高数定理定义总结
温柔似野鬼°
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2021年01月29日 14:25
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高数定理定义总结
第一章函数与极限
1
、函数的有界性在定义域内有< br>f(x)≥K1
则函数
f(x)
在定义域上有下界，
K1
为下 界；如
果有
f(x)≤K2
，则有上界，
K2
称为上界。函数
f(x)
在定义域内有界的充分必要条件是在定义
域内既有上界又有下界。
2
、数列的极限定理
(
极限的唯一性
)
数列
{xn}
不能同时收敛于两个不同的极限。
定 理
(
收敛数列的有界性
)
如果数列
{xn}
收敛，那么数列
{xn}
一定有界。
如果数列
{xn}无界，
那么数列
{xn}
一定发散；
但如果数列
{xn}
有界，
却不能断定数列
{xn}
一定收敛，例如数列
1
，
-1
，
1
，
-1
，
(-
1)n+1…
该数 列有界但是发散，所以数列有界是数列收
敛的必要条件而不是充分条件。
定理
(
收敛数列与其子数列的关系
)
如果数列
{xn}收敛于
a
，那么它的任一子数列也收敛
于
a.
如果数列
{xn}
有两个子数列收敛于不同的极限，
那么数列
{xn}
是发散的，如数列
1
，
-1
，
1
，
-1
，
(-
1)n+1…
中子数列
{x2k-1}
收敛于
1
，< br>{xnk}
收敛于
-1
，
{xn}
却是发散的；同时一个发< br>散的数列的子数列也有可能是收敛的。
3
、函数的极限 函数极限的定义中
0<|x-x0|
表示
x≠x0
，所以
x→x0< br>时
f(x)
有没有极限与
f(x)
在点
x0
有没有定 义无关。
定理
(
极限的局部保号性
)
如果
lim(x→x0)
时
f(x)=A
，而且
A>0(
或
A<0)
，就存在着点那
么
x0
的某一去心邻域，当
x< br>在该邻域内时就有
f(x)>0(
或
f(x)>0)
，反之也成立。< br>
函数
f(x)
当
x→x0
时极限存在 的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即
f(x0-0)=f(x0+0)
，若不 相等则
limf(x)
不存在。
一般的说，如果l
im(x→∞)f(x)=c
，则直线
y=c
是函数
y=f( x)
的图形水平渐近线。如果
lim(x→x0)f(x)=∞
，则直线
x= x0
是函数
y=f(x)
图形的铅直渐近线。
4
、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷
小；< br>常数与无穷小的乘积是无穷小；
有限个无穷小的乘积也是无穷小；
定理如果
F1 (x)≥F2(x)
，
而
limF1(x)=a
，
limF2(x) =b
，那么
a≥b.
5
、
极限存在 准则两个重要极限
lim(x→0)(sinx/x)=1
；
lim(x→∞)(1+ 1/x)x=1.
夹逼准则如果
数列
{xn}
、
{yn}
、
{zn}
满足下列条件：
yn≤xn≤zn
且
limyn=a
，
limzn=a
，那么
limxn=a
，对于
函数该准则也成立 。
单调有界数列必有极限。
6
、函数的连续性设函数
y=f(x)
在点
x0
的某一邻域内有定义 ，如果函数
f(x)
当
x→x0
时
的极限存在，
且等于它在 点
x0
处的函数值
f(x0)
，
即
lim(x→x0)f( x)=f(x0)
，
那么就称函数
f(x)
在点
x0
处连续 。
不连续情形：
1
、
在点
x=x0
没有定义；
2
、
虽在
x=x0
有定义但
lim(x →x0)f(x)
不存在；
3
、
虽在
x=x0
有定义且lim(x→x0)f(x)
存在，但
lim(x→x0)f(x)≠f(x0)
时则称函数在
x0
处不连续
或间断。
如果< br>x0
是函数
f(x)
的间断点，但左极限及右极限都存在，则称
x0< br>为函数
f(x)
的第一类
间断点
(
左右极限相等者称可去间断 点，不相等者称为跳跃间断点
)
。非第一类间断点的任何
间断点都称为第二类间断点< br>(
无穷间断点和震荡间断点
)
。
定理 有限个在某点连续的函数的和、积、商
(
分母不为
0)
是个在该点连续的函数 。
定理如果函数
f(x)
在区间
Ix
上单调增加或减少且连续，
那么它的反函数
x=f(y)
在对应的
区间Iy={y|y=f(x)
，
x
∈
Ix}
上单调增加或减少且连 续。反三角函数在他们的定义域内都是连
续的。
定理
(
最大值最小值定理
)
在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值。如
果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点，
那么函数在该区间上就不一定有最大 值
和最小值。
定理
(
有界性定理
)
在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界，
即
m≤f(x)≤M.
定理(
零点
定理
)
设函数
f(x)
在闭区间
[a< br>，
b]
上连续，且
f(a)
与
f(b)
异号
(
即
f(a)×
f(b)<0)
，那么在开区间
(a
，b)
内至少有函数
f(x)
的一个零点，即至少有一点
ξ(a<ξ
< P>
推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值
M
与最 小值
m
之间的任何值。
第二章
导数与微分
1
、导数存在的充分必要条件函数
f(x)
在点
x0
处可导的充分必要条件是在点
x0
处的左
极限
lim(h→
-0)[f(x0+h)-f(x0)]/h
及右极限
l im(h→+0)[f(x0+h)
-f(x0)]/h
都存在且相等，即左导
数f-
′(x0)
右导数
f+′(x0)
存在相等。
2
、函数
f(x)
在点
x0
处可导
=>
函数在该点处连续；函数
f(x)
在点
x0
处连续
≠>在该点可
导。即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件而不是充分条件。
3
、原函数可导则反函数也可导，且反函数的导数是原函数导数的倒数。
4
、函数
f(x)
在点
x0
处可微< br>=>
函数在该点处可导；函数
f(x)
在点
x0
处可微的充分 必要
条件是函数在该点处可导。
第三章
中值定理与导数的应用
1
、定理
(
罗尔定理
)
如果函数
f(x)
在闭区间
[a
，
b]
上连续，在开区间
(a
，
b)
内可导，且在
区间端点的函数 值相等，即
f(a)=f(b)
，那么在开区间
(a
，
b)
内至少有一点
ξ(a<ξ
数
f
（
x
）在该点的导数等于零：
f'
（
ξ
）
= 0.<>
2
、定理
(
拉格朗日中值定理
)
如果 函数
f(x)
在闭区间
[a
，
b]
上连续，在开区间
(a
，
b)
内可
导，那么在开区间
(a
，
b)< br>内至少有一点
ξ(a<ξ
f
（
b
）
-f
（
a
）
= f'
（
ξ
）（
b -a
）
成立即
f'
（
ξ
）
= [f
（b
）
-f
（
a
）
]/
（
b-a
）。
3
、定理
(
柯西中值定理
)
如果函数
f(x)
及
F(x)
在闭区间
[a，
b]
上连续，在开区间
(a
，
b)
内
可导， 且
F'(x)
在
(a
，
b)
内的每一点处均不为零，那么在 开区间
(a
，
b)
内至少有一点
ξ
，使的
等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-
F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)
成立。
4
、洛必达法则应用条件只能用与未定型诸如
0/0、
∞/∞
、
0×∞
、
∞
-
∞
、
00
、
1∞
、
∞ 0
等
形式。
5
、函数单调性的判定法设函数
f(x)
在闭区间
[a< br>，
b]
上连续，在开区间
(a
，
b)
内可导，那么：
(1)
如果在
(a
，
b)
内
f'(x)> 0
，
那么函数
f(x)
在
[a
，
b]
上单 调增加；
(2)
如果在
(a
，
b)
内
f’(x)< 0
，
那么函数
f(x)
在
[a
，
b]
上单 调减少。
如果函数在定义区间上连续，
除去有限个导数不存在 的点外导数存在且连续，
那么只要
用方程
f'(x)=0
的根及
f’ (x)
不存在的点来划分函数
f(x)
的定义区间，
就能保证
f'( x)
在各个部分
区间内保持固定符号，因而函数
f(x)
在每个部分区间上单 调。
6
、函数的极值如果函数
f(x)
在区 间
(a
，
b)
内有定义，
x0
是
(a
，< br>b)
内的一个点，如果存在
着点
x0
的一个去心邻域，
对于这 去心邻域内的任何点
x
，
f(x)f(x0)
均成立，
就称
f(x0)
是函数
f(x)
的一个极小值。
在函数取得极值处，
曲线上的切线是水平的，
但曲线上有水平曲线的地方，
函数不一定
取得极值，即可导函数的极值点必定是它的驻点
(
导数为
0
的点)
，但函数的驻点却不一定是
极值点。
定理(
函数取得极值的必要条件
)
设函数
f(x)
在
x0< br>处可导，且在
x0
处取得极值，那么函
数在
x0
的导数为零， 即
f'(x0)=0.
定理
(
函数取得极值的第一种充分条件
)设函数
f(x)
在
x0
一
个邻域内可导，且
f’(x0 )=0
，那么：
(1)
如果当
x
取
x0
左侧临近的 值时，
f'(x)
恒为正；当
x
去
x0
右侧临近的值时，< br>f’(x)
恒为负，那么函数
f(x)
在
x0
处取得极大值；
(2)
如果当
x
取
x0
左侧临近的值时，
f'(x )
恒为负；
当
x
去
x0
右侧临近的值时，
f’(x )
恒为正，
那么函数
f(x)
在
x0
处取得极小值；
(3)
如果当
x
取
x0
左右两侧临近的值时，
f'(x)
恒为正或恒为负，
那么函数
f(x)
在
x0
处没有极值。< br>
定理
(
函数取得极值的第二种充分条件
)设函数
f(x)
在
x0
处具有二阶导数且
f'(x0)=0，
f''(x0)≠0
那么：
(1)
当
f''(x0)<0时，函数
f(x)
在
x0
处取得极大值；
(2)
当f''(x0)>0
时，函数
f(x)
在
x0
处取得极小值；驻 点有可能是极值点，不是驻点也有可能是极值点。
7
、函数的 凹凸性及其判定设
f(x)
在区间
Ix
上连续，如果对任意两点
x1
，
x2
恒有
f[(x1+x2)/2]<[f(x1)+f(x1)]/2< br>，那么称
f(x)
在区间
Ix
上图形是凹的；如果恒有
f[( x1+x2)/2]>[f(x1)+f(x1)]/2
，那么称
f(x)
在区间Ix
上图形是凸的。