第十二届全国“华罗庚金杯”数学邀请赛复赛试题及答案(初一组)
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2021年01月29日 14:38
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号
考
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订
名
姓
∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶
线
校
学
∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶
第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛
复赛试卷（初一组）
（时间
2007
年
4
月
21
日
10
：< br>00
～
11
：
30
）
一、
填空< br>（
每题
10
分，共
80
分
）
1< br>、计算：
17
.
85
6
17
4
3
5
2
13
5
3
。
2
、
“
b
的相反数与
a
的差的一半的平方”的代数表达式为< br>
。
3
、规定符号“
⊕
”为选择两数 中较大者，规定符号“⊙”为选择两数中较小者，
例如：
3
⊕< br>5=5
，
3
⊙
5=3
，则
4
、已知
m
n
5
，
m
2
n
2
13
，那么
m
4
n
4
=
。
5
、 用一些棱长是
1
的小正方体码放成一个立体，从上向下看这个立体，如图
1
，
从正面看这个立体，如图
2
，则这个立体的表面积最多是
。
图
1
（从上向下看）
图
2
（从正面看）
6
、满足不等式
3
|
n
1
|
2
n
2
|
3
n
1
|
的整数
n
的个数是
。
7
、某年级原有学生
280
人， 被分为人数相同的若干个班。新学年时，该年级人
数增加到
585
人，
仍被分 为人数相同的若干个班，
但是多了
6
个班，
则这个年
级原有
个班。
8
、如果锐角三角形的三个内角的度数均为整数，并且最大角是最小 角的
5
倍，
那么这个三角形的最大角的度数是
。
二、
简答下列各题
（
每题
10
分，共
40
分，要求写出简要过程
）
9
、已知
a
，
b
，
c
都是整数，当代数式
7
a
2
b
3
c
的值能被
13
整除时，那么代
数式
5
a
7
b
22
c
的值是否一定能被
13
整 除，为什么？
10
、
如图
3
所示，
在四边形ABCD
中，
AM
MN
ND
，
B E
EF
FC
，四边形
ABEM
，
ME FN
，
NFCD
的
面积分别记为
S
1
，
S
2
和
S
3
，求
S
2
=
？
S
1
S
3
（提示：连接
AE
、
EN
、
NC
和
AC< br>）
11
、
图
4
是一个
9
×
9
的方格图，
由粗线隔为
9
个横竖
各有
3
个格的 “小九宫”格，其中，有一些方格
填有
1
至
9
的数字，小鸣在第九行 的空格中各填
入了一个不大于
9
的正整数，使每行、每列和每
个“小九宫”格 内的数字都不重复，然后小鸣将
第九行的数字从左向右写成一个
9
位数。请写出
这个
9
位数，简单说明理由。
12
、
平面上有
6
个点，
其中任何
3
个点都不在同一条直线上，
以这
6个点为顶点
可以构造多少个不同的三角形？从这些三角形中选出一些，
如果要求其中任何< br>两个三角形没有公共顶点，
最多可以选出多少个三角形？如果要求其中任何两
个三角形没 有公共边，
最多可以选出多少个三角形？
（前两问不要求说明理由）
三、< br>详答下列各题
（
每题
15
分，共
30
分，要求写出详 细过程
）
13
、壮壮、菲菲、路路出生时，他们的妈妈都是
27< br>岁，某天三位妈妈王雪、刘
芳和李薇闲谈时，王雪说：
“菲菲比刘芳小
29岁”
；李薇说：
“路路和刘芳的年
龄的和是
36
岁”
， 刘芳说：
“路路和王雪的年龄的和是
35
岁”
。已知壮壮、菲
菲、< br>路路和他们的妈妈
6
个人年龄的总和是
105
岁。
请回答：< br>谁是路路的妈妈？
壮壮、菲菲和路路的年龄各是多少岁？
14
、请回 答：
能否表示为
3
个互异的正整数的倒数的和？
能否表示为
3
个互
异的完全平方数的倒数的和？如果能，
请给出一个例子；
如果不能，
请 说明理
由。
1
8
1
8
第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛
复赛试题参考答案（初一组）
一、
填空
（每题
10
分，共
80
分）
题号
答案
1
99
8
130
2
b
a
b
a
或
2
2
2
2
3
12
12
13
4
97
5
48
6
5
7
7
8
85
°
二、
简答下列各题
（每题
10
分，共
40
分，要求写出简要 过程）
9
、解：设
x
，
y
，
z
，
t
是整数，并且假设
5
a
7
b
2 2
c
x
(
7
a
2
b
3
c
)
13
(
ya
zb< br>
tc
)
（
1
）
比较上式
a
，
b
，
c
的系数，应当有
7
x
13
y
5
2
x
13
z
7
（
2
）
3
x
13
t
22
取
x
3
，可以得到
y
2< br>，
z
1
，
t
1
，则 有
13
(
2
a
b
c
)
3
(
7
a
2
b
3
c
)
5
a
7
b
22
c
（
3
）
既然
3
(
7
a
2
b
3
c
)
和
13
(
2
a
b
c
)
都能被
13
整除，
5
a
7
b
22
c就能被
13
整除。
【
说明
】
5< br>a
7
b
22
c
表式为均能被
1 3
整除的两个代数式的代数和，表达方
式不唯一，例如：取
x
10
，则有
y
5
，
z
1
，
t
4
，则有
c< br>
1
0
(
7
a
2
b
< br>3
c
)
1
3
(
5
a
< br>b
4
c
)
5
a
7
b
2
2
实际上，
（
2
）是一组二元整系数不定方程，我们先解第一个，得到
x
3
13
k
，
y
2
7
k
，这里
k
是任意整数，
将
x
3
13
k
代入其余方程，解得
z
1
2
k
，
t
1
3
k
，这里
k
是任意整数，
则可以有
5
a
7
b
22
c
(
3
13
k
)(
7
a
2
b
3c
)
13
[(
2
7
k
)
a
(
1
2
k
)
b
(
1
3
k
)
c
]
评分参考
：有类似于（
3
）的代数表达式，给
10
分。