圆的几个重要定理
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2021年01月29日 14:26
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第二讲
-
圆的几个重要定理
中考要求
内容
圆的有关概念
圆的性质
圆周角
基本要求
理解圆及其有关概念
知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心
角的关系
了解圆周角与圆心角的关系；了解直
径所对的圆周角是直角
略高要求
会过不在同一直线上的三点作圆；能
利用圆的有关概念解决简单问题
能用弧、弦、圆心角的关系解决简单
问题
会求圆周角的度数，能用圆周角的知
识解决与角有关的简单问题
较高要求
能运
用
圆
的
性
质
解
决有关问题
能综
合
运
用
几
何
知
识解
决
与
圆
周
角
有
关的问题
知识点睛
一、圆周角定理
圆心角和圆周角
1
．
圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为
360< br>等份，每一份的弧对应
1
的圆心角，我们也
称这样的弧为
1
的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．
2
．
圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
3
．
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
推论
1
：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆 中，相等的圆周角所对的弧相等．
推 论
2
：半圆
(
或直径
)
所对的圆周角是直角，
90
的圆周角所对的弦是直径．
推论
3
：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．< br>
4
．
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定 理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦
相等，所对的弦的弦心距相等．
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条 弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它
们所对应的其余各组量分别相等．
圆是平面几何中的一个重要内容．
由于圆与直线型图形可组合成一些复杂的几何问题 ，
所以它经常出现
在数学竞赛中．
圆的基本性质有：
⑴
直径所对的圆周角是直角．
⑵
同弧所对的圆周角相等．
⑶
经过圆心及一弦中点的直线垂直平分该弦．
二、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两 条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，其它各组量都相等。
三、相交弦定理（选讲）
相交弦定理：
圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等．
如图 ，弦
AB
和
CD
交于
⊙
O
内一点
P
，则
PA
PB
PC
PD
．
2010
年·暑假·短期班
圆·
第
2
讲
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学生版
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A
C
B
P
O
D
相交弦定理的推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．
重、难点
教学重点：
圆周角的概念和圆周角定理
教学难点
：
圆周角 定理的证明中由“一般到特殊”的数学思想方法和完全归纳法的数学思想．
例题精讲
一、圆周角定理
【例
1
】
⑴
(08
龙岩
)
如图，
量角器外沿上有
A
它们的 度数分别是
70
、
则
1
的度数为
__ _______
．
40
，
、
B
两点，
⑵
如图，
△
ABC
的三个顶点都在
⊙
O
上，
C< br>
30
，
AB
2cm
，则
⊙
O< br>的半径为
______
cm
．
A
B
1
O
O
C
【例
2
】
(
07
年威海中考题
)
如图，
AB
是
O
的直径，点
C
，
D< br>，
E
都在
O
上，若
∠
C
∠
D
∠
E
，求
∠
A
∠
B．
C
A
B
A
O
D
E
B
【例
3
】
(
08
年
济宁改
编
)
如
图，< br>四边形
ABCD
中
，
AB
AC
AD
，
若
CAD
76
，
BDC
13
，则
CBD
_________
，
BAC
__________
．
A
D
B
C
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圆·
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【例
4
】
如图，
AB
为
⊙
O
的直径，
CD
是
⊙< br>O
的弦，
AB
、
CD
的延长线交于点
E
，若
AB
2
DE
，
E
18
，
求
AOC
的度数．
A
C
O
B
D
E
【例
5
】
(
07
重庆
)已知，如图：
AB
为
⊙
O
的直径，
AB
AC
，
BC
交
⊙
O
于点
D
，
AC
交
⊙
O
于点
E
，
；②
BD
DC
；③
AE
2
EC
；④劣弧
AE是
BAC
45
．给出以下五个结论：①
EBC
22.5
，
劣弧
DE
的2
倍；⑤
AE
BC
．其中正确结论的序号是
．
A
O
E
B
【例
6
】
如图
AB
是半圆
O
的直径，点
C
、
D
在弧
AB
上，且
AD< br>平分
CAB
，已知
AB
10
，
AC
6
，求
AD
的长．
C
D
D
C
A
O
B
【例
7
】
(
08
乌鲁木齐
)
如图所示的 半圆中，
AD
是直径，且
AD
3
，
AC
2
，则
sin
B
的值是
________
．
C
B
D
A
【例
8
】
⑴
(
09
河北
)如下左图，
四个边长为
1
的小正方形拼成一个大正方形，
A
、< br>B
、
O
是小正方形顶点，
⊙
O
的半径为
1< br>，
P
是
⊙
O
上的点，且位于右上方的小正方形内，则
APB
等于
__________
．
P
A
O
B
A
D
O
C
B
⑵
(
09
四川成都
)
如上右图，
ABC
内接于
⊙
O
，
AB
BC
，
ABC
120
，
AD
为
⊙
O
的直径，
AD
6
，
那么
BD
_________
．
⑶
(
09
山东泰安
)
⊙
O
的半径为
1
，
AB
是
⊙
O
的一条弦，且
AB
3
，则弦
AB
所对圆周角的度数为
_____________
．
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【例
9
】
如图，点
A
、
B
、< br>C
是
⊙
O
上的三点，
AB
∥
OC
．
⑴
求证：
AC
平分
OAB
；
⑵
过点
O
作
OE
AB
于点
E
，交
AC
于点
P
．若
AB
2
，
< br>AOE
30
，求
PE
的长．
C
B
P
E
O
A
【例
10
】
⑴
如图，
AB
是
⊙
O
的直径，
CD
AB
，设
COD
，则
AB
sin
2
_____________
．
AD
2
C
A
B
D
O
⑵
如图，
AB
是
⊙
O的直径，
弦
PC
交
OA
于点
D
，
弦< br>PE
交
OB
于点
F
，
且
OC
DC
，
OF
EF
．
若
C
E
，则
CPE
___________< br>．
P
O
D
F
A
B
E
⑶
已知：如图，
MN
是
⊙
O
的直径，点
A
是半圆上一个三等分点，点
B
是
AN
的中点，
P
是
MN
上
一动点，
⊙
O
的半径为
1
，则
PA
PB
的最小值是
_____________
．
C
A
B
M
O
P
N
【例
11
】
已
知如图，
ACD
的外角平分线
CB
交其外接圆于
B
，连接
BA
、
BD
，求证：
BA
BD
．
B
N
C
A
D
二、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
【例
12
】
< br>如
图所示在
⊙
O
中，
AB
2
CD
，那么
(
)
A.
AB
2
CD
B.
A
B
2
C
D
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