7年级第04讲 奇数与偶数
玛丽莲梦兔
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2021年01月29日 07:49
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第
4
讲
奇数与偶数
知识方法扫描
能被
2
整除的整数叫做
偶数
，不能被
2
整除的整数叫做
奇数
。
要注意运用奇数与偶数的下列性质解题：
1
．两个整数的和与差有相同的奇偶性；
2
．奇数个奇数的和还是奇数，偶数个奇数的和是偶数；
3
．当为
n
偶数时，
(-1)
n
=1;
当为奇数时，
(-1)
n
= -1.
4
．两个整数相加 ，若加数的奇偶性相同，那么它们的和是偶数；加数的奇
偶性不同，那么它们的和是奇数。
< br>5
．两个整数相乘，若乘数中有一个是偶数，那么乘积是偶数；如果乘数都
是奇数，那么 乘积是奇数。
6
．奇数≠偶数。
经典例题解析
例
1
．
（
1987年天津“中华少年杯”初中数学邀请赛试题）
扑克牌中的
A
，
J
，
Q
，
K
分别表示
1
，
11
，
12
，
13
。甲取
13
张红桃，乙取
1 3
张黑桃，分别洗和后甲、乙依次各取个各一张牌，使红、黑牌配成
13
对。证明这
13
对数的差的积必为一个偶数。
证法
1
：
由于
13
张牌中的点数有
7
个奇数，
6
个偶数，所以当红 、黑牌配成
13
对后，至少有一对数的奇偶性相同，这对数的差是偶数，于是这
13< br>对数的差的
积必为一个偶数。
证法
2
：
由于
13
对数的和是
0
，
所以不可能每对数得差都是奇数，
否则它们的 和
为一个奇数。于是至少有一对数的差为偶数，即这
13
对数的差的积必为 一个偶
数。
例
2
（
1985
年北京市初中数学竞赛试题）
某电影院共有
1 985
个座位。某天，这家电影院上下午各演一场电影，看电影的
是甲乙两所中学的各
1985
名学生（同一个学校的学生有的看上午场，有的看下
午场）
，试证明：电影院 一定有这样的座位，这天看电影时上，下午在这个座位
上坐的是两个不同学校的学生。
证明：
甲，乙两校看电影的学生都是
1985
人，电影院的座位也恰是
19 85.
作如
下统计：
上午场
下午场
甲校
n
个座位
(1985-n)
个座位
乙校
(1985-n)
个座位
n
个座位
假设每个座位上，
下午坐的都是同一学 校的学生。
对每个学生上午场与下午
场人数应相等，则
n=1985-n.
即
2n=1985.
等式的左边是偶数，
而右边是奇数 ，
这个等式不可能成立。
所以，
至少存在
这样一个座位，上，下午坐的是甲， 乙不同学校的学生。
例
3
．
（
1981
年福州初中数学竞赛试题）
< br>设沿江有
A
1
，
A
2
，
A
3
，
A
4
，
A
5
．
A
6
六个码头 ，相邻两码头间的距离相等．早晨
有甲、乙两船从
A
1
出发，各自在这些码头 间多次往返运货．傍晚，甲船停泊在
A
6
码头，
乙船停泊在
A
1
码头．
求证：
无论如何，
两船的航程总不相等
(
假定船 在
相邻两码头航行时，中途不改变航向
)
．
证明
六个码头把
A
1
到
A
6
这段水路分成
5
个小段，设每段水路的长为
a
，由于
船在任意一个码头出发，又返回码头时，往返每小 段的水路总是相同的，因此，
乙船的航程是
a
的偶数倍．
甲船的航程是从A
1
到
A
6
再加上各码头之间的往返路
程，
即
5a+a
的偶数倍
=a
的奇数倍，
a
的偶数倍≠
a
的奇数倍，
故甲、
乙船的航程
总不相等．
< br>例
4
．
（
1993
年第
4
届
“希望杯
”
数学邀请赛试题）
你能找到三个整数
a
，< br>b
，
c
，
使得关系式
(a+b+c)(a-b-c)(a-b +c)(b+c-a)=3388
成立吗？
如果能找到，请举一例，如果找不到，请说明理由．
解：
找不到满足条件的三个整数理由如下：
如果存在整数
a
，
b
，
c
，使
(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)=3388
成立．
因为
3388
是偶数，则左边四个因子中至少有一个是偶数．
不妨 设
a+b+c
为偶数，则
a-b+c=(a+b+c)-2b
为偶数，同理< br>a+b-c=(a+b+c)-2c
为偶数．
b+c-a=(a+b+c)-2a
为偶数．
因此
(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)能被
16
整除，
而
3388
不能被
16
整除，
得出
矛盾．
故不存在三个整数
a
，
b
，
c
满足关系式
(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)=3388
．
例
5
．
（第
10
届全俄中学生数学竞赛试题）
< br>在
3×
3
的表格（
1
）和（
2
）中，每格填 有
“+”
号或
“
-
”
号，
然后每次将表 格中的
任意一行或任意一列的各格全部变号，
试问重复若干次这样的
“
变号< br>”
程序后，
能
否从一张表变为另一张表？
+
+
--
+
+
--
--
--
+
--
+
--
--
--
--
+
--
+
表（
1
）
表（
2
）
解
考察两张表中位于左上角的
2×
2
的小正方形，如下图中的黑框所示：
+
+
--
+
+
--
--
--
+
--
+
--
--
--
--
+
--
+
表（
1
）
表（
2
）
表（
1
）中的小正方形中有
4
个
“+”
号，实施变号步骤后，
“+”
号的个数仍然
是偶数；表（
2
）中的小正方形中有
1
个
“+”
号，实施变号步骤后，
“+”
号的个数
仍然是奇数。故它们 不能从一个变到另外一个。
显然
2×< br>2
的小正方形互变无法实现，所以
3×
3
的大正方形的互变也无法实< br>现。
例
6
．
（
2007年第
18
届“希望杯”全国数学邀请赛初一试题）
小明在平面上标出了
2007
个点并画了一条直线
l,
他发现：这
2007
个点中的每
一个关于直线
l
对称点，
仍然在这
2007
个点中。
请你说明：
这
2007
个点中至少
有一个点在直线
l
上。
解
假设这
2007
个点都不在直线
l
上。
由于其中 每个点
A
i
(
i
=1,2
,
„
,2007 )
关于直线
l
对称点
A
i
’
仍在这2007
个点
中，所以
A
i
’
也都不在直线
l
上。
也就是说，不在直线
l
上的
A
i
(
i
=1,2
,
„
,2007)与
A
i
关于直线
l
对称点
A
i’
成
对出现，即平面上标出的点的总数应是偶数个，与点的总数
2007
相矛盾。
因此，
“这
2007
个点都不在直线
l
上”的假设不能成立，即这
2007
个点中
至少有一个点在直线
l
上 。
例
7
(1985
年安徽省初中数学竞赛试题
)
设有
n
个实数：
x
1
,x
2
,…,x
n
，其中每一个不是
+1
，就是
-1
，
且
x
1
x
2
x
2
x
3
x
n
1
x
n
x
n
x
1
0
，求证：
n
是
4
的倍数。
证明
首先证
n
为偶数：
因
n
个实数：
x
1
,x
2
,…,x
n
，其中 每一个不是
+1
，就是
-1
，
所以
n
个分数：
x
1
x
2
，
x
2
x
3
，
…
，
x
n
1
x
n
，
x
n
x
1
中的每一个不是
+1
，就是
-1
。
而这
n
个分数和为
0
，所以
n
为偶数，设
n=2k
( k
为整数
)
，则
n
个分数中
有< br>k
个
+1
，
k
个
-1
。
其次证
k
为偶数：
因
n
个分数的积为
x
1
x
2
•
x
2
x
3
•…•
x
n
1
x
n
•
x
n
x
1
=1
，
即
(+1)
k
(-1)
k
=1 , (-1)
k
=1,
所以
k
为
偶数，从而
n=2k
为
4
的倍数。
例
8
（
2000
年世界城际间数学联赛初中组试题）
在
15
×
15
的棋盘上放置着
15
个“车”
，彼此互不攻击 ，它们像“马”一样，各
行一步。求证：现在有两个互相攻击。
证明：
记下 每个车的行号和列号．
因为彼此互不攻击，
行号像列号那样都是各不
相同的，所以，在 这
30
个号中，有
16
个奇数
14
个偶数，当车移动一马步
时，
它的行号改变
1
，
列号改变
2
，< br>或行号改变
2
，
列号改变
1
．
这样各行一步后，30
个号中的
15
个保持奇偶性，而剩余的
15
个改变它们的奇 偶性．因此移动后，
它们之中有
16
个奇号
14
个偶号是不可能的． 这就意味着一定有两个车互相攻
击．
．
原版赛题传真
同步训练
一
选择题
1
．
(2001
年全国初中数学联赛试题
)
如果
a,b,c
是三个任意的整数，那么
a
b
b
c
c
a
,
,
2
2
2
（
）
(A)
都不是整数
(B)
至少有两个整数
(C)
至少有一个整数
(D)
都是整数
1
．
C
2
．
（
1994
年澳 洲初中数学竞赛
AMC
试题）
如果
n
是整数，那么下列各数中一定为奇数的一个是（
）
（
A
）
5n
（
B
）
n
2
+5
（
C
）
n
3
（
D
）
n+16
（
E
）
2n
2
+5
2
．
E
3
．
（
2001
年第
16
届江苏初中数 学竞赛试题）
已知三个数
a,b.c
中有两个奇数，一个偶数，
n
是整数。如果
S=(a+n+1) (b+2n+2)
(c+3n+3)
，那么（
）
（
A
）
S
是偶数
（
B
）
S
是奇数
（
C
）
S
的奇偶性与
n
的奇偶性相同
（
D
）
S
的奇偶性不能确定
3. A
因
a,b.c
中
有两
个
奇
数
，
一
个
偶
数
，故
a+b+c
为
偶
数
，
于
是
(a+n +1)+(b+2n+2)+(c+3n+3)=
a+b+c+6n+6
为偶数，从而
(a+n+1)
、
(b+2n+2)
、
(c+3n+3)
三数中至 少有一个偶数（否则其和为奇数）所以
S
是偶数。
4
．
（
1994-1995
学年度武汉等五市初一数学联赛试题）
< br>如果
a,b,c
都是正整数，且
a,b
是奇数，则
3
a
(
b
1)
2
c
是（
）
。
（
A
）只当
c
为奇数时，其值为奇数
（
B
）只当
c
为偶数时，其值为奇数
（
C
）只当
c
为
3
的倍数时，其值为奇数
（
D
）无论
c
为任意整数，其值为奇数
4
．
D
5
．
（
1994
年北京市初中数学竞赛）
四个学 生进行计算比赛，程序是：在
19
，
20
，
21
，
22
，„，
93
，
94
这
76
个自然
数相 邻两个数之间任意添加“
+
”„“－”号，然后，求其代数和，四个人得到
的结果分别 是
1
，
153
，
4106
，
4260.
老 师检查后指出，只有一个结果是正确的，
则这个结果是（
）
（
A
）
1
（
B
）
153
（
C
）
4 106
（
D
）
4 260
5
．
C
19+20+21+22
„
+93+94