平面几何中的几个著名定理
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2021年01月29日 14:18
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平面几何中的几个著名定理
几何学起源于土地测量，
几千年来，
人们对几何学进行了深入的研究，
现已发展成为一
门具有严密的逻辑体系的数学分支． 人们从少量的公理出发，经过演绎推理得到不少结论，
这些结论一般就称为定理．
平面几何中有 不少定理，
除了教科书中所阐述的一些定理外，
还
有许多著名的定理，
以这些 定理为基础，
可以推出不少几何事实，
得到完美的结论，以至巧
妙而简捷地解决不少问 题．
而这些定理的证明本身，
给我们许多有价值的数学思想方法，
对
开阔眼界 、活跃思维都颇为有益．有些定理的证明方法及其引伸出的结论体现了数学的美，
使人们感到对这些定理 的理解也可以看作是一种享受．下面我们来介绍一些著名的定理．
1
．梅内劳斯定理
亚历山大里亚的梅内劳斯
(Menelaus< br>，
约公元
100
年，
他和斯巴达的
Menelaus
是两个人
)
曾著《球面论》，着重讨论球面三角形的几何性质．以他的名子命名的“梅内劳斯定 理”现
载在初等几何和射影几何的书中，是证明点共线的重要定理．
定理
一直线与△
ABC
的三边
AB
，
BC
，
C A
或延长线分别相交于
X
，
Y
，
Z
，则
证
过
A
，
B
，
C
分别作直线< br>XZY
的垂线，设垂足分别为
Q
，
P
，
S
， 见图
3
－
98
．由△
AXQ
∽△
BXP
得
同理
将这三式相乘，得
说明
(1)
如果直线与△
ABC
的边都不相交，而相交 在延长线上，同样可证得上述结论，
但一定要有交点，且交点不在顶点上，否则定理的结论中的分母出现 零，分子也出现零，这
时定理的结论应改为
AX
×
BY
×
CZ=XB
×
YC
×
ZA
，
仍然成立．
(2)
梅内劳斯定理的逆定理也成立，即“在△
ABC
的边
AB
和
AC
上分别取点
X
，
Z
，在
BC
的延长线上取点
Y
，如果
那么X
，
Y
，
Z
共线”．梅内劳斯定理的逆定理常被用来证明三点共 线．
例
1
已知△
ABC
的内角∠
B
和∠
C
的平分线分别为
BE
和
CF
，∠
A
的外角平分线与
BC
的
延长线相交于
D
，求证：
D
，
E
，
F
共线．
证如图
3
－
99
有
相乘后得
由梅内劳斯定理的逆定理得
F
，
D
，
E
共线．
例
2(
戴沙格定理
)
在△
ABC
和△
A
′
B
′
C
′中，若
AA
′，
BB
′，
CC
′相交于一点
S
， 则
AB
与
A
′
B
′，
BC
与
B< br>′
C
′，
AC
与
A
′
C
′的交点< br>F
，
D
，
E
共线．
证
如图
3
－
100
，直线
FA
′
B
′截△
SAB
，由梅内劳斯定理有
同理，直线
EC′
A
′和
DC
′
B
′分别截△
SAC
和△
SBC
，得
将这三式相乘得
所以
D
，
E
，
F
共线．
2
．塞瓦定理
意大利数学家塞瓦
(G
．
Ceva )
在
1678
年发表了下面的十分有用的定理，
它是证明共点线
的重 要定理．
定理
在△
ABC
内任取一点
P
，直线
AP
，
BP
，
CP
分别与边
BC
，
CA
，
AB
相交于
D
，
E
，
F
，
则
证
如图
3
－
101
，过
B
，
C
分别作直线
AP
的垂线，设垂足 为
H
和
K
，则
由于△
BHD
∽△
CKD
，所以
同理可证
将这三式相乘得
说明
(1)
如果
P
点在△
ABC
外，同样可证得上述结论，但
P
点不能在直线
AB
，
BC
，
CA
上，否则，定理的 结论中的分母出现零，分子也出现零，这时，定理的结论应改为
BD
×
CE
×
AF=DC
×
EA
×
FB
，
仍然成立．
(2)
塞瓦定理的逆定理也成立，即“在△
ABC的边
BC
，
CA
，
AB
上分别取点
D
，
E
，
F
，如
果
那么直线
A D
，
BE
，
CF
相交于同一点．”
证
如图
3
－
102
，设
AD
和
BE
相交于
P
，作直线
CP
，交直线
AB
于
F
′，由塞瓦定理得
所以
F
′
B=FB
，
即
F
′ 与
F
重合，所以
AD
，
BE
，
CF
相交于 同一点．
塞瓦定理的逆定理常被用来证明三线共点．
例
3
求证：三角形的三条中线、三条内角平分线和三条高所在的直线分别相交于同一
点．
证
(1)
如果
D
，
E
，
F
分别 是△
ABC
的边
BC
，
CA
，
AB
的中点 ，则
由塞瓦定理的逆定理得中线
AD
，
BE
，
CF
共点．
(2)
如果
D
，
E
，
F
分别是△
ABC
的内角平分线
AD
，
BE，
CF
与边
BC
，
CA
，
AB
的交点 ，则
由塞瓦定理的逆定理得角平分线
AD
，
BE
，
CF
共点．
(3)
设
D
，
E
，
F
分别是△
ABC
的高
AD
，
BE
，
CF
的垂足．
(i)
当△
ABC
是锐 角三角形时
(
如图
3
－
103)
，
D
，< br>E
，
F
分别在
BC
，
CA
，
AB< br>上，有
BD=ccosB
，
DC=bcosC
，
C E=acosc
，
EA=ccosA
，
AF=bcosA
，
FB=acosB
，
所以
由塞瓦定理的逆 定理得高
AD
，
BE
，
CF
共点．
(ii)
当△
ABC
是钝角三角形时，有
BD=ccos B
，
DC=bcosC
，
CE=acosC
，
EA=ccos(180
°
-A)=-ccosA
，
AF=bcos(180
°
-A)=-bcosA,
FB=acosB
，
所以
由塞瓦定理的逆定 理，得高
AD
，
BE
，
CF
共点．
(i ii)
当△
ABC
是直角三角形时，高
AD
，
BE
，
CF
都经过直角顶点，所以它们共点．
例
4
在三角形
ABC
的边上向外作正方形，
A
1
，
B
1
，
C
1
是正方形的边
BC
，
CA
，
AB< br>的对边
的中点，证明：直线
AA
1
，
BB
1
，
CC
1
相交于一点．
证
如图3
－
104
．设直线
AA
1
，
BB
1
，
CC
1
与边
BC
，
CA
，
AB
的交点分别为
A
2
，
B
2
，
C
2
，那么
BA
2
：
A
2
C
等于从点
B
和
C
到边
AA
1
的垂线的长度之比，即
其中∠
θ
=
∠
CBA
1
=
∠< br>BCA
1
．同理
将上述三式相乘得
根据塞瓦定理的逆定理，得
AA
1
，
BB
1
，CC
1
共点．
3
．斯台沃特定理