大学高等数学定理公式
余年寄山水
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2021年01月29日 14:31
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学年计划-我得到了关心
第一章
函数与极限
1
、
函数的有界性在定义域内有
f(x)
≥
K1
则函数
f(x )
在定义域上有下界，
K1
为下界；
如
果有
f(x)
≤
K2
，则有上界，
K2
称为上界。函数
f(x)
在定义 域内有界的充分必要条件是在定
义域内既有上界又有下界。
2
、数列的极限定理
(
极限的唯一性
)
数列
{xn }
不能同时收敛于两个不同的极限。
定理
(
收敛数列的有界性
)
如果数列
{xn}
收敛，那么数列
{ xn}
一定有界。
如果数列
{xn}无界，
那么数列
{xn}
一定发散；
但如果数列
{xn}
有界，
却不能断定数列
{xn}
一定收敛，例如数列
1
，
-1
，
1
，
-1
，
(-1)n+1
…该数列有界但 是发散，所以数列有界是数列收
敛的必要条件而不是充分条件。
定理
(
收敛数列与其子数列的关系
)
如果数列
{ xn}
收敛于
a
，那么它的任一子数列也收敛
于
a.
如果数 列
{xn}
有两个子数列收敛于不同的极限，
那么数列
{xn}
是发 散的，
如数列
1
，
-1
，
1
，
-1
，
(-1)n+1
…中子数列
{x2k-1}
收敛于
1
，
{xnk}
收敛于
-1
，
{xn}
却是发散的；同时一个发
散的数列的子数列也有可能是收敛的。
3
、函数的极限函数极限的定义中
0<|x-x0|
表示
x
≠
x0，所以
x
→
x0
时
f(x)
有没有极限与
f( x)
在点
x0
有没有定义无关。
定理
(
极限的局部保号性
)
如果
lim(x
→
x0 )
时
f(x)=A
，而且
A>0(
或
A<0)
，就 存在着点那
么
x0
的某一去心邻域，当
x
在该邻域内时就有
f(x)>0(
或
f(x)>0)
，反之也成立。
函数
f(x)
当
x
→
x0
时极限存在的 充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即
f(x0-0)=f(x0+0)
，若不相 等则
limf(x)
不存在。
一般的说， 如果
lim(x
→∞
)f(x)=c
，则直线
y=c
是函数
y=f(x)
的图形水平渐近线。如果
lim(x
→
x0)f(x) =
∞，则直线
x=x0
是函数
y=f(x)
图形的铅直渐近线。
4
、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小； 有界函数与无穷小的乘积是无穷
小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定 理如果
F1(x)
≥
F2(x)
，而
limF1(x)=a
，
limF2(x)=b
，那么
a
≥
b.
5
、极限存在准则两个重要极限
lim(x
→
0)(si nx/x)=1
；
lim(x
→∞
)(1+1/x)x=1.
夹逼准 则如
果数列
{xn}
、
{yn}
、
{zn}
满足下 列条件：
yn
≤
xn
≤
zn
且
limyn=a，
limzn=a
，那么
limxn=a
，
对于函数该准则也成 立。
单调有界数列必有极限。
6
、函数的连续性设函数
y=f(x)
在点
x 0
的某一邻域内有定义，如果函数
f(x)
当
x
→
x0时
的极限存在，
且等于它在点
x0
处的函数值
f(x0)
，
即
lim(x
→
x0)f(x)=f(x0)
，
那么就 称函数
f(x)
在点
x0
处连续。
不连续情形：
1
、
在点
x=x0
没有定义；
2、
虽在
x=x0
有定义但
lim(x
→
x0)f(x)
不存在；
3
、
虽在
x=x0
有定义且
lim(x< br>→
x0)f(x)
存在，但
lim(x
→
x0)f(x)≠
f(x0)
时则称函数在
x0
处不连续
或间断。
如果
x0
是函数
f(x)
的间断点 ，但左极限及右极限都存在，则称
x0
为函数
f(x)
的第一类
间断 点
(
左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点
)
。非第一类间 断点的任何
间断点都称为第二类间断点
(
无穷间断点和震荡间断点
)
。
定理有限个在某点连续的函数的和、积、商
(< br>分母不为
0)
是个在该点连续的函数。
定理如果函数
f(x)
在区间
Ix
上单调增加或减少且连续，
那 么它的反函数
x=f(y)
在对应的
区间
Iy={y|y=f(x)
，
x
∈
Ix}
上单调增加或减少且连续。反三角函数在他们的定义域内都是连
续的。
定理
(
最大值最小值定理
)
在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值。
如
果函数在开区 间内连续或函数在闭区间上有间断点，
那么函数在该区间上就不一定有最大值
和最小值。
定理
(
有界性定理
)
在闭区间 上连续的函数一定在该区间上有界，
即
m
≤
f(x)
≤
M.
定理
(
零
点定理
)
设函数
f(x)
在闭区 间
[a
，
b]
上连续，且
f(a)
与
f(b)异号
(
即
f(a)
×
f(b)<0)
，那么在开区间
(a
，
b)
内至少有函数
f(x)
的一个零点，即至 少有一点
ξ
(a<
ξ
。
推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值
M
与最 小值
m
之间的任何值。
第二章
导数与微分
1
、导数存在的充分必要条件 函数
f(x)
在点
x0
处可导的充分必要条件是在点
x0
处 的左
极限
lim(h
→
-0)[f(x0+h)-f(x0)]/h
及右极限
lim(h
→
+0)[f(x0+h)-f(x0)]/h
都存在且 相等，即左导
数
f-
′
(x0)
右导数
f+
′(x0)
存在相等。
2
、函数
f(x)
在点
x0
处可导
=>
函数在该点处连续；函数
f(x)在点
x0
处连续≠
>
在该点可
导。即函数在某点连续是函数在该 点可导的必要条件而不是充分条件。
3
、原函数可导则反函数也可导，且反函数的导数是原函数导数的倒数。
4
、函数
f(x)
在点
x0
处可微< br>=>
函数在该点处可导；函数
f(x)
在点
x0
处可微的充分 必要
条件是函数在该点处可导。
第三章
中值定理与导数的应用
1
、定理
(
罗尔定理
)
如果函数
f(x)
在闭区间
[a
，< br>b]
上连续，在开区间
(a
，
b)
内可导，且在
区间 端点的函数值相等，即
f(a)=f(b)
，那么在开区间
(a
，
b )
内至少有一点
ξ
(a<
ξ
，使的
函数
f
（
x
）在该点的导数等于零：
f
’
（
ξ
）
= 0.
2
、定理(
拉格朗日中值定理
)
如果函数
f(x)
在闭区间
[a
，
b]
上连续，在开区间
(a
，
b)
内可
导，那么在开区间
(a
，
b)
内至少有一点
ξ
(a<
ξ
，使的等式
f
（
b
）
-f（
a
）
= f
’
（
ξ
）
（
b -a
）
成立即
f
’
（
ξ
）
= [f
（
b
）
-f
（
a
）
]/
（
b- a
）
。
3
、定理(
柯西中值定理
)
如果函数
f(x)
及
F(x)
在闭区间
[a
，
b]
上连续，在开区间
(a
，
b )
内
可导，且
F
’
(x)
在
(a
，
b)
内的每一点处均不为零，那么在开区间
(a
，
b)
内至少有一 点
ξ
，使
的等式
[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f’
(
ξ
)/F
’
(
ξ
)
成立。
4
、洛必达法则应用条件只能用与未定型诸如
0 /0
、∞
/
∞、
0
×∞、∞
-
∞、
00< br>、
1
∞、∞
0
等形式。
5
、函数单调性的判定法设函数
f(x)
在闭区间
[a< br>，
b]
上连续，在开区间
(a
，
b)
内可导，那么：
(1)
如果在
(a
，
b)
内
f
’
(x)>0
，那么函数
f(x)
在
[a
，
b]上单调增加；
(2)
如果在
(a
，
b)
内
f< br>’
(x)<0
，那么函数
f(x)
在
[a
，
b]
上单调减少。
如果函数在定义区间上连续，< br>除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，
那么只要
用方程
f
’< br>(x)=0
的根及
f
’
(x)
不存在的点来划分函数
f(x)
的定义区间，就能保证
f
’
(x)
在各
个部分区间 内保持固定符号，因而函数
f(x)
在每个部分区间上单调。
6
、函数的极值如果函数
f(x)
在区间
(a
，
b)
内有定义，
x0
是
(a
，
b)
内的一 个点，如果存在
着点
x0
的一个去心邻域，
对于这去心邻域内的任何点
x
，
f(x)f(x0)
均成立，
就称
f(x0)
是函数
f(x)
的一个极小值。
在函数取得极值 处，
曲线上的切线是水平的，
但曲线上有水平曲线的地方，
函数不一定
取得极 值，即可导函数的极值点必定是它的驻点
(
导数为
0
的点
)
，但函数的驻点却不一定是
极值点。
定理
(
函数取得极值的必要条件
)
设函数
f(x)
在
x0
处可导，且在
x0
处取得极值，那么函
数在
x0
的导数为零，即< br>f
’
(x0)=0.
定理
(
函数取得极值的第一种充分条件< br>)
设函数
f(x)
在
x0
一个邻域内可导，且
f’
(x0)=0
，那么：
(1)
如果当
x
取
x 0
左侧临近的值时，
f
’
(x)
恒为正；
当
x去
x0
右侧临近的值时，
f
’
(x)
恒为负，那么函数
f(x)
在
x0
处取得极大值；
(2)
如果当
x< br>取
x0
左侧临近的值时，
f
’
(x)
恒为负；当x
去
x0
右侧临近的值时，
f
’
(x)
恒为正 ，那么函数
f(x)
在
x0
处取得极小值；
(3)
如果当< br>x
取
x0
左右两侧临近的值时，
f
’
(x)
恒为正或恒为负，
那么函数
f(x)
在
x0
处没有极值。