初中平面几何的60个定理
巡山小妖精
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2021年01月29日 14:43
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1
、勾股定理
(
毕达哥拉斯定理
)
小学都应该掌握的重要定理
2
、射影定理
(
欧几里得定理
)
重要
3
、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成
2
：
1
的两部分
重要
4
、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点
学习中位线时的一个常见问题，中考不需要，初中竞赛需要
5
、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是
重合的。
完全没有意义，学习解析几何后显然的结论，不用知道
6
、三角形各边的垂直一平分线交于一点。
重要
7
、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点
重要
< br>8
、
设三角形
ABC
的外心为
O
，
垂心为< br>H
，
从
O
向
BC
边引垂线，
设垂足不
L
，则
AH=2OL
中考不需要，竞赛中很显然的结论
9
、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。
高中竞赛中非常重要的定理，称为欧拉线
10
、
(
九点圆 或欧拉圆或费尔巴赫圆
)
三角形中，三边中心、从各
顶点向其对边所引垂线的垂足，以 及垂心与各顶点连线的中点，
这九个点在同一个圆上，
高中竞赛中的常用定理
11
、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心 、垂心依次位
于同一直线
(
欧拉线
)
上
高中竞赛中会用，不常用
12
、
库立奇
*
大上定 理：
(
圆内接四边形的九点圆
)
圆周上有四点，
过其中任三点作三 角形，
这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆
周上，
我们把过这四个九点圆圆心的圆叫 做圆内接四边形的九点
圆。
高中竞赛的题目，不用掌握
13
、
(
内心
)
三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径 公
式：
r=(s-a)(s-b)(s-c)ss
为三角形周长的一半
重要
14
、
(
旁心
)
三角形 的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平
分线交于一点
重要
15
、
中线定理：
(
巴布斯定理
)
设三角形
ABC
的边
BC
的中点为
P
，
则有
AB2+AC 2=2(AP2+BP2)
初中竞赛需要，重要
16
、斯图尔 特定理：
P
将三角形
ABC
的边
BC
内分成
m:n
，则有
n×
AB2+m×
AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2
高中竞赛需要，重要
17
、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD
的对角线互相垂直
时，连接
AB
中点
M
和对角 线交点
E
的直线垂直于
CD
显然的结论，不需要掌握
18
、阿波罗尼斯定理：到两定点
A
、
B
的距离之比为定比
m:n(
值
不为
1)
的点
P
，
位于将线段
AB
分成
m:n
的内分点
C
和外分点
D
为 直径两端点的定圆周上
高中竞赛需要，重要
19
、
托< br>勒
密
定
理
：
设
四
边
形
AB CD
内
接
于
圆
，
则
有
AB×
CD +AD×
BC=AC
初中竞赛需要，重要
20
、以任意三角形
ABC
的边
BC
、
CA
、
AB< br>为底边，
分别向外作
底角都是
30
度的等腰△
BDC
、△
CEA
、△
AFB
，则△
DEF
是正
三角形，
学习复数后是显然的结论，不需要掌握
21
、
爱尔可斯 定理
1
：
若△
ABC
和三角形△都是正三角形，则由
线段< br>AD
、
BE
、
CF
的重心构成的三角形也是正三角形。
不需要掌握
22
、
爱尔可斯定理
2
：
若△
ABC
、
△
DEF
、
△
GHI
都是 正三角形，
则由三角形△
ADG
、
△
BEH
、
△< br>CFI
的重心构成的三角形是正三
角形。
不需要掌握
23
、梅涅劳斯定理：设△
ABC
的三边BC
、
CA
、
AB
或其延长线
和一条不经过它们任一顶 点的直线的交点分别为
P
、
Q
、
R
则有
BPPC×
CQQA×
ARRB=1
初中竞赛需要，重要
24
、梅涅劳斯定理的逆定理：
(
略
)
初中竞赛需要，重要
25
、
梅涅劳斯定理的应用定理
1< br>：
设△
ABC
的∠
A
的外角平分线
交边
CA
于
Q
、
∠
C
的平分线交边
AB
于
R
，
、
∠
B
的平分线交边
CA
于
Q
，则
P
、
Q
、
R
三点共线。
不用掌握
26
、梅涅劳斯定理的应用定理
2
：过任意△< br>ABC
的三个顶点
A
、
B
、
C
作它的外接圆 的切线，分别和
BC
、
CA
、
AB
的延长线交
于点
P
、
Q
、
R
，则
P
、
Q
、
R
三点共线
不用掌握
27
、塞瓦 定理：设△
ABC
的三个顶点
A
、
B
、
C
的不在三角形的
边或它们的延长线上的一点
S
连接面成的三条直线，分别与边
BC
、
CA
、
AB
或
它
们
的
延< br>长
线
交
于
点
P
、
Q
、
R< br>，
则
BPPC×
CQQA×
ARRB()=1.
初中竞赛需要，重要
28
、
塞瓦定理的应用定理：
设平行 于△
ABC
的边
BC
的直线与两
边
AB
、
AC
的交点分别是
D
、
E
，又设
BE
和
C D
交于
S
，则
AS
一定过边
BC
的中心
M
不用掌握
29
、塞瓦定理的逆定理：
(
略
)
初中竞赛需要，重要
30
、塞瓦定理的逆定理的应用定理
1
：三角形的三条中线交于一
点
这个定理用塞瓦定理来证明将毫无几何美感，
应该用中位线证明
才漂亮
31
、塞瓦定理的逆定理的应用定理
2
：设△
ABC
的内切圆和 边
BC
、
CA
、
AB
分别相切于点
R
、< br>S
、
T
，则
AR
、
BS
、
CT交于一
点。
不用掌握
32
、西摩松定理 ：从△
ABC
的外接圆上任意一点
P
向三边
BC
、
CA
、
AB
或其延长线作垂线，设其垂足分别是
D
、
E、
R
，则
D
、
E
、
R
共线，
(
这条直线叫西摩松线
)
初中竞赛的常用定理
33
、西摩松定理的逆定理：
(
略
)
初中竞赛的常用定理
34
、史坦纳定理：设△
ABC
的垂 心为
H
，其外接圆的任意点
P
，
这时关于△
ABC
的点
P
的西摩松线通过线段
PH
的中心。
不用掌握
35
、史坦纳定理的应用定理：△
ABC
的外接 圆上的一点
P
的关
于边
BC
、
CA
、
AB
的对称点和△
ABC
的垂心
H
同在一条
(
与西