积分公式定理
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2021年01月29日 14:43
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北京理工大学
积分定理公式集锦
常用积分公式
定理
程功
2010/12/22
定理
1.
积分存在定理
1
）
当函数
f
(
x
)
在区间
a
,
b
上连 续时，称
f
(
x
)
在区间
a
,
b
上可积
.
2
）
设函数
f
(
x
)
在区间
a
,
b
上有界， 且只有有限个间断点，则
f
x
在区间
a,
b
上可积。
2
.
性质
1
：
[
f
(
x
)
g
(
x
)]
dx
f
(
x
)
dx
g
(
x
)
dx
（此 性质可以推广到有限多个函数求
a
a
a
b
b
b
和的 情况）
。
性质
2.
kf
(
x
)
dx
k
f
(
x
)
dx
k
为常数
a
a
b
b
假 设
a
c
b
，
性质
3
：
f
(
x
)
dx
f(
x
)
dx
f
(
x
)< br>dx
（定积分对于积分区间具有可加性）
a
a
c
b
c
b
性质
4:
1
dx
< br>b
a
dx
b
a
a
b
性质
5
：
如果在区间
a
,
b
上
f
(
x
)
0,
则
f
(
x
)
dx
0
(
a
b
)
a
b
推论（
1
）
：如果在区间
[
a
,
b
]
上，
f
(
x
)
g
x
则
f
(
x
)
dx
g
(
x
)
dx
(
a
b
)
aa
b
b
推论（
2
）
：
b
a
f
()
x
dx
()
f
xdx
a
b
a
b
性< br>质
6
：
设
M
及
m
分
别
是< br>函
数
f
x
上
的
最
大< br>值
与
最
小
值
，
则
m
(
b< br>
a
)
f
(
x
)
dx
M
(
b
a
)
a
b
3.
定积分中值定理
如果函数
f
x
在闭区间
a
,
b
上连续 ，则在积分区间
a
,
b
上至少存在一点
，使
b
a
f
(
x
)
dx
f
(
)(
b
a
)(
a
b
)
4.
积分上限函数函数的性质
如果
f
x
在
a
,
b
上连续，
则积分上限的 函数
(
x
)
f
(
t
)
dt
在
a
,
b
上具有导数，且
a
x
导数为
(
x
)
d
x
f
(
t
)
dt
f
(
x
)(
a
x
b
)
a
dx
b
(
x
)
a
(
x)
补充：如果
f
t
连续，
a
< br>x
、
b
x
可导，则
F
(
x
)
f
(
t
)
dt的导数
F
(
x
)
为
F
(
x
)
b
(
x
)
0
f
(
t
)
dt
f
b
x
b
x
f
a
x
a
x
x
5
．原函数存在定理
如果
f
x
在
a
,
b
上连续，则积分上限的函数< br>
(
x
)
f
(
t
)< br>dt
就是
f
x
在
a
,
b
上的
a
一个原函数。
定理的重要意义：
1
）肯定了连续函数的原函数是存在的
.
2
）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系
.
6.
牛顿
-
莱布尼茨公式
如果
F
(x
)
是连续函数
f
x
在区间
< br>a
,
b
上的一个原函数，则
b
a
f
(
x
)
dx
F
(
b)
F
(
a
)
F
(x
)
a
7.
不定积分的性质
( 1)
b
[
f
(
x
)
g
(
x
)]
dx
f
(
x
)< br>dx
g
(
x
)
dx
;
此性质可推广到有限多个函数之和的情况
(2)
kf
(
x
)
dx
k
f
(
x
)
dx
k
是常数，
k
0
8.
换元公式
设
f
u
具有 原函数，
u
(
x
)
可导，则有换元公式
f
[
(
x
)]
(x
)
dx
[
f
(
u
)< br>du
]
u
(
x
)
常见类型：< br>
1
f
(
)
f
(ln
x
)
f
(
x
)
x
dx
;
1.
f
(
x
n
1
)
x
n
dx
;
2.
dx
;
4.
2
dx
;
3.
x
x
x
(
x
a
)
x
dx
;
7.
f
(tan
x
)s ec
2
xdx
;
< br>8.
5.
f
(sin
x
)cos
xdx
;< br>
6.
f
a
f
(
a
r
c
t
x
a
n
)
dx
;
2
1
x
设
x
(
t
)
是单调的、可导的函数，并且
(< br>t
)
0
，又设
f
[
(
t
)]
(
t
)
有原函数，则有
换元公式
f
(
x
)
dx
f
[
(
t
)]
(
t
)
dt
t
(
x< br>)
，其中
(
x
)
是
x
(
t
)
的反函数。
三角代换的目的是化掉根式，一般规律如下：当被积函数中含有：
(1)
a
2
x
2
可令
x
a
sint
;
(2)
a
2
x
2
可令
x
a
tan
t
;
(3)
x
2
a
2
可令
x
a
sec
t
.
简单无理函数的积分
:
讨论类型：
R
(
x
,
n
ax
b
)
R
(
x
,
n
ax
b
;
cx
e
ax
b
)
解决方法
:
作代换
cx
e
去掉根号．
令t
n
ax
b
;
令
t
< br>9.
分部积分
n
设函数
u
u
(
x
)
和
v
v
(
x
)
具有连续的导数，
uv
u
v
uv
,
uv
uv
u
v
（分部积分公式）
uv
dx
uv
u
vdx
,
ud v
uv
vdu
。
分部积分顺序：反、对、幂 、指、三
前者为
u
。
10.
有理函数化为部分分式之和的一般规律：
（
1
）分母中若有因式< br>(
x
a
)
k
，则分解后为
A
1< br>,
A
2
,
,
A
k
都是常数。特殊的，
k
1
分解后为
A
1
A
2
k
k
1
(
x
a
)
(
x
a
)
A
k
,
其中
x
a
A
;
x
a
（
2
）分母中含有因式
(
x
2
px
q< br>)
k
，其中
p
2
4
q
0
，则分解后为
M
1
x
N
1
M
2
x
N
2
2
k
2
k
1
(
x
px
q
)
(
x
px
q
)
Mk
x
N
k
其中
M
i
,
N< br>i
都是常数
(
i
1,
2,
k< br>)
。特殊
2
x
px
q
的
k
1
分解后为
Mx
N
;
2
x
px
q
11.
将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：
（
1
）
多项式：
(2)
A
Mx
N
Mx
N
(3)
;
;
讨论积分：
(
x
2
px
q
)
n
dx
,
(
x
2
< br>px
q
)
n
(
x
a
)
n
2
p
p
2
p
x
px
q
x
q
,
令
x
t
Mx
N
Mt
b
,
2
4
2
2
p
2
Mp
则a
q
,
b
N
,
4
2
2
Mx
N
Mt
b
dx
dt
(
t
2
a
2
)
n
(
t
2
a
2
)
n
dt
(
x
2
px
q
)
n
(1)
n
1,
(2)
n
1
Mx
N
M
b
2
dx
ln(
x
px
q
)
arctan
x
2
p x
q
2
a
x
a
p
2
C
;
Mx
N
M
1
dx
b
dt
.
2
n
2< br>2
n
1
2
2
n
(
x< br>
px
q
)
2(
n
1)(t
a
)
(
t
a
)
这三类 积分均可积出
,
且原函数都是初等函数
结论：有理函数的原函数都是初等函数
12.
三角函数有理式积分
三角有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般
记为
R
(sin
x
,cos
x
)
x
x
x
2
tan
1
tan
2
1
tan
2
x
x
2
2
,
cos
x
cos
2
x
sin
2
x< br>
2
sin
x
2sin
cos
x
x
x
2
2
2
2
sec
21
tan
2
sec
2
1
tan< br>2
2
2
2
2
tan
x
2
,
x
2