巴斯普定理及其证明
温柔似野鬼°
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2021年01月29日 14:28
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高中物理竞赛专题辅导—力与平衡
05
物体平衡的种类
概念规律：
1
、平行力的合成与分解
物体所受的几个力的作用线彼此平行，且不作用于一点，
即为平行力（系）。
在平行力的合成或分解的过程中，
必须同时考虑到力的平
动效果和转动效果，
后者要 求合力和分力相对任何一个转轴的
力矩都相同。
两个同向平行力的合力其方向与两个 分力方向相同，
其大小等
于分力大小之和。其作用线在两个分力作用点的连线上。合力
作用点到分力作用点的距离与分力的大小成反比。例如：两个
同向平行力
F
A
和
F
B
，其合力的大小
F=F
A
+F
B
， 合力作用点
O
满足
AO
·
F
A
=BO
·< br>F
B
的关系。
两个反向平行力的合力其方向与较大的分力方向相同，
其
大小等于分力大小之差。
其作用线在两个分力作用点的连线的
延长线上，且 在较大的分力的外侧。合力作用点到分力作用点
的距离与分力的大小成反比。例如：两个反向平行力F
A
和
F
B
的合成其合力的大小
F=F
B-F
A
(
假如
F
B
＞
F
A
，
则
F
和
F
B
同向
)
其合
力的作用 点满足
AO
·
F
A
=BO
·
F
B
的关系。
1
高中物理竞赛专题辅导—力与平衡
一个力分解成两个平行力，是平行力合成的逆过程。
2
、重心和质心
重心是重力的作用点。质心是物体
(
或由 多个物体组成的
系统
)
质量分布的中心。
物体的重心和质心是两个不同的概念 ，
当物体远离地球而不受重力作用时，重心这个概念就失去意
义，但质心却依然存在。对于地球 上体积不太大的物体，由于
重力与质量成正比，重心与质心的位置是重合的。但当物体的
高度和 地球半径比较不能忽略时，两者就不重合了，如高山的
重心比质心要低一些。
质心位置的定义表达式是一个矢量表达式，
可以写成三个
分量表达式：
其意义可以这样理解：
假定由多质点组成的物体被分成许
多小块，每块都有 相同的质量
m
，物体总质量等于块数
(
设为
N
块
)
乘以每块质量
m
，第一式可以改写成：
即等于各小块的 位置
X
i
之和除以块数
N
。因此，在假定每
块质量相等时< br>X
C
，就是所有
X
i
的平均值。如果其中有一块
(< br>设
2
高中物理竞赛专题辅导—力与平衡
第
i
块< br>)
的质量是其它小块质量的两倍，则在求和时，相应的
X
i
应出现两次 。这可以设想把此两倍的质量的小块分成相等的
两块即可看出。因此，
X
C
是 所有质量在
X
方向上的平均位置，
其中每小块质量所计算的次数都正比于这个质量自身 。
这就是
人们常说的，质心位置是以质量为权重的加权位置平均值。
质心位置的求法：
(1)
定义法
根据定义式是求质心位置最普遍最基本的方法。
首先建立
直角坐标，再利用直角坐标下定义 式给出质心的位置。对质量
连续分布的物体，计算中通常要用到积分，对于中学生来说暂
时还无 力求解。因此，此法通常用于质量离散分布或系统可以
等效成离散质点情况的处理。
(2)
实验室
质量作平面分布的物体用实验法求质心位置较为简便 。
在
此平面物体上，
选两点
A
和
B(
设
A
、
B
和质心不在同一直线上
)
，
分别作为悬挂点，悬挂在垂 直于平面的光滑转轴上，过悬挂点
的两个铅垂线的交点即为质心位置。
(3)
对称法
如果一个物体质量分布具有轴对称性，
例如质量平面均匀
3
高中物理竞赛专题辅导—力与平衡
分布的菱形物体，其质心必处在对角线上，两对角 线的交点即
为此菱形的质心位置。这是因为垂直于对称轴方向上，轴两旁
的正负坐标的质量对应 相等。
(4)
分割法
这种方法把整个 物体分割成质心易求的若干部分，
再把各
部分看成位置在各自质心处、并具有该部分质量的质点 ，再依
质心定义表达式求出整个物体的质心位置。
如下左图的棒锤，
假设匀 质球
A
质量为
M
、
半径为
R
；
匀
质棒
B
质量为
m
、长度为
l
，求它的重心。第一种方法是将 它
分隔成球和棒两部分，
然后用同向平行力合成的方法找出其重
心
C
。
C
在
AB
连线上，且
AC
·
M=BC
·
m(
如下右图
)
。
(5)
负质量法
容易看出，负质量法本质上是分割法的一种推论，仍然是< br>把整个物体分割成质心易求的几个部分。不同的是，每一部分
既可以是正质量，也可以是负质量。
4
高中物理竞赛专题辅导—力与平衡
同样，将棒锤看成一个对 称的“哑铃”和一个质量为—
M
的球
A
′的合成
(
如下左图
)
，用反向平行力合成的方法找出其
重心
C
，
C
在
AB
连线上，且
BC
·
(2M+m)=A
′
C·
M
．不难看出两
种方法的结果都是：
BC=M
（
R+ l/2
）
/
（
M+m
）
证明方法与分割法相同。
有时，根据质心的定义，我们还可用坐标法求物体系的质< br>心。通常把物体分割成
n
个部分，求得这
n
个部分的质量分别
为
m
1
，
m
2
，…，
m
n
。所受 的重力相应为
m
1
g
，
m
2
g
，…
m
n
g
。又求
得它们的重心
(
质心
)
的 坐标分别为
(x
1
，
，
y
1
，
z
1
)
，
(x
2
，
y
2
，
z
2
)
，
…，
(x
n
，
y
n
，< br>z
n
)
。由于这
n
个部分所受的重力
G
i< br>=m
i
g(i=1
，
2
，…，
n)
可看作是 平行力，故可用类似于求同向平行力合力的方法，
求得这
n
个平行力合力的作用点位置
(x
C
，
y
C
，
z
C
)
，
得出整个物
体质心
(
重心
)
的位置坐标为
上例中，以
B
点为原点，水平向右为。轴正方向，则
A
、
B
的合质心的位置为：
5
高中物理竞赛专题辅导—力与平衡
即：
负号表示质心的位置在
B
点左侧（如上右图）。
用坐标法求物体的 重心是比较方便的。
坐标法与分隔法—
样，都是由平行力的合成方法推导出来的，有兴趣的读者 可以
尝试推导一下。
(6)
巴普斯定理及其推论
对于质量连续分布的物体，
求质心的一般方法是利用质心
定义的三个 分量表达式。但是，有时我们愿意采用处理这类问
题的技巧，巴普斯定理提供了一种技巧。
巴普斯定理表述为：一个平面物体，质量均匀分布，令其
上各质点沿垂直于平 面的方向运动，在空间扫过一立体体积，
则此体积等于面物体面积乘以物体质心在运动中所经过的路程。
当面物体上各质点以相同的速度沿着一条与物平面垂直
的 直线运动时，在空间扫过的体积是一柱体。显然，巴普斯定
6