微积分定理归纳
温柔似野鬼°
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2021年01月29日 14:22
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第一章函数与极限
1
、函数的有界性在定义域内有
f( x)≥K1
则函数
f(x)
在定义域上有下界，
K1
为
下界 ；如果有
f(x)≤K2
，则有上界，
K2
称为上界。函数
f(x)
在定义域内有界的充
分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。
2
、数列的极限定理
(
极限的唯一性
)
数列
{xn}
不能同 时收敛于两个不同的极
限。
定理
(
收敛数列的有界性
)< br>如果数列
{xn}
收敛，那么数列
{xn}
一定有界。
如果数列
{xn}
无界，那么数列
{xn}
一定发散；但如果数列
{xn}
有界，却不能断
定数列
{xn}
一定收敛，例如数列
1< br>，
-1
，
1
，
-1
，
(-
1)n+ 1…
该数列有界但是发散，
所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。
< br>定理
(
收敛数列与其子数列的关系
)
如果数列
{xn}
收敛于
a
，那么它的任一子
数列也收敛于
a.
如果数列
{ xn}
有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列
{xn}
是
发散的，如数列
1
，
-1
，
1
，
-1
，
(-1)n+1…
中子数列
{x2k-1}
收敛于
1
，
{x nk}
收敛于
-
1
，
{xn}
却是发散的；同时一个发散的 数列的子数列也有可能是收敛的。
3
、函数的极限函数极限的定义中
0<| x-x0|
表示
x≠x0
，所以
x→x0
时
f(x)
有
没有极限与
f(x)
在点
x0
有没有定义无关。
定理
(
极限的局部保号性
)
如果
lim(x→x0)
时
f(x)=A
，而且
A>0(
或
A<0)
，就存
在 着点那么
x0
的某一去心邻域，当
x
在该邻域内时就有
f(x)>0 (
或
f(x)>0)
，反之
也成立。
函数
f(x )
当
x→x0
时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且
相等， 即
f(x0-0)=f(x0+0)
，若不相等则
limf(x)
不存在。< br>
一般的说，如果
lim(x→∞)f(x)=c
，则直线
y=c是函数
y=f(x)
的图形水平渐近
线。如果
lim(x→x0)f(x )=∞
，则直线
x=x0
是函数
y=f(x)
图形的铅直渐近线。< br>
4
、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的
乘 积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷
小；定理如果
F1( x)≥F2(x)
，而
limF1(x)=a
，
limF2(x)=b
，那么
a≥b.
1
/
10
5
、极限存在准则两个重要极限
lim(x→0)(sinx/x)=1
；
lim(x→∞)(1+1/x)x=
1.
夹 逼准则如果数列
{xn}
、
{yn}
、
{zn}
满足下列条 件：
yn≤xn≤zn
且
limyn=a
，
limzn= a
，那么
limxn=a
，对于函数该准则也成立。
单调有界数列必有极限。
6
、函数的连续性设函数
y=f(x)< br>在点
x0
的某一邻域内有定义，如果函数
f(x)
当
x→x0
时的极限存在，且等于它在点
x0
处的函数值
f(x0)
，即
lim(x→x0)f(x)=f(x0)
，那么就称函数
f(x)
在点
x 0
处连续。
不连续情形：
1
、在点
x=x0
没有定义；
2
、虽在
x=x0
有定义但
lim(x→x0)f(x)
不存在；
3
、虽在
x=x0
有定义且
lim(x→x0)f(x)
存在，但
l im(x→x0)f(x)≠f(x0)
时则称函数
在
x0
处不连续或间断。
如果
x0
是函数
f(x)
的间断点，但左极限及右极限都 存在，则称
x0
为函数
f(x)
的第一类间断点
(
左右极限 相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断
点
)
。非第一类间断点的任何间断点都称 为第二类间断点
(
无穷间断点和震荡间断
点
)
。
定理有限个在某点连续的函数的和、积、商
(
分母不为
0)
是个在该点连续的
函数。
定理如果函数
f(x)
在区间
Ix
上单调 增加或减少且连续，那么它的反函数
x=f(y)
在对应的区间
Iy={y|y=f( x)
，
x
∈
Ix}
上单调增加或减少且连续。反三角函数在
他们的定义域内都是连续的。
定理
(
最大值最小值定理
)
在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和
最小值。如果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有 间断点，那么函数在该
区间上就不一定有最大值和最小值。
2
/
10
定理
(
有界性定理
)
在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界，即
m≤f(x)≤M.
定理
(
零点定理
)
设函数
f(x)
在闭区间
[a
，b]
上连续，且
f(a)
与
f(b)
异号
(
即
f(a)×f(b)<0)
，那么在开区间
(a
，
b)
内至 少有函数
f(x)
的一个零点，即至少有一点
ξ
(a<
ξ
< b
）。
推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值
M
与最小值< br>m
之间的任何
值。
第二章导数与微分
1
、导数存在的充分必要条件函数
f(x)
在点
x0
处可导的充分必要条件是在 点
x0
处的左极限
lim(h→
-0)[f(x0+h)-f(x0)]/h
及右极限
lim(h→+0)[f(x0+h)
-f(x0)]/h
都存在且相等，即左导数
f-
′(x0)
右导数
f+′(x0)
存在 相等。
2
、函数
f(x)
在点
x0
处可导
=>
函数在该点处连续；函数
f(x)
在点
x0
处连续
≠ >
在该点可导。即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件而不是充分条
件。
3
、原函数可导则反函数也可导，且反函数的导数是原函数导数的倒数。
4
、函数
f(x)
在点
x0
处可微
=>
函数在该点处 可导；函数
f(x)
在点
x0
处可微的
充分必要条件是函数在该点处 可导。
第三章中值定理与导数的应用
1
、定理
(
罗尔定理
)
如果函数
f(x)
在闭区间
[a
，
b ]
上连续，在开区间
(a
，
b)
内
可导，且在区间端点的函 数值相等，即
f(a)=f(b)
，那么在开区间
(a
，
b)
内至少有
一点
ξ
(a<
ξ
f< br>（
x
）在该点的导数等于零：
f’
（
ξ
）
=
0.2
、定理
(
拉格朗日中值定理
)
如果函数
f(x)
在闭区间
[a，
b]
上连续，在开区
间
(a
，
b)
内可导， 那么在开区间
(a
，
b)
内至少有一点
ξ
(a<
ξ
f
（
b
）
-f
（
a
）
=f’
（
ξ
）（
b-a
）成立即
f ’
（
ξ
）
= [f
（
b
）
-f
（
a
）
]/
（
b-a
）。
3
/
10
3
、定理< br>(
柯西中值定理
)
如果函数
f(x)
及
F(x)在闭区间
[a
，
b]
上连续，在开区
间
(a
，
b)
内可导，且
F’(x)
在
(a
，
b)
内的每一点处均不为零，那么在开区间
(a
，
b)
内至少有一点
ξ< br>，使的等式
[f(b)-f(a)]/[F(b)-
F(a)]=f’(ξ)/F’(ξ
)
成立。
4
、洛必达法则应用条件只能用与未定型诸如
0/
0
、
∞ /∞
、
0×∞
、
∞
-
∞
、
00
、
1∞
、
∞0
等形式。
5
、函数单调性的判定法设函数
f(x)
在闭区间
[a
，
b]
上连续，在开区间
(a
，
b)
内可导，那么：
(1)如果在
(a
，
b)
内
f’(x)>0
，那么函数
f(x)
在
[a
，
b]
上单调增加；
(2)< br>如果在
(a
，
b)
内
f’(x)<0
，那么函数f(x)
在
[a
，
b]
上单调减少。
如果函 数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连
续，那么只要用方程
f’(x )=0
的根及
f’(x)
不存在的点来划分函数
f(x)
的定义区间 ，
就能保证
f’(x)
在各个部分区间内保持固定符号，因而函数
f(x)< br>在每个部分区间上
单调。
6
、函数的极值如果函数
f(x)
在区间
(a
，
b)
内有定义，
x0
是
(a
，
b)
内的一个
点，如果存在着点
x0
的一个去心邻域，对 于这去心邻域内的任何点
x
，
f(x)f(x0)
均成立，就称
f( x0)
是函数
f(x)
的一个极小值。
在函数取得极值处，曲线上 的切线是水平的，但曲线上有水平曲线的地
方，函数不一定取得极值，即可导函数的极值点必定是它的驻 点
(
导数为
0
的
点
)
，但函数的驻点却不一定是极 值点。
定理
(
函数取得极值的必要条件
)
设函数
f(x)
在
x0
处可导，且在
x0
处取得极
值，那么函数在
x0
的导数为零，即
f’(x0)=
0.
定理
(
函数取得极值的第一种充分条件
)
设函数
f(x)
在
x0< br>一个邻域内可导，
且
f’(x0)=0
，那么：
4
/
10
(1)
如果 当
x
取
x0
左侧临近的值时，
f’(x)
恒为正；当
x
去
x0
右侧临近的值
时，
f’(x)
恒为负，那么函数
f(x)
在
x0
处取得极大值；
(2)
如果当< br>x
取
x0
左侧临近的值时，
f’(x)
恒为负；当
x
去
x0
右侧临近的值
时，
f’(x)
恒为正，那么函数f(x)
在
x0
处取得极小值；
(3)
如果当
x
取
x0
左右两侧临近的值时，
f’(x)
恒为正或恒为负，那么 函数
f(x)
在
x0
处没有极值。
定理
(
函数取得极值的第二种充分条件
)
设函数
f(x)
在
x0
处具有二阶导数且
f’(x0)=0
，
f’’(x0)≠0
那么：
(1)
当
f’’(x0)<0
时，函数
f(x)
在
x0
处取得极大值；
(2)
当
f’’(x0)>0
时，函 数
f(x)
在
x0
处取得极小值；驻点有可能是极值点，不
是驻点也 有可能是极值点。
7
、函数的凹凸性及其判定设
f(x)
在区间< br>Ix
上连续，如果对任意两点
x1
，
x2
恒有
f[( x1+x2)/2]<[f(x1)+f(x1)]/2
，那么称
f(x)
在区间Ix
上图形是凹的；如果恒有
f[(x1+x2)/2]>[f(x1)+f(x1)]/ 2
，那么称
f(x)
在区间
Ix
上图形是凸的。
定理设函数
f(x)
在闭区间
[a
，
b]
上连续，在开区间
(a
，
b)
内具有一阶和二阶
导数，那么
(1)
若在
(a
，
b)
内
f’’(x)>0
，则
f(x)
在闭区间
[a
，
b]
上的图形是凹的；
(2)
若在
(a
，
b)
内
f’’(x)<0
，则< br>f(x)
在闭区间
[a
，
b]
上的图形是凸的。
判断曲线拐点
(
凹凸分界点
)
的步骤
(1)
求出
f’’(x)
；
(2)
令
f ’’(x)=0
，解出这方程在区间
(a
，
b)
内的实根；
(3)
对于
5
/
10