内地歌手-清明节作文

2021年1月29日发(作者：人模狗样)

（高中）平面几何基础知识（基本定理、基本性质）

1
．

勾股定理（毕达哥拉斯定理）
（广义勾股定理）
(1 )
锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边
和另一边在这边上的射影乘积 的两倍．

(2)
钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一 边
在这边上的射影乘积的两倍．

2
．

射影定理（欧几里得定理）

3
．

中线定理（巴布斯定理 ）设△
ABC
的边
BC
的中点为
P
，则有
AB中线长：
m
a

2
b

2
c

a
2
2
2
2
2
2

AC
2

2
(
AP
2
2

BP
)< br>；

．


AD
2
4
．

垂线定理：
AB

CD

AC
高线长：
h
a

2
a

BC
2
2

BD
．

p
(
p

a
)(
p
b
)(
p

c
)

bc
a
sin
A

c
sin
B

b
si n
C
．

5
．

角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．
< br>如△
ABC
中，
AD
平分∠
BAC
，则
2< br>b

c

2
BD
DC

AB
AC
；
（外角平分线定理）
．

A
2
角平分线长：
t
a

6
．

正弦定理：
a
sin
A
2
bcp
(
p
a
)

c
sin
C
2
bc
b

c
cos
（其中
p
为周长一半）
．

b
sin
B
2

（其中
R
为三角形外接圆 半径）
．


2
R
，
7
．
余弦定理：
c

a

b

2
abcos
C
．

8
．

张角定理：
sin

BAC


sin

BAD

sin

DAC
．

AD
AC
AB
9
．

斯特瓦尔特
(
Stewart
)
定理：设已知△
ABC
及其底边上
B
、
C
两点间的一点
D
，则有
AB
2
·
DC< br>+
AC
2
·
BD
－
AD
2
·
BC
＝
BC
·
DC
·
BD
．

10
．

圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．
（圆外角如何转化？）

11
．

弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角．

12
．

圆幂定理：
（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定 理）
：切线长定理：
）

13
．

布拉美古塔（
Brahmagupta
）定理：

在圆内接四边形< br>ABCD
中，
AC
⊥
BD
，自对角线的交点
P
向一边作垂线，其延
长线必平分对边．

14
．

点到圆 的幂：设
P
为⊙
O
所在平面上任意一点，
PO
=
d
，⊙
O
的半径为
r
，则
d
2
－
r
2
就是点
P
对于⊙
O
的幂．过
P
任作一直 线与⊙
O
交于点
A
、
B
，则
P
A·
PB
= |
d
2
－
r
2
|
．
“ 到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，
如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共 弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”
．三个圆两两的根
轴如果不互相平行，则 它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”
．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相
交 时，三条公共弦
(
就是两两的根轴
)
所在直线交于一点．

15
．

托勒密（
Ptolemy
）定理：圆内接四边形对 角线之积等于两组对边乘积之和，即
AC
·
BD
=
AB
·< br>CD
+
AD
·
BC
，
(
逆命题成
立
)
．
（广义托勒密定理）
AB
·
CD
+
AD
·
BC
≥
AC
·
BD
．

16
．

蝴蝶定理：
AB
是⊙
O
的弦，< br>M
是其中点，弦
CD
、
EF
经过点
M
，CF
、
DE
交
AB
于
P
、
Q
，求证：
MP
=
QM
．


17
．

费马点：
定理
1
等边三角形外接圆上一点 ，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角
形外接圆上的点，到该三角形两 顶点距离之和大于到另一点的距离．
定理
2

三角形每一内角都小于
120
°时，在三
角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是
120
°，该 点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”
，当三角形有
一内角不小于
120
°时，此角的顶点即为费马点．



18
．

拿破仑三角形：在任意△
ABC
的外侧，分别作等边△
ABD
、△
B CE
、△
CAF
，则
AE
、
AB
、
CD< br>三线共点，并且
AE
＝
BF
＝
CD
，这个命题称为拿 破仑定理．


以△
ABC
的三条边分别向外作等边△
AB D
、△
BCE
、△
CAF
，它们的外接
圆⊙
C1

、⊙
A
1

、⊙
B
1
的 圆心构成的△——外拿破仑的三角形，⊙
C
1

、⊙
A
1

、⊙
B
1
三圆共点，外拿破仑 三角形是
一个等边三角形；△
ABC
的三条边分别向△
ABC
的内侧 作等边△
ABD
、△
BCE
、△
CAF
，它们的外接圆⊙< br>C
2

、⊙
A
2

、⊙
B
2
的圆心构成的△——内拿破仑三角形，⊙
C
2

、⊙
A
2

、⊙
B
2
三圆共点，内拿破仑 三角形也是一个等边三
角形．这两个拿破仑三角形还具有相同的中心．


19
．

九点圆（
Nine

point

round
或欧拉圆或费尔巴赫圆）
：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂 线的垂足，以
及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质
,
例如
:

（
1
）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半
;
（
2
）九点圆的圆心在欧拉线上
,
且恰为垂心与外心连线的中点
;

（
3
）三角形的九点圆与三角形的内切圆
,
三个旁切 圆均相切〔费尔巴哈定理〕
．

20
．

欧拉（
E uler
）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上．

21
．

欧拉（
Euler
）公式：设三角形的外接圆半径 为
R
，内切圆半径为
r
，外心与内心的距离为
d
，则
d
2
=
R
2
－
2
Rr
．

22
．

锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和．

23
．

重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成
2
：
1
的两部分；
G
(
x
A

x
B

x
C
,
y
A

y
B

y
C
)

3
3
重心性质：
（
1
）设
G
为
△
ABC
的重心，连结
AG< br>并延长交
BC
于
D
，则
D
为
BC
的 中点，则
AG
:
GD

2
:
1
；


（
2
）设
G
为
△
ABC
的重心 ，则
S

ABG

S

BCG

S

ACG

1
3
S

ABC
；

（
3
）设
G
为
△
ABC
的重心 ，过
G
作
DE
∥
BC
交
AB
于
D
，交
AC
于
E
，过
G
作
PF
∥< br>AC
交
AB
于
P
，交
BC
于
F，过
G
作
HK
∥
AB
交
AC
于
K
，交
BC
于
H
，则
（
4
）设
G
为
△
ABC
的重心，则

①
BC
②GA
③
PA
2
DE
BC

FP
CA< br>
KH
AB

2
DE
FP
KH
;< br>


2
；

3
BC
CA
AB

3
GA

GB
2
2

CA

3
GB
2
2
2

AB
2
2

3
GC
；

2
2
2
GC

1
3
(
AB
2

BC
2

CA
)
；

2
2
2

PB
2

PC
2

GA

GB

GC
；


3
PG
（
P
为△
ABC
内任意一点）
2
2
④到三角形三顶点距离的平方和最小 的点是重心，即
GA

GB
2

GC
2
最 小；


⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一 ，则
G
为
△
ABC
的重心）
．

a
x
A

b
x
B

c
x
C
,
a
cos
A
y
A

b
y
B< br>
c
y
C
24
．

垂心：三角形的三条高线 的交点；
H
(
cos
A
cos
B
cos
C
a
b
c


cos
A
cos
B< br>cos
C
cos
B
cos
C
a
b
c


cos
A
cos
B
cos
C
)

垂心性质：
（
1
）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对 边的距离的
2
倍；

（
2
）垂心
H
关于< br>△
ABC
的三边的对称点，均在
△
ABC
的外接圆上；

（
3
）
△
ABC
的垂心为
H
，则△
ABC
，
△
ABH
，
△
BCH
，< br>△
ACH
的外接圆是等圆；

（
4
）设
O< br>，
H
分别为
△
ABC
的外心和垂心，则

B AO


HAC
,

CBO


ABH
,

BCO


HCA
．

25
．

内心：三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；





I
(
ax
A

bx
B

cx
C
a

b

c
,ay
A

by
B

cy
C
a

b

c
)

内心性质：
（
1
） 设
I
为
△
ABC
的内心，则
I
到
△
ABC
三边的距离相等，反之亦然；



（
2
）设
I
为
△
ABC
的内心，则

BIC

90


1
2

A
,

AIC

90


1
2

B
,< br>
AIB

90


1
2

C
；

（
3
）
三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另 两顶点的距离与到内心的距离相等；
反之，
若

A
平分线交
△
ABC
外接圆于点
K
，
I
为线段
AK
上 的点且满足
KI=KB
，则
I
为
△
ABC
的内心；

（
4
）设
I
为
△
ABC
的内心 ，
BC

a
,
AC

b
,
AB< br>
c
,


A
平分线交
BC
于D
，交
△
ABC
外接圆于点
K
，则
AI
ID

AK
KI

IK
KD

b

c
a
；

（
5
）设
I
为△
ABC
的内心，
BC

a
,
AC

b
,
AB

c
,
I
在
BC
,
AC
,
AB
上的射影分别为
D
,
E
,
F
，内切圆半径为
r
，
令
p

(
a

b

c
)
，则①
S

ABC

pr
；②
AE

AF

p
< br>a
;
BD

BF

p

b
;
CE

CD

p

c
；③
2< br>abcr

p

AI

BI

CI
．

sin
2
Ax
A

sin
2
Bx
B

sin
2
Cx
C
sin
2
A

sin
2
B

sin
2
C
sin
2
Ay

sin
2
By
B

sin
2
Cy
C
1
26
．

外心：三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等；

O
(
,
A
sin
2
A

sin
2
B

sin
2
C
)

外心性质：
（
1
）外心到三角形各顶点距离相等；

（2
）设
O
为
△
ABC
的外心，则

B OC

2

A
或

BOC

36 0


2

A
；

（
3
）
R

abc
；
（
4
）锐角三角形的外心到三边的 距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和．

4
S

27
．

旁心：一内
角平分线与两外
角平分线
交点—
—旁切圆
圆心；设
△
ABC的三
边
BC

a
,
AC

b
,
AB

c
,
令
p

1
2
(
a

b

c
)
，分别与
BC
,
AC
,
AB
外侧相切的旁切圆圆心记为
I
A
,< br>I
B
,
I
C
，其半径分别记为
r
A
,
r
B
,
r
C
．

1
2

A
,

BI
B
C


BIC
C

1
2
；


A
,（对于顶角
B
，
C
也有类似的式子）
旁心性质：
（1
）

BI
A
C

90


（
2
）

I
A
I
B
I
C

（
3
）设
AI
1
2
(

A


C
)
；

；


DB

DC
（对于
BI
B
,
CI
C有同样的结论）
A
的连线交
△
ABC
的外接圆于
D，则
DI
A
（
4
）
△
ABC
是
△
I
A
I
B
I
C
的垂足三角形，且
△< br>I
A
I
B
I
C
的外接圆半径
R
'< br>等于
△
ABC
的直径为
2
R
．

28
．

三角形面积公式：
S

ABC

1
2
ah
a

1
2
ab
sin< br>C

abc
4
R

2
R
sinA
sin
B
sin
C

2
a
2

b
2

c
2

4
(cot
A

cot
B

cot
C
)
1
2< br>
pr

其中
h
a
表示
BC
边上的 高，
R
为外接圆半径，
r
为内切圆半径，
p

p< br>(
p

a
)(
p

b
)(
p

c
)
，

(
a

b

c
)
．
29
．

三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系：

r

4
R
sin

r

a
tan
A
2
r
B
2
sin
B
2
C
2
sin
C
2
;
r
a

4R
sin
r
tan
A
2
tan
C
2< br>A
2
cos
B
2
cos
r
C
2,
r
b

4
R
cos
;
1
r
a

1
r
b

A
2
sin

B
2
cos
C
2
,
r
c
< br>4
R
cos
A
2
cos
B
2
sin
C
2
;
,
r
b

,
r
c

tan
1
r
c
tan
A
2
ta n
B
2
1

.
r
30
．

梅涅劳斯（
Menelaus
）定理：设
△
ABC
的三边
BC
、
CA
、
AB
或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交 点分
别为
P
、
Q
、
R
则有

BP
PC

CQ
QA

AR
RB

1
．
（逆定理也成立）



31
．
梅涅劳斯定理的应用定理
1
：设
△
ABC
的∠
A
的外角平分线交边
CA
于
Q
，∠
C
的平分线交边
AB
于
R
，∠
B
的平分线
交边
CA
于Q
，则
P
、
Q
、
R
三点共线．

32
．

梅涅劳斯定理的应用定理
2
：过任意
△< br>ABC
的三个顶点
A
、
B
、
C
作它的外接圆 的切线，分别和
BC
、
CA
、
AB
的延
长线交于点
P
、
Q
、
R
，则
P
、
Q
、
R
三点共线．

33
．

塞瓦
(
Ceva
)
定理：设
X
、
Y
、
Z
分别为 △
ABC
的边
BC
、
CA
、
AB
上的一点 ，则
AX
、
BY
、
CZ
所在直线交于一点的充
AZ
BX
CY
要条件是
·
·
=1
．

ZB
XC
Y
A
34
．

塞瓦定理的应用定 理：设平行于
△
ABC
的边
BC
的直线与两边
AB
、
AC
的交点分别是
D
、
E
，又设
BE
和
CD
交于
S
，
则
AS
一定过边
BC
的中点
M
．

35
．

塞瓦定理的逆定理：
（略）

36
．

塞瓦定理的 逆定理的应用定理
1
：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条 角分线
交于一点．

37
．

塞瓦定理的逆定理的应用定理
2
：设
△
ABC
的内切圆和边
BC
、
CA
、
AB
分别相切于点
R
、
S
、
T
，则
AR
、
BS
、
CT
交
于一点．


38
．

西摩松（
Simson
）定理：从△
ABC
的外接圆上任意一点
P
向三边
BC
、
CA
、
AB
或其延长线作垂线，设其垂足分别
是
D
、
E
、
R
，则
D
、
E
、
R
共线，
（这条直线叫西摩松线
Simson line
）
．

39
．

西摩松定理的逆定理：
（略）

40
．

关于西摩松线的定理
1
：
△
AB C
的外接圆的两个端点
P
、
Q
关于该三角形的西摩松线互相垂直，其 交点在九点圆上．

41
．

关于西摩松线的定理
2
（安宁定理）
：在一个圆周上有
4
点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于 该三角
形的西摩松线，这些西摩松线交于一点．

42
．

史坦纳定理：
设
△
ABC
的垂心为
H
，
其外接圆的 任意点
P
，
这时关于
△
ABC
的点
P
的西 摩松线通过线段
PH
的中心．

43
．

史坦纳定 理的应用定理：
△
ABC
的外接圆上的一点
P
的关于边
BC
、
CA
、
AB
的对称点和
△
ABC
的垂心
H
同在一条
（与西摩松线平行的）直线上．这条直线被叫做点
P
关于
△
ABC
的镜象线．

44
．

牛顿定理
1
：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线．这条直线 叫做这个
四边形的牛顿线．



45
．

牛顿定理
2
：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线．

46
．

笛沙格定理
1
：平面上有两个三角形
△< br>ABC
、
△
DEF
，设它们的对应顶点（
A
和
D
、
B
和
E
、
C
和
F
）的连线 交于一
点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．

47
．

笛沙格定理
2
：相异平面上有两个三角形
△
ABC
、
△
DEF
，设它们的对应顶点（
A
和< br>D
、
B
和
E
、
C
和
F
）的 连线交
于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．

48
．

波朗杰、腾下定理：设
△
ABC
的外接圆 上的三点为
P
、
Q
、
R
，则
P
、
Q
、
R
关于
△
ABC
交于一点的充要条件是：弧
A P
+
弧
BQ
+
弧
CR
=0(mod2
< br>)
．


49
．

波朗杰、腾下定理推论
1
：设
P
、
Q
、
R
为
△
ABC
的外接圆上的三点，若
P
、
Q
、
R
关于△
ABC
的西摩松线交于一点，
则
A
、
B
、< br>C
三点关于
△
PQR
的的西摩松线交于与前相同的一点．

50
．

波朗杰、腾下定理推论
2
：在推论
1中，三条西摩松线的交点是
A
、
B
、
C
、
P< br>、
Q
、
R
六点任取三点所作的三角形的
垂心和其余三点所作的 三角形的垂心的连线段的中点．

51
．

波朗杰、腾下定理推论< br>3
：考查
△
ABC
的外接圆上的一点
P
的关于
△
ABC
的西摩松线，如设
QR
为垂直于这条西摩
松线该外接圆的 弦，则三点
P
、
Q
、
R
的关于
△
ABC< br>的西摩松线交于一点．

52
．

波朗杰、腾下定理推论4
：从
△
ABC
的顶点向边
BC
、
CA
、
AB
引垂线，设垂足分别是
D
、
E
、
F
，且设边
BC
、
CA
、
AB
的中点分别是
L、
M
、
N
，则
D
、
E
、
F< br>、
L
、
M
、
N
六点在同一个圆上，这时
L< br>、
M
、
N
点关于关于
△
ABC
的西摩
松线交于一点．




53
．

卡诺 定理：
通过
△
ABC
的外接圆的一点
P
，
引与△
ABC
的三边
BC
、
CA
、
AB
分 别成同向的等角的直线
PD
、
PE
、
PF
，
与三边 的交点分别是
D
、
E
、
F
，则
D
、
E
、
F
三点共线．

54
．

奥倍尔定 理：通过
△
ABC
的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与
△
A BC
的外接圆的交点分别是
L
、
M
、
N
，在
△
ABC
的外接圆上取一点
P
，则
PL
、
PM< br>、
PN
与
△
ABC
的三边
BC
、
C A
、
AB
或其延长线的交点分别是
D
、
E
、
F
，
则
D
、
E
、
F
三点共线．

55
．

清宫定理：设
P
、
Q
为
△
ABC
的外接圆的异于
A
、
B
、
C
的两 点，
P
点的关于三边
BC
、
CA
、
AB
的 对称点分别是
U
、
V
、
W
，这时，
QU
、
QV
、
QW
和边
BC
、
CA
、
A B
或其延长线的交点分别是
D
、
E
、
F
，则
D
、
E
、
F
三点共线．

56
．

他拿定理：设
P
、
Q
为关于△
ABC
的外接圆的一对反点，点
P
的关于三边
BC
、
CA
、
AB
的对称点分别是
U
、
V
、W
，
这时，如果
QU
、
QV
、
QW
和 边
BC
、
CA
、
AB
或其延长线的交点分别是
D< br>、
E
、
F
，则
D
、
E
、
F
三点共线．
（反点：
P
、
Q
分别为圆
O
的 半径
OC
和其延长线的两点，如果
OC
2
=
OQ
×
OP

则称
P
、
Q
两点关于圆
O
互为反点）

57
．

朗古来定理：在同一圆周上有
A
1
、B
1
、
C
1
、
D
1
四点，以其中任三 点作三角形，在圆周取一点
P
，作
P
点的关于这
4
个三角形 的西摩松线，再从
P
向这
4
条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上．


58
．

从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处 的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心．

59
．

一个圆周上有
n
个点，从其中任意
n
－
1
个点的重 心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点．

60
．
康托尔定理
1
：一个圆周上有
n
个点，从其中任意
n
－
2
个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点．

61
．

康托尔定理
2
：
一个圆周上有
A
、
B
、< br>C
、
D
四点及
M
、
N
两点，
则M
和
N
点关于四个三角形
△
BCD
、
△
CDA
、
△
DAB
、
△
ABC
中的每一个的两条 西摩松线的交点在同一直线上．这条直线叫做
M
、
N
两点关于四边形
ABCD
的康托尔线．

62
．

康托尔定理
3< br>：一个圆周上有
A
、
B
、
C
、
D
四 点及
M
、
N
、
L
三点，则
M
、
N
两点的关于四边形
ABCD
的康托尔线、
L
、
N
两 点的关于四边形
ABCD
的康托尔线、
M
、
L
两点的关于四 边形
ABCD
的康托尔线交于一点．这个点叫做
M
、
N
、< br>L
三点关于四边形
ABCD
的康托尔点．

63
．

康托尔定理
4
：一个圆周上有
A
、
B
、
C
、
D
、
E
五点及
M、
N
、
L
三点，则
M
、
N
、
L
三点关于四边形
BCDE
、
CDEA
、
DEAB
、
EABC
中的每一个康托尔点在一条直线上．这条直线叫做
M
、
N
、
L
三点关于五边形
A
、
B
、
C
、
D
、
E
的康
托尔线．

64
．

费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切．



65
．

莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相 得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一
个正三角形．这个三角形常被称作莫利正三角形．

66
．

布利安松定理：连结外切于圆的六边形
ABCDEF
相对的顶点
A
和
D
、
B
和
E
、
C
和
F
，则这三线共点．

67
．

帕斯 卡（
Paskal
）定理：圆内接六边形
ABCDEF
相对的边
AB
和
DE
、
BC
和
EF
、
CD
和< br>F
A
的（或延长线的）交点
共线．

68
．

阿波罗尼斯（
Apollonius
）定理：到两定点
A
、
B
的距离之比为定比
m
：
n
（值不为
1
）的点P
，位于将线段
AB
分成
m
：
n
的内分点C
和外分点
D
为直径两端点的定圆周上．这个圆称为阿波罗尼斯圆．

69
．

库立奇
*
大上定理：
（圆内接四边形的九 点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心
都在同一圆周上，我们把过这 四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆．

70
．

密格尔（
Miquel
）点：

若
AE
、
AF
、
ED
、
FB
四条直线相交于
A
、
B
、
C
、
D
、
E
、
F
六点，构成四 个三角形，它们是
△
ABF
、△
AED
、△
BCE
、△
DCF
，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点．

71
．

葛尔刚（
Gergonne
）点：△
AB C
的内切圆分别切边
AB
、
BC
、
CA
于点
D
、
E
、
F
，则
AE
、
BF
、
CD
三线共点，这个
点称为葛尔刚点．


72
．

欧拉关于垂足三角形的面积公式：
O
是三角形的外 心，
M
是三角形中的任意一点，过
M
向三边作垂线，三个垂足
2形成的三角形的面积，其公式：

S

D
EF

|
R

d
2
2
|
．

S

ABC
4
R



斯特瓦尔特定理




斯特瓦尔
特
(stewart)
定理



设已知△
ABC
及其底边上
B
、
C
两点间的一点
D
，则有



AB^2·
DC+AC^2·
BD- AD^2·
BC
＝
BC·
DC·
BD
。



证明：在图
2
－
6
中，作
AH
⊥
BC
于
H
。为了明
确起见，设
H
和
C
在 点
D
的同侧，那么由
广勾股定理有



AC^2 =AD^2
＋
DC^2-2DC·
DH
，（
1
）



AB^2=AD^2+BD^2+2BD·
DH
。

（
2
）



用
BD
乘
(1)
式两边得



AC^2·
BD=AD^2·
BD+DC^2·
BD-2DC·
DH·
BD
，（
1
）
′



用
DC
乘
(2)
式两边得



AB^2·
DC=AD^2·
DC
＋
BD^2·
DC
＋2BD·
DH·
DC
。（
2
）
′



由（
1
）
′+
（
2
）
′
得到



AC^2·
BD+AB^2·
DC=AD^2 (BD
＋
DC)+DC^2·
BD
＋
BD^2·
DC


=AD^2·
BC+BD·
DC·
BC
。



∴
AB^2·
DC
＋
AC^2·
BD- AD^2·
BC=BC·
DC·
BD
。



或者根据
余弦定理得



AB^2=PB^2+PA^2-2PB·
PA·
cos
角
APC


AC^2=PA^2+PC^2-2PA·
PC·
cos
角
APC


两边同时
除以
PB·
PA·
PC
得



AC^2·
PB+AB^2·
PC=(PB^2+PA^2)PC+(PA ^2+PA^2)PB


化简即可
（注：图中
2-7A
点为
P
点，
BDC
点依次为
ABC)



托勒密定理

一些
圆
定理
do
c
定理图

定理的内容

托勒密
(Ptolemy)
定理指出，圆的内接凸四边 形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

原文：
圆的内接四边形中，
两对角线所包矩形的面积等于

一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包
矩形的面积之和。

从这个定理可 以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实
质上是关于共圆性的基本性质．





定理的提出



一般几何
教科书中的
“
托勒密定理
”
，实出自依 巴谷
(Hipparchus)
之手，托勒密只是从他的书
中摘出。

证明



一、（以
下是推论的证明，托勒密定理可
视作特殊情况。）




在任意四
边形
ABCD
中，作△
ABE
使∠
BAE=
∠
CAD
∠
ABE=
∠

ACD



因为△
ABE
∽△
ACD



所以

BE/CD=AB/AC,
即
BE·
AC=AB·
CD
(1)



而∠
BAC=
∠
DAE< br>，，∠
ACB=
∠
ADE



所以△
ABC
∽△
AED
相似
.



BC/ED=AC/AD
即
ED·
AC=BC·
AD
(2)



(1)+(2),
得




AC(BE+ED)=AB·
CD+AD·
BC



又因为
BE+ED≥BD



（ 仅在四
边形
ABCD
是某圆的
内接四边形时，等号成立，即
“
托勒密定理
”
）




所以命题
得证




复数证明




用
a
、
b
、
c
、
d
分别表示四边形顶点
A
、
B
、
C
、D
的复数，则
AB
、
CD
、
AD
、
B C
、
AC
、
B
D
的
长度分别是：
(a-b )
、
(c-d)
、
(a-d)
、
(b-c)
、(a-c)
、
(b-d)
。

首先注意到复数恒等式：

(
a

−
b
)(
c

−
d
)
+
(
a

−
d
)(
b

−
c
)
=
(
a

−
c
)(
b

−
d
)
，
两边取模，运用三角不等式得
。

等号成 立
的条件是
(a-b)(c-d)
与
(a-d)(b-c)
的辐角相 等，这与
A
、
B
、
C
、
D
四点共圆
等价。

四点不限于同
一平面。

平
面上，托勒密不等式是三角不等
式的反演形式。






二、设
ABCD
是圆内接四边形。

在弦
BC
上，圆周
角∠
BAC
=
∠
BDC
，而在
AB
上，∠
A
DB
=
∠
ACB
。

在
AC
上取一点
K
，使得∠
ABK
=
∠
CBD
；

因为∠
ABK
+
∠
CBK
=
∠
AB
C
=
∠
CBD
+
∠
ABD
，所以∠
CBK
=
∠
ABD
。

因此△
ABK
与△DBC
相似，同理也有
△
AB
D
~
△
KBC
。

因此
AK/AB
=
CD/BD
，
且
CK/BC
=
DA/BD
；

因此
AK·
BD
=
AB·
CD
，
且
CK·
B
D
=
BC·
DA
；

两式相
加，
得
(AK+CK)·
BD
=
AB·
CD
+
BC·
DA
；

但
AK+CK
=
AC
，
因此
AC·
B
D
=
AB·
CD
+
BC·
DA
。证
毕。




三、




托勒密定< br>理：圆内接四边形中，两条对角线
的乘积
(
两对角线所包矩形
的面积< br>)
等于两组对边
乘积之和
(
一组对边所包矩形的面积与另
一组 对边所包矩形的面积之和
)
．已知：圆内接四边形
A
BCD
，求证：
AC·
BD
＝
AB·
CD
＋
AD·
BC< br>．




证明：如图
1
，过
C< br>作
CP
交
BD
于
P
，使∠
1=
∠< br>2
，又∠
3=
∠
4
，∴△
ACD
∽
△
BCP
．得
A
C
：
BC=AD
：
BP< br>，
AC·
BP=AD·
BC
①
。又∠
ACB=∠
DCP
，∠
5=
∠
6
，∴
△
ACB
∽△
DCP
．得
A
C
：
CD=AB
：DP
，
AC·
DP=AB·
CD
②。①＋②得
AC(BP
＋
DP)=AB·
CD
＋
AD·
BC
．即
AC·
BD=
AB·
CD
＋
AD·
BC．







推论



1.
任意凸四边形
ABCD
，
必有
A C·BD≤AB·CD+AD·BC
，
当且
仅当
ABCD
四点共圆< br>时取等号。




2.
托勒密定理的逆定
理同样成立：一个凸四边形两
对对边乘积的和等于两条对角线
的乘积，
则这个凸四边< br>形内接于一圆、


推广



托勒密不< br>等式：四边形的任两组对边乘积
不小于另外一组对边的乘积，
取等号当且仅当共
圆或共线。




简单的证
明：复数恒等式：
( a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)
，两边取模，




得不等式
AC·BD≤|(a
-b)(c-d)|+|(b-c )(a-d)|=AB·
CD+BC·
AD



注意：






1.
等号成 立的条件是
(a-b)(c-d)
与
(a-d)(b-c)
的辐角相等，这与
A
、
B
、
C
、
D
四点
共圆等价。




2.
四点不限于同一平
面。




欧拉定理
：在一条线段上
AD
上，顺次标有
B
、
C
两点，则
AD·
BC+AB·
CD=AC·
BD


塞瓦定理



简介






塞瓦（
Giovanni
C eva
，
1648
～
1734
）意大利水
利工程师，数学家
。塞瓦定理载于塞瓦于
1678
年发表的《直
线论》一书，也有书中说塞瓦定
理是塞瓦重新发现。


具体内容



塞瓦定理




在△
ABC
内任取一点
O
，




直线
AO
、
BO
、
CO
分别交对边于< br>D
、
E
、
F
，则

(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1



证法简介




（Ⅰ）本
题可利用梅涅劳斯定理证明：




∵△
ADC
被直线
BOE
所截，




∴

(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1
①




而由△
ABD
被直线
COF
所截，∴

(BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1
②




②
÷
①
:
即得：
(BD/DC)*(CE/EA )*(AF/FB)=1



（Ⅱ）也
可以利用面积关系证明




∵
BD/DC=S
△
ABD/S
△
ACD=S
△
BOD/S
△
COD=(S
△
ABD-S
△
BOD)/(S
△
ACD-S
△
COD)=
S
△
AOB/S
△
AOC
③




同理

CE/EA=S
△
BOC/
S
△
AOB
④

AF/FB=S
△
AOC/S
△
BOC
⑤




③
×
④
×
⑤得
BD/DC*CE/EA*AF/FB=1



利用塞瓦
定理证明三角形三条高线必交于
一点
:





设三边
AB
、
BC
、
AC
的垂足分别为
D
、
E
、
F
，




根据塞瓦
定理逆定理，因为
(AD:DB)*(BE:EC)* (CF:FA)=[(CD*ctgA
）
/[(CD*ctgB
）
]*[(A E*ct
gB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(BF*ctgA)]=1
，所以三条高
CD
、
AE
、
BF
交于一点。




可用塞瓦
定理证明的其他定理
;



三角形三
条中线交于一点（重心）
:
如图
5
D
,
E
分别为
BC
,
AC
中点

所以
BD=DC
AE
=EC
所以
BD/DC=1
CE/EA=1



且因为
AF=BF
所以

AF/FB
必等于
1
所以
AF=FB
所以三
角形三条中线交于一点




此外，可
用定比分点来定义塞瓦定理：




在△
ABC
的三边
BC
、
CA
、
AB
或其延长
线上分别取
L
、
M
、
N
三 点，又分比是
λ=BL/LC
、
μ=CM/MA
、
ν=AN/NB< br>。于是
AL
、
BM
、
CN
三线交于一点的
充 要条件是
λμν=1
。（
注意与梅涅
劳斯定理相区
分，那里是
λμν=
-1
）


塞瓦定理推论



1.
设
E
是
△
ABD
内任意一点，
AE< br>、
BE
、
DE
分别交对边于
C
、
G
、
F
，则
(BD/BC)*(CE/AE)
*(GA/DG)=1



因为
(BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1
， （塞瓦定理）所
以

(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=K
（
K
为未知参数
）且
(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K
（
K
为未知
参数）又由梅涅劳斯定理得
：
(BD/CD)< br>*(CE/AE)*(AF/FB)=1



所以
(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1



2.
塞瓦定理角元形式




AD,BE,CF
交于一点的充分必要
条件是：




(sin
∠
BAD/sin
∠
DAC)*(sin
∠
ACF/sin
∠
FCB)*(sin
∠
CBE/sin
∠
EBA)=1



由正弦定
理及三角形面积公式易证




3.< br>如图，对于圆周上
顺次
6
点
A,B,C,D,E,F
，直线< br>AD,BE,CF
交于一点的
充分必要条件是：




(AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1


由塞瓦定理的
角元形式，正弦定理及圆弦长与
所对圆周角关系易证。




4.
还能利用塞瓦定理
证三角形三条高交于一点




设
三
边
AB
、
BC
、
AC的
垂
足
分
别
为
D
、
E
、F
，
根
据
塞
瓦
定
理
逆
定
理
，
因
为
(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA) =[(CD*ctgA
）
/[(CD*ctgB
）
]*[(AE*ctgB) /(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(AE*ctgB)]=1
，所以三条高
CD
、
AE
、
BF
交
于一点。


梅涅劳斯定理


梅涅劳斯定理证明

梅涅劳斯（
Menelaus
）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果
一条直线与△
ABC
的三边
AB
、
BC
、
CA< br>或其延长线交于
F
、
D
、
E
点，那么
(AF /FB)×
(BD/DC)×
(CE/E
A)=1
。

或： 设
X
、
Y
、
Z
分别在△
ABC
的
BC
、
CA
、
AB
所在直线上，则
X
、
Y
、
Z
共线的充要条件是
(A
Z/ZB)*(BX/XC)*(CY/ YA)=





证明一：



过点
A
作
AG
∥
BC
交
DF< br>的延长线于
G,



则
AF/FB=AG/BD
,
BD/DC=BD/DC
,
CE/EA=DC/AG
。




三式相乘得：
(AF/FB)×
(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×
(B D/DC)×
(DC/AG)=1

证明二：


过点
C
作
CP
∥
DF
交
AB
于
P
，则
BD/DC=FB/PF
，
CE/EA=PF/AF



所以有
AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×
F B/PF×PF/AF=1



它的逆定
理也成立：若有三点< br>F
、
D
、
E
分
别在△
ABC
的边< br>AB
、
BC
、
CA
或其延长线上，
且满足
( AF/FB)×
(BD/DC)×
(CE/EA)=1
，则
F
、D
、
E
三
点共线。利用这个逆定
理，可以判断三点
共线 。







梅涅劳斯
(Menelaus)
定理



证明三：



过
ABC
三点向三
边引垂线
AA'BB'CC'
，




所以
AD
：
DB=AA'
：
BB'
，
BE
：
EC=BB'
：
CC'
，
CF
：
FA=CC'
：
AA'



所以
(AF/FB)×
(BD/DC)×
(CE/EA)=1

证明四：



连接
BF
。




（
AD
：
DB
）
·
（
BE
：
EC
）
·
（
CF:FA)



=
（
S
△
ADF
：
S
△
BDF
）
·
（
S
△
BEF
：
S
△
CEF
）
·
（
S
△
BCF
：
S
△
BAF
）




=
（
S
△
ADF
：
S
△
BDF
）
·
（
S
△
BDF
：
S
△
CDF
）
·
（
S
△
CDF
：
S
△
ADF
）< br>



=1



此外，用
定比分点定义该定理可使其容易
理解和记忆：




在△
ABC
的三边
BC
、
CA
、
AB
或其延长
线上分别取
L
、
M
、
N
三 点，又分比是
λ=BL/LC
、
μ=CM/MA
、
ν=AN/NB< br>。于是
L
、
M
、
N
三点共线的充要条件是
λ μν=1
。





第一角元
形式的梅涅劳斯定理



如图：若
E
，
F
，
D
三点共线，则




(sin
∠
ACF/sin
∠
FC B)(sin
∠
BAD/sin
∠
DAC)(sin
∠
CB A/sin
∠
ABE)=1



即图中的
蓝角正弦值之积等于红角正弦值
之积




该形式的
梅涅劳斯定理也很实用




第二角元
形式的梅涅劳斯定理




在平面上< br>任取一点
O
，且
EDF
共线，
则（
sin
∠
AOF/sin
∠
FOB)(sin
∠
BOD/sin
∠< br>DOC)(sin
∠
COA/sin
∠
AOE)=1
。
(O
不与点
A
、
B
、
C
重合
)

记忆



ABC
为三
个顶点，
DEF
为三个分
点




(AF/FB)×
(BD/DC)×
(CE/EA)=1



（顶到分
/
分到顶）
*
（顶到分< br>/
分到顶）
*
（顶到分
/
分到顶）
=1



空间感好
的人可以这么记：（上
1/
下
1）
*
（整
/
右）
*
（下
2/
上
2
）
=1








实际应用



为了说明
问题，并给大家一个深 刻印象，我们假定
图中的
A
、
B
、
C
、
D
、
E
、
F
是六个旅游
景点，各景点
之间有公路相连 。我们乘直升机
飞到这些景点的上空，然后选
择其中的任意一个
景点降落。我
们换乘汽车沿公路去每一个景点
游玩，最后回到出发点，直升
机就停在那里等待
我们回 去。




我们不必
考虑怎样走路程最短，只要求必须
“
游历
”
了所有的景
点。只
“
路过
”
而不停
留观赏的
景点，不能算
是
“
游历
”
。




例如直升
机降落在
A
点，我 们从
A
点出发，
“
游
历
”
了其它五个字母所代表的景点后，最终
还要回到出发点
A
。




另外还有
一个要求，就是同一直线上的三
个景点，必须连续游过之后，
才能变 更到其它直
线上的景点。




从
A
点出发的旅游方案共有四
种，下面逐一说明：




方案

①

——
从
A
经过
B
（不停留）到
F
（停留）
，再返回
B
（< br>停留），再到
D
（停
留），
之后经过
B
（不停
留）到
C
（停留），再到
E
（停留），最后从
E
经过C
（不停
留）回到出发点
A
。




按照这个
方案，可以写出关系式：




（AF
：
FB
）
*
（
BD
：
DC
）
*
（
CE
：
EA
）
=1
。




现在，您
知道应该怎样写
“
梅涅劳斯
定理
”
的公式了吧。




从
A
点出发的旅游方案还有：




方案

②

——
可以简记为：
A→B→F→D→E →C→A
，由此可
写出以下公式：




（AB
：
BF
）
*
（
FD
：
DE
）
*
（
EC
：
CA
）
=1
。从
A
出
发还可以向
“C”
方向走，于是有：




方案

③

——

A→C→E→D→F→B→A
，由此可写出公式：




（
AC
：
CE
）
*
（
ED
：DF
）
*
（
FB
：
BA
）
=1
。

从
A
出发还有最后一个方案：




方案

④

——

A→E→C→D→B→F→A
，由此写出公式：



< br>（
AE
：
EC
）
*
（
CD
：
DB
）
*
（
BF
：
FA
）
=1
。




我们的直
升机还可以选择在
B
、
C
、
D
、
E
、
F
任一点降落
，
因此就有了图中的另外
一些公式。

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