高数中的重要定理与公式及其证明(一)
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2021年01月29日 14:32
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在这里，没有考不上的研究生。
高数中的重要定理与公式及其证明（一）
考研数学中最让考生头疼的当属 证明题，
而征服证明题的第一关就是教材上
种类繁多的定理证明。
如果本着严谨的对待 数学的态度，
一切定理的推导过程都
是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时 候要求没有那么高。
而有些定理的证明又过于复杂，
硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费 时又
费力，最后还弄得自己一头雾水。因此，在这方面可以有所取舍。
现将高数中需 要掌握证明过程的公式定理总结如下。
这些证明过程，
或是直接的
考点，
或是 蕴含了重要的解题思想方法，
在复习的初期，
先掌握这些证明过程是
必要的。
1
）常用的极限
ln(1
x
)
1
cos
x
1
e
x
1
a
x
1
(1
x
)
a
1
lim
1
，
lim
ln
a
，
lim
a
，
lim
1
，
lim
x
0
x
0
x
0
x
0
x
0
x
x
x
x
x
2
2
【点评】
：这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉 不过了，但有没有人想
1
x
x
)
e
与
过它们的由来呢？事实上，这几个公式都是两个重要极限
lim(1
x
0
sin
x
1
的推论，
它们的推导过程中也蕴含了计 算极限中一些很基本的方法技
x
0
x
巧。
证明：
lim
1
ln(1
x
)
ln(1
x
)
lim
1
：由极限
l im(1
x
)
x
e
两边同时取对数即得
lim
1
。
x
0
x
< br>0
x
0
x
x
ln(1
x
)
e
x
1
lim
1
：在 等式
lim
1
中，令
ln(1
x
)< br>
t
，则
x
e
t
1
。 由于极限
x
0
x
0
x
x
过程 是
x
0
，此时也有
t
0
，因此有lim
t
0
t
1
。极限的值与取极限的符 号
e
t
1
e
x
1
1
。
是无关的，因此我们可以吧式中的
t
换成
x
，再取倒数即得
lim
x
0
x
a
x< br>
1
a
x
1
e
x
ln
a
1
lim
ln
a
：
lim
利用对数恒等式得
lim
，
再利用第二个极限可
x
0
x
0
x
0
x
x
x
e
x
ln
a
1
e
x
ln
a< br>
1
a
x
1
ln
a
l im
ln
a
。因此有
lim
ln
a< br>。
得
lim
x
0
x
0
x
ln
a
x
0
x
x
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