关于水浒传的歇后语-英语作文书信格式

2021年1月29日发(作者：各个有才)

_

定义
1

给定两个非负实数














x

a
0
.
a
1
.
a
2
a
n
,



y

b
0
.
b
1
.
b
2
b
n
,

其中
a
0
,
b
0
为非负整数，
a
k
,
b
k

k

1
,2,














0

a
k

9,0

b
k

9.

则称
x
与
y
相等，记为
x

y
.

为整数，若有

若
a
0

b
0
或存在非负实数
l
,
使得
a
k

b
k

k

0,1,
2,
l

而
a
l

1

b
l

1
,

则称
x
大于
y
或
y
小于
x
,分别记为
x

y
或
y

x
.
定义
2
设
x

a
0
.
a
1a
2
a
n
为非负实数
.
称有理数
a
n


x

a
0
.
a
1
a
2
为实数
x
的
n
位不足近似，而有 理数

1
x
n

x
n

n10
称为
x
的
n
位过剩近似，
n

0 ,1,
2,
.
实数的一些主要性质
1
.
实数集
R< br>对加、减、乘、除（除数不为
0
）四则运算是封闭的，
即任意两个实数的和、差 、积、商（除数不为
0
）仍然是实数
.
2.
实数集是有序的，即任意 两个实数
a
、
b
必满足下述三个关系
之一：
a
< br>b,
a

b,
a

b.
3.
实数的 大小关系具有传递性，即若
a

b,
b

c,
则有
a

c.
4.
实数具有阿基米德性，即对任何
a
、
b

R,
若
b>
a
>0,
则存在正整数< br>n
，使得
n
a
>b.
5.
实数
R
具 有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数，
且既有有理数也有无理数
.
6.
如果一直线（通常画成水平直线）上确定一点
o
作为原点，指定一个
方向 为正方向（通常把指向右边的方向为正方向），并规定一个单位
长度，则称此直线为数轴
.任意实数都对应数轴上唯一的一点；反之，
数轴上的每一个点也都唯一地代表一个实数
.< br>于是，实数集
R
与数轴上
的点有着一一对应关系
.


定义
3


_

a
,
a
0,
实数
a
的绝对值定义为
a





a
,
a

0.
从数轴上看，数
a
的绝对值
a
就是
a
到原点的距离
.
绝对值得一 些性质

1.
a


a

0;
当 且仅当
a
=0
时有
a

0.
2.

a

a

a
.
3.
a

h

h

a

h
;
a
h


h

a

h
(
h
0).
4.
对于任何
a
、
b

R< br>
有如下三角形不等式：
a

b

a
b

a

b
.
5.
ab

a
b
.
6.
a
a

(
b

0).
b
b

定义
4





区间和邻域


_


开区间
:

a
,
b



x
a

x

b

，



闭区间：
有限区间


a
,
b


x
a

x

b

,





半开半闭区间
:

a
,b



x
a

x

b
,

,
a
,
b

R
.区间


（


,
a
]
< br>
x
x

a

,


(< br>a
,

)


x
x

a

,



无限区间

(
< br>,
a
)


x
x

a
< br>,



(

,

)

x


x



R
,




邻域：
a

R
,


0.
满足
x

a


的全体实数
x
的集合称为
点
a
的

邻域，记作< br>U

a
;


,
或
U
(< br>a
),
即有
U
(
a
;

)

{
x
||
x

a
|


}

(
a


,
a


).
(
a
;

)

{
x
|0

|
x

a
|


}.< br>U
。
点
a
的空心邻域：
点
a
的
< br>右邻域：
U

(
a
;

)

[
a
,
a


);
（
a

,
a
];
点
a
的

左邻域：
U

(
a
;

)

。
(
a
;

)

(
a
,
a


);
点
a
的空心

右邻域：
U
。
(
a
;

)

(
a

,
a
);
点
a
的空心

左邻域：< br>U



邻域
U
(

)

{
X
||
x
|

M
}
，其中M
为充分大正数；

邻域
U
(

)

{
X
|
x

M
}
，其中
M< br>为充分大正数；

邻域
U
(

)
{
X
|
x


M
}
，其中
M
为充分大正数；






定义
5

有界的定义


_
设
S
为
R
中的一个数集
.
若存在
M
(
L< br>)
,
使得对一切
x

S
,
都
有x

M
(
x

L
),
则称
S
为有上界（下界）的数集，数
M
(
L
)
称
为
S
的一个上界（下界）
.
简记：
S

R
,

M

0,

x

S

x
M
,
称
S
有界
.
则称为无界集
.< br>定义
6

确界的定义


若数集
S
既有上界又有下界，则称
S
为有界集
.
若
S
不是有界集，
1.
设
S

R
.
若数

满足：< br>
i


x

S
,
有
x< br>

,
即

是
S
的上界；

ii





,

x
0
S
,
使得
x
0


,
即< br>
又是
S
的最小上界，
则称

为数集
S的上确界，记作


=sup

S
.
2.
设
S
< br>R
.
若数

满足：


i


x

S
,
有
x


,
即

是
S
的下界；

ii





,

x
0

S
,
使得
x
0


,
即

又是
S的最大下界，
则称

为数集
S
的下确界，记作



=
inf
S

定理
1
设数集
S
有上确界
.
i)

=sup
S

S


=max
S
.

ii)

=inf
S

S



min
S
.
定理一

确界原理

设S
为非空数集
.
若
S
有上界，则必有上确界；
若
S
有下界，则
S
必有下确界
.
定理
2

设
A
、
B
为非空数集，满足：对一切
x

A和
y

B
有
x

y
.
数集< br>A
有上确界，数集
B
有下确界，且
sup
A

inf
B
.

推广的确界原理


任一非空数集必有上、下确界（正常的或非正常的）
.


_




函数的概念

定义
1
给定两个实数集
D
和
M
，若有对应法则
f
，使对
D
内每一个
x
,
都有唯一的一个数
y

M
与 它相对应，则称
f
是定义在数集
D
上
的函数，记作
f
:
D

M
,


x
y
.

数集
D
称为函数
f
的定 义域，
x
所对应的数
y
，称为
f
在点
x
的 函数值，
常记为
f
(
x
).
全体函数值的集合
f< br>(
D
)


y
|
y

f< br>(
x
),
x

D

(

M
)
称为函数
f
的值域
.
函数的四则运算

给定两个函数
f
,
x

D
1
和
g
,
x

D
2
,
记
D
=
D
1
定义
f
与
g
在
D
上的和、差、积运算如下：F
(
x
)

f
(
x
)
g
(
x
),
x

D
,
G
(< br>x
)

f
(
x
)

g
(< br>x
),
x

D
,
H
(
x
)

f
(
x
)
g
(
x
),
x

D
.
若在
D
中剔除
g
(
x< br>)

0
的
x
值，即令
D
*

D
1
D
2
,
并设
D


.

x
|
g
(
x
)

0,< br>x

D
2



,
则除法如下L
(
x
)

f
(
x
)
/g
(
x
),
x

D
*
.


初等函数



_
常量函数
y

c
(
c
为常数
)
；
幂函数
y

x

(

为实数
)
；
指数函数
y

a
x
(
a

0,
a

1);
对数函数
y

log
a
x
(
a< br>
0,
a

1);
三角函数
y

s in
x
,
y

cos
x
,
y
< br>tan
x
,
y

cot
x
;
反三角 函数
y

arcsin
x
,
y

arcc os
x
,
y

arctan
x
,
y

arc
cot
x
.
定义
2

给定实 数
a

0,
a

1.
设
x
为我们 规定

sup
{
a
r
|
r
为有理数
}
，当
a

1
时，


a
x< br>

r

x
r

inf
{
a
|
r
为有理数
}
，当
0

a

1
时
.

r

x


几个重要的等式（不等式）

1.
sin
x

1< br>和
sin
x

x
2
n

1
2
n

2
n
2
n

1
1
1
1
1
3.
2



n
n
(
n

1)
n

1
n
2.
由< br>4
n
2

1

4
n
2
< br>4.
算术平均数

i

1
n
a
< br>a
2

a
2

1
n
n
1< br>n

a
n



5.
几何平均数< br>

a
i


n
a
1
a< br>2
a
3
a
n

i

1
< br>n
n
6.
调和平均数
n

1
1
1< br>1



a
1
a
2
a
n< br>i

1
a
i
n
a


7.
n



a
1



i
，当
a
1

a
2

1
i

1
n

i

1


i

1
a
i
n
n
n
1
n

a
n
时，
“
=
”
成立
.

数列极限


_
定义
1
设

a
n

为数列，
a
为定数
.
若对任给的正数

，总存在正整数
N,
使得当
n

N
时有
a
n

a


,
则称数列

a
n

收敛于
a
,
定数
a
称为
数列

a
n

的极限，并记作
lim
a
n
a
,
或
a
n

a
(
n

).
n


若数列

a
n

没有极限，则称

a
n

不收敛，或称
a
n

为发散数列
.

定义
1'
任给


0
，若在
U

a
;


之外数列

a
n

中的项至多只有 有限个，
则称数列

a
n

收敛于极限
a
.
定义
2
若
lim
a
n

0,
则 称

a
n

为无穷小数列
.
n


定理
2.1
数列

a
n

收敛于a
的充要条件是：

a
n

a

为无 穷小数列
.









收敛数列的性质


_
（唯一性）若数列
< br>a
n

收敛，则它只有一个极限
.
定理
2.2
若数列

a
n

收敛，则

a
n

为有界数列，即存在
（有界性）
定理
2.3
正数
M，使得对一切正整数
n
有
a
n

M
.
若
lim
a
n

a

0(
或
< br>0),
则对任何
a
'


0,
a

(
或
a
'


a
,0

)
，
（保号性）
n

定理
2.4
存在正数
N
，使得当
n

N
时有
a
n

a
'

或
a
n

a
'

.
设

a
n

与

b
n

均为收敛数列
.
若存在正数
N
0
,
使得
（保不等式性）
定理
2.5
当
n

N
0
时 有
a
n

b
n
,
则
lim
an

lim
b
n
.
n

n

定理
2.6
设
a
n

0

n

1,
2,
a
n

a
,
则
lim

.
若
lim
n

n
a
n

a
.

设

a
n
，

b
n

都以
a
为极限，数列< br>
c
n

满足：
（迫敛性）
存在正数
N0
，当
n

N
0
时有
a
n

c
n

b
n
,
定理
2.7
则数列

c
n

收敛，且
lim
c
n

a
.
n

lim

a
n
b
n


lim
a
n

lim
b
n
,
n

n

n

l im

a
n

b
n


lim< br>a
n

lim
b
n
,
n

n

n


lim

a
n

c


lim
a
n

c
,
lim
ca
n

c
lim
a
n
,
（四则运算）
定理
2.8
n

n

n

n

a
n
a
n
lim
n

,
b
n

0
及
lim
b
n< br>
0.
lim

n

n

b< br>lim
b
n
n
n


定义
1 < br>设

a
n

为数列，

n
k

为正整数集
N
+
的无限子集，且
n
1

n
2

则数列
a
n
1
,
a
n< br>2
,

n
k

，

,
a< br>n
k
,
称为数列

a
n

的一个子 列，简记为
a
n
k
.


平凡子列：数列

a
n

本身以及去掉有限项后得到的子列
.
非平凡子列：不是平凡子列的子列
.
数列

a
n

与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限
.
定理
2.9

数列

a
n

收 敛的充要条件是：

a
n

的任何非平凡子列都收敛
.
定理二

（单调有界定理）在实数系中，有界的单调数列必有极限
.
定理三（柯西
cauchy
收敛准则）数列

a
n
收敛的充要条件是：
对任给的


0,
存在正整数
N< br>，使得当
n
,
m

N
时有
a
n
a
m


.


_
函
函
数
数
极
极
限
限


定
定
义
义


1.
设
f
为定义在

a
,


上的函数，
A
为定 数
.
若对人给的


0,
存在正数
M
（< br>
a
）
,
使得当
x

M
时有
f

x


A


,
则称函数
f
当
x
趋于


时以
A
为极限， 记作
lim
f

x


A
或
f< br>
x


A

x



.
x

2.
设函数
f
在点
x
0
的某个空心邻域
U
。

x
0
;

'

内有定义，
A
为定数
.
若对任给的


0,
存在正数（

<

'
），使得当
0

x

x
0


时有
f

x


A


,
则称函数
f
当
x
趋于
x
0
时以
A
为极限，记作
x

x
0
lim
f

x

< br>A
或
f

x


A

x< br>
x
0

.
。
3.
设函数
f
在
U


x
0
;

'

或
U

。

x
0
;

'

内有定义，
A
为定数
.


若对任给的


0
，存在正数（

<

'
），使得 当
x
0

x

x
0




或
x
0



x

x
0

时有
f

x


A


,
则称数
A
为函数
f
当
x
趋 于

x
0


或
x
0


的右（左）极限，记作
lim

f

x


A

lim
f
x

A

< br>
x

x


x

x
0< br>
0


或
f

x

< br>A

x

x
0

f

x< br>

A

x

x
0

< br>.


右极限与左极限统称为单侧极限
.
f
在点x
0
的右（左
）极限记为
f

x
0

0


lim

f

x


f

x
0

0


lim< br>
f

x




.
x< br>
x
0
x

x
0


定理
3.1
lim
f

x


A
< br>lim

f

x


lim
f

x


A
.
x

x0
x

x
0
x

x
0








_






函数极限的性质

定理
3.2< br>（唯一性）若极限
lim
f

x

存在，则此极限是 唯一的
.
x

x
0
若
lim
f

x

存在，则
f
在
x
0
的某空心
定理
3.3
（局部有界性）
x

x
0
邻域
U
。

x
0

内有界
.
若
lim
f

x

=
A

0
or

0,
则对任何正数
x

x
0
定理
3.4
（局部保号性）
r

Aorr


A
,< br>存在
U
。

x
0

，使得对一
切< br>x

U
。

x
0

有
f< br>
x


r

0
orf

x



r

0.
设
lim
f< br>
x

与
lim
g

x

都存在，且在某
x

x
0
x

x
0
定理
3.5
（报不等式性）
邻
域
U
。

x
0
；

'

内有
f

x


g

x

,
则
lim
f< br>
x


lim
g

x

.
x

x
0
x

x
0

设
lim
f

x

=
lim
g

x

=
A
，且在某
U
。

x0
；

'

x

x
0
x
x
0
定理
3.6
（迫敛性）
内有
f

x


h

x


g

x

,
则
lim
h

x

A
.
x

x
0
1
）
lim

f

x


g

x



lim
f

x


lim< br>g

x

;
x

x
0
x< br>
x
0
x

x
0
定理
3.8
（四则运算）
2)
lim

f

x

g

x



lim
f

x


lim
g

x

;
x
< br>x
0
x

x
0
x

x
0< br>lim
f

x


f

x


x

x
0
3
）
lim

,
lim
g

x


0.

x

x
0

g

x


x

x
0
lim
g
x

x

x
0



无穷小量阶的比较（定义见下页末）


_
1.
若
lim
x

x
0
f

x

< br>0,
则称当
x

x
0
时
f
为
g
的高阶无穷小量
g

x

f

x

L
,
g

x


记作< br>f

x


o

g

x< br>


x

x
0

.
2.
若存在正数
K
和
L
，使得在某
U
o
x
0

上有
K

则称
f
与
g
为当
x

x
0
时的同阶无穷小量
.
特别的 当
x

x
0
lim
f

x

c

0
时，
f
与
g
必为同阶无穷小 量
.
g

x

x

x
0
3.
若
lim
f

x

=1
，则称
f
与
g
为当
x

x
0
时的等价无穷小量
.
g

x

记作
f

x

~
g

x

x

x
0

.

函数极限存在的条件

定理
3.8
（归结 原则
or
海涅定理）
设
f
在
U
o

x
0
;

'

内有定义
.
lim
f

x

存在的充要条件是：对任何含
x

x< br>0
于
U
o

x
0
;

'< br>
且以
x
0
为极限的数列

x
n

,
极限
lim
f

x
n

都存在 且相等
.
x

简述：
lim
f

x
=
A

对任何
x
n

x
0
(
n


)
有
lim
f

x
n


A
.
x

x
0
x

x
0
o
设函数
f
在点
x
0
的某空心右邻域
U


x
0

有定义.
lim

f

x

=
A
的
x

x
0
o
定理
3.9
充要条件是：对任 何以
x
0
为极限的递减数列

x
n

< br>U


x
0

,
有
lim
f

x
n


A
.
x

o
定理
3.10
设
f
为定义在
U

< br>x
0

上的单调有界函数，则右极限
lim

f
x

存在
.

x

x
0< br>定理
3.11
（柯西
cauchy
准则）
设函数
f< br>在
U
o

x
0
;

'
< br>内有定义
.
lim
f

x

存在的充要条件 是：任给


0,
x

x
0
存在正数



'

,
使得对任何
x
'
,
x
''

U
o

x
0;


有
f

x
'

f

x
''



.

设函数
f
在
U
o

x
0
;

'

内有定义
.
lim
f

x

不 存在的充要条件是：存在

0

0,
x

x
0
对任意正数




'

,
总可找到
x
'
,
x
''

U
o

x
0
;


使得
f

x
'


f

x
''



0
.
两个重要极限


_
sin
x
l im

1
x

0
x

1

lim

1



e

x


x


x
设
f
在某
U
o

x
0

内有定义，若
lim< br>f

x


0,
x

x
0
无穷小量：
则称
f
为当
x

x
0
时的无穷小量
.
无穷小量的和、差、积仍为无穷小量
.
无穷小量与有界量的积 为无穷小量
.




常见的几个等价无穷小量

有界量：若函数
g
在某
U
o

x
0

内有界，则称
g
为当
x

x
0
时的有 界量
.

1.
e
x

1
~
x
x

0

2.

1

x< br>

1
~

x

x

0< br>
x
2
3.1

cos
x

x
0

2
自赖性：


x

~


x

x

x
0

对称性：


x

~


x




x

~


x
 
x

x
0

传递性：


x< br>
~


x

，


x< br>
~


x




x< br>
~


x

x

x
0



_
定理
3.12
（等价无穷小量在极限问 题中的作用）
设函数
f
,
g
,
h
在
Uo

x
0

内有定义，且有
f

x< br>
~
g

x

x

x
0

.
(
i
)
若
lim
f

x

h

x


A
,
则
lim
g

x

h

x

< br>A
;
x

x
0
x

x
0< br>
f

x

g

x

< br>B
，则
lim

B
.

ii
若
x
lim

x
0
h

x

x

x
0
h

x

无穷大量设函数
f
在某
U
o

x
0

内有定义
.
若对任给的
G

0,
存在


0,
使得当
x

U
o

x
0;




U
o

x
0

时有
f

x


G
,< br>则称函数
f
当
x

x
0
时有非常极限

，记作
lim
f

x



.
x

x
0
对于自变量
x
趋于某种趋向

或
n


时

，所有以

，+

或
-

为非正常极限的函数（包括数列），都称为无穷大量
.
定理
3.13
（
i
）设
f
在
U
o

x
0

内有定义且不等于
0.
若f
为
x

x
0
1
为
x
x
0
时的无穷大量
.
f
1
（
ii
）若
g
为
x

x
0
时的无穷大量，则
为
x

x
0
时的无穷小量
.
g

时的无穷小量，则




函数的连续


_
函数在点的连续
1.
设函数
f
在某
U
o

x
0

内有定义
.
若
lim
f

x


f

x
0

,
x

x
0
则称
f
在点
x
0连续；也可表述为：若对任给的


0,
存在

0,
使得当
x

x
0


时有
f

x


f

x
0



,
则称
f
在点
x
0
连续
.
o
2.
设函数
f
在某
U


x< br>0


U

o

x
0
< br>
内有定义
.
若

，
lim

f< br>
x


f

x
0

< br>lim
f
x

f
x





x

x

0

x

x
0

0

则称
f
在点
x
0右（左）连续
.
定理
4.1
函数
f
在点
x0
连续的充要条件是：
f
在点
x
0
即
是右连续 ，又是左连续
.
o
间断点及其分类
3.
设函数
f
在 某
U
或不连续点
.
4.
可去间断点
若
lim
f

x


A
,
f
在点
x0
无定义，或有定义
x

x
0

x
0

内有定义
.
若
f
在点
x
0
无定 义，

或
f
在点
x
0
有定义不连续，则称
x
0
为函数
f
的间断点
但
f

x
0


A
,
则称
x
0
为函数
f< br>的可去间断点
.
若函数
f
在点
x
0
的左右极 限都存在，但
5.
跳跃间断点
lim

f

x

lim

f

x

，则称
x
0
为函数
f
的
x

x
0
x< br>
x
0
跳跃间断点
.
6.
以上两种间断点统称为第一 类间断点，其他所有形式的
间断点统称为第二类间断点
.





_
区间上的连续函数

若函数
f
在 区间
I
上的每一点都连续，则称
f
为
I
上的
连续函 数。对于闭区间或半开半闭区间的端点，函
数在这些点上的连续是指左连续或右连续
.
若函数
f
在区间

a
,
b

上仅有有限个 第一类间断点，
则称
f
在

a
,
b
上分段连续
.

连续函数的性质

定理
4.2
（局部有界性）若函数
f
在点
x
0
连续，则
f
在某
U

x
0

内有界
.
若函数
f< br>在点
x
0
连续，且
f

x
0

0

或

0

,
则
定理< br>4.3
（局部保号性）
对任何正数
r

f

x
0


或
r


f

x
0


，存在某
U

x
0
< br>,
使得对一切
x

U

x
0
有
f

x


r

f
x



r

.

定理
4. 4
（四则运算）两个函数连续，则他们加减乘除之后依旧连续
.
定理
4.5< br>若函数
f
在点
x
0
连续，
g
在点
u
0
连续
,
u
0

f

x
0

,
则复合函数
g
。
f
在点
x
0
连续
.
设
f
为定义在数集
D
上的函数
.
若存在
x
0

D
,
使得对一
定义
1.
切
x

D
,
有
f

x
0


f

x


f

x
0


f

x


,
则称
f
在
D
上
有最大

最小值

，并称
f

x
0

为
f
在
D< br>上有最大

最小值

.
定理
4.6

最大、最小值定理

推论

有界性定理

若函数
f
在闭区间

a
,
b

上连续，则
称f
在

a
,
b

上有最大值与最小值
.
若函数
f
在闭区间

a
,
b

上连续，则
f
在

a
,
b

上有界
.
设函数
f
在闭区间

a
,
b

上连续，且
f

a


f

b

,
若

为介于
f

a

与f

b

之间
的任何实数

定理
4. 7

介值性定理


f

a




f

b

或
f

a




f

b


， 则至少
存在一点
x
0


a
,
b

,
使得
f

x
0



.
设函数
f
在闭区间

a
,
b

上连续，且
f

a

与
f

b

异号
,
推论

根的存在定理

则至少存在一点< br>x
0


a
,
b

,
使得
f

x
0


0
，即方程
f
x


0
在

a
,
b
内至少有一个根
.


_
若函数
f
在闭区间

a
,
b

上严格单调并连续，
定理< br>4.8
则反函数
f

1
在其定义域

f

a

,
f

b


或


f

b

,
f
a



上连续
.
定义
2.

一致连续

设函数
f
为定义在
I
上的函数.
若对任给的


0,
存在

=
< br>



0,
使得对任何
x
'
,< br>x
''

I
，只要
x
'

x
''


,
就
有
f

x
'

f

x
''



，则 称函数
f
在区间
I
上一致连续
.
定理三

一致连续性定理

若函数
f
在闭区间

a
,
b

上连续，
则
f
在

a
,
b

上一致连续
.


初等函数的连续性
定理
4.10
设
a

0,

,

为任意实数 ，则有
a


a


a


,

a



a

.< br>定理
4.11
指数函数
a
x

a

0

在
R
上是连续的
.
定理
4.12
一切 基本初等函数都是其定义域上的连续函数
.
定理
4.13
任何初等函数都是在 其定义区间上的连续函数
.

导数和微分

设函数
y
=
f

x

在点
x
0
的某邻域内有定义 ，若极限
定义
1
导数：
lim
x

x
0< br>f

x


f

x
0
< br>存在，则称函数
f
在点
x
0
处可导，
x
< br>x
0
并称该极限为函数
f
在点
x
0
处的导数 ，记作
f
'

x
0

.

y
f
'

x
0

是当

x< br>有限增量公式：

x

0
时的无穷小量，于是


x
=
o


x

，即< br>设
f

x

在点
x
0
可导，那么< br>
=


y
=
f
'

x< br>0


x

o


x
< br>.
该式即为有限增量公式
.
定理
5.1
若函数
f< br>在点
x
0
可导，则
f
在点
x
0
连续
.




_

定义
2
单侧导数

设函数
y
=
f

x

在点
x
0
的某右邻域

x
0
,
x
0



上有定义，若
f

x
0


x


f

x
0


y
=
lim


0

x



存在

x
< br>0

x

x

0

x
，则 称该极限值为
f
在点
x
0
的右导数，记作
f
'

x
0

.
右极限
lim

类似的可定义左导数
f

x
0


x


f

x
0


y
=
l im


0


x



.

x

0

x

x

0

x
左导数和右导数统称为单侧导数
.
lim

若函数
y
=
f

x

在点
x
0
的某右邻域上有定义，则
定理
5.2
f
'

x0

存在的充要条
件是
f

'

x< br>0

和
f

'

x
0
< br>都存在，
且
f

'

x
0

=
f

'

x
0

.

导函数

若函数在区间
I
上每一点都可导

对区间 端点，仅考虑单侧极限

，
则称
f
为
I
上的可导函 数。此时对每一个
x

I
,
都有
f
的一个导数f
'

x


或单侧导数

与之对应
.
称
f
在
I
上的导函数，也简称为导数
.
记作
f
'
,
y
'
,
或
f

x


x


f

x

dy
dy
，即
=
lim
,
x

I
.
dx
dx

x

0

x

导数的几何意义


_
f

x

在点
x

x
0
的切线斜率
k
,
正是割线 斜率在
x

x
0
时的极限，
即
k

lim
x

x
0
f

x

< br>f

x
0

.
由导数的定义，
k
=
f
'

x

,
所以曲线
y
f

x

x

x
0
在点
< br>x
0
,
y
0

的切线方程是
y
< br>y
0

f
'

x
0

x

x
0

.
这就是说：函数
f
在点
x
0
的导数
f
'

x
0

是曲 线
y
=
f

x

在点

x
0
,
y
0

处的切线斜率
.
若函数
f< br>在点
x
0
的某邻域
U

x
0
内对一切
x

U

x
0

有
定义
3
f

x
0


f

x


f

x
0


f

x


，则称函数
f
在点
x
0
取得极大

小

值，称点
x
0
为极大

小

值点
.
极大值、极小值统称为极值，
极大值点、极小值 点统称为极值点
.



定理
5.3

费 马定理

设函数
f
在点
x
0
的某邻域内定义，且在 点
x
0
可导
.
若点
x
0
为
f的极值点，则必有
f
'

x
0


0 .
满足方程
f
'

x
0


0< br>的稳定点

驻点

.
取得极值的点是驻点或不可导点，
但驻点不一定是极值点
.
若函数
f
在

a
,b

上可导，且
f

'

a


f

'

b

,
k
为
定理
5.4

达布
Darboux

介于
f
'

a

，
f

'
b

之间任一实数，则至少存在
一点



a
,
b

,
使得
f
'




k
.
又称导函数的介值定理
.

求导法则

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