+14)
3
2
2
(-1)
n
·
（
a< br>n
-3
n
+21
）
=-
b
n
3
3
又
b
1
x
-(
λ
+18),所以
当
λ
＝－
18
，
b
n
=0(
n
∈
N
+
),
此时｛
b
n
｝不是等比数列：
当
λ
≠－
18
时，
b
1
=(
λ
+18)
≠
0,
由上可知
b
n
≠
0
，∴
b
a
1
2
(
n
∈
N
+
).
b
n
3故当
λ
≠
-18
时，数列｛
b
n
｝是以－（< br>λ
＋
18
）为首项，－
(
Ⅲ
)
由（Ⅱ）知， 当
λ
=-18,
b
n
=0,
S
n
=0,< br>不满足题目要求
.
∴
λ
≠
-18
，故知
b
n
= -
（
λ
+18
）
·
（－
2
为公比的等比数列
.
3
2
n
-1
）
，于是可得
3
1
－（－
）
.
S
n
=-
(
18
)
·
5< br>3
要使
a
<
S
n
<
b
对任意正整数
n
成立，
即
a
<-
3
2
n
3
2
(
λ
+18)
·
［
1
－（－
）
n
］
〈
b(
n< br>∈
N
+
)
5
3
a
3
(
18
)
5
b
2
1
(
)
n
3
①
得
2
1
(
)
n
3
2
令
f
(
n
)
1
(
)
，则
当
n
为正奇数时，
1<
f
(
n
)
5
5
;
当
n
为正偶数时，
f
(
n
)
1
,
3
9