竞赛常用定理--数学
别妄想泡我
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2021年01月29日 14:33
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几何篇
梅涅劳斯定理：当直线交三角形
ABC
三边所在直线
BC
、
AC
、
A
于点
D
、
E
、
F
时，
（
AF/FB
）×（
BD/DC
）×（
CE/EA
）
=1
以及逆定理：在三角形
ABC
三边所在直线上有三点
D
、
E
、
F
，且（
AF/FB
）×（< br>BD/DC
）×（
CE/EA
）
=1
，那么
D
、
E
、
F
三点共线。
角元形式梅捏劳斯定理：
（
sin
∠
BAD/sin∠
DAC
）×
(sin
∠
ACF/sin
∠
F CB)
×
(sin
∠
CBE/sin
∠
EBA)=1
塞瓦定理：指在
△
ABC
内任取一点
O
，直线
AO
、
BO
、
CO
分别交对边于
D
、
E
、
F
，则
(BD/DC)×
(CE/EA)×
(AF/FB)=1
。
角元塞瓦定理：
AD,BE,CF
交于一点的充分必要条件是：
(sin
∠
BAD/sin
∠< br>DAC)*(sin
∠
ACF/sin
∠
FCB)*(sin
∠
CBE/sin
∠
EBA)=1
逆定理：在△ABC
的边
BC
，
CA
，
AB
上分别取点D
，
E
，
F
，
如果
(AF/FB) (BD/DC)(CE/EA)=1
那么直线
AD
，
BE
，
CF
相交于同一点。
”
正弦定理：在△
ABC
中，角
A
、
B
、
C
所对的边 长分别为
a
、
b
、
c
，三角形外接圆的半
径为R
。则有：
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
余弦定理：
，在
△
ABC
中，余弦定理可表示为：
c²
=a²
+b²
-2ab cosC
a²
=b²
+c²
-2bc cosA
b²
=a²
+c²
-2ac cosB
托勒密定理：指圆内接凸四边形两对对边乘积的和等
于两条对角线的乘积。
三弦定理：
由圆上一点引出三条弦
,
中间一弦与最大角
正弦的积等于 其余每条弦与不相邻角正弦的积之和。用图表述；圆上一点
A,
引出三条弦
AB(左
)
、
AC(
右
)
、及中间弦
AD,BC与
AD
交于
P,
根据《三弦定理》
,
有以下关系
,
ABsin
∠
CAP +ACsin
∠
BAP= ADsin
∠
BAC
。
西姆松定理：过三角形外接圆上 异于三角形顶点的
任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。
（此线常称为西
姆松线）< br>
斯特瓦尔特定理设已知
△
ABC
及其底边上
B
、
C
两
点间的一点
D
，则有
AB²
·
DC+AC²
·
BD- AD²
·
BC=BC·
DC·
BD
。
张角定理：在
△
ABC
中，
D
是
BC
上的一点，连结
AD
。那么
sin
∠
BAD/AC+sin
∠
CAD/AB=sin
∠
BAC /AD
。
逆定理：
如果
sin
∠
BA D/AC+sin
∠
CAD/AB=sin
∠
BAC/AD
，那么< br>B,D,C
三点共线。
蝴蝶定理：设
M
为圆内弦
PQ
的中点，过
M
作弦
AB
和
CD
。设
AD
和
BC
各相交
PQ
于
点< br>X
和
Y
，则
M
是
XY
的中点。
莱莫恩（
Lemoine
）定理内容：过
△
ABC
的三个顶点
A
、
B
、
C
作它的外接圆的切线，分别和BC
、
CA
、
AB
所在直线交于
P
、
Q
、
R
，则
P
、
Q
、
R
三点共线 。直线
PQR
称为
△
ABC
的莱莫恩
线。
笛沙格同调定理：平面上有两个三角形
△
ABC
、
△
DEF
，设它们的对应顶点（
A
和< br>D
、
B
和
E
、
C
和
F
）的 连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。
五心的性质
三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如：
（
1
）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；
（
2
）三角形的外心到三顶点的距离相等；
（
3
）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；
（
4
）三角形的内心、旁心到三边距离相等；
（
5
）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的
垂心；
（
6
）三角形的外心是它的中点三角形的垂心；
（
7
）三角形的重心也是它的中点三角形的重心；
（
8
）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心．
（
9
）三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍
.
下面是更为详细的性质：
垂心
三角形三边上的高的交点称为三角 形的垂心。
三角形垂心有下列有趣的性质：
设
△
ABC
的三条高为< br>AD
、
BE
、
CF
，其中
D
、
E< br>、
F
为垂足
,
垂心为
H
。