概率公式及典型例子
巡山小妖精
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2021年01月29日 16:05
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基础知识
排列与组合的概念与计算公式
1
．排列及计算公式
从
n
个不同元素中，任取
m(mc n)
个元素按照一定的顺序排成一列，
叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一个排列；从
n
个不同元素中
取出
m(mc n)
个元
素的所有排列的个数，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的排列数，用符号
p(n,m)
表示
.
p(n,m)
二
n(n-1)(n- 2)
.
...... (n -m+1)= n!/(n-m)!(
2
．组合及计算公式
从
n
个不同元素中，任取
m(mc n)
个元素并成一组，叫做从
n
个不同
元素中取
出
m
个元素的一个组合；从
n
个不同元素中取出
m(mc n)
个
元素的所有组合的
个数，叫做从
n个不同元素中取出
m
个元素的组合
数
.
用符号
c(n,m)
表示
.
规定
0!=1).
c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)
；
c(n,m)=c(n,n-m);
3
.
其他排列与组合公式
从
n
个元素中取出r
个元素的循环排列数
=
p(n,r)/r
二
n!/r(n-r )!.
n
个元素被分成
k
类，每类的个数分别是
n1,n2,…
nk
全排列数为
这
n
个元素的
n!/(n1!*n2!*...*nk!).
k
类元素
，
每类的 个数无限
，
从中取出
m
个元素的组合数为
c(m+k-1,m).< br>
概率论是以古典型概率，几何型概率，条件概率，各种分布列等
为基本模
型，以加法原理，乘法原理为规则，以非负性，规范性，可
列可加性为基本性
1
质，逆事件，差事件概率的计算公式，加法公式等
为运算基础骨架。
解题时应
做到心中有数，
将难题一步步分解为这些
简单问题的叠加。
学习重点应放在理解和运用上，
而不在于计算，
做题时应分清各
类题
型，举一反三。熟练掌握：
概率部分：
1.
常见分布列，分布函数：离散型
--
连续型
一维
--
二维
--
多维离散：
两点分
布，二次分布，泊松分布，几何分布连续：
均匀分布，指数
分布，正态分布
2.
基本运算概念：
概率密度，数学期望，方差，协方差，相关系数
数理统计部
分：
样本基本概念：
X2
分布，
t
分布，
F
分布，正态 总体的样本均值，方
差，
k
阶原
点矩，
k
阶中心矩
“概率论与数理统计”的学习应注重的是概念的理解，
如“什么
是随机变
量”、“为什么要引进随机变量” ，“随机变量的独立，
不相关” 等概念要深
入理解。高等数学处理的是“确定”的事件。如函数
y=f (x)
,
当
x
确定后
y
有确
定的 值与之对应。而概率论中随机变量
X
在
抽样前是不确定的，
我们只能由随
机试验确定它落在某一区域中的概
率，要建立用“不确定性”的思维方法往往比
较困难，如果套用确定
性的思维方法就会出错。
根据上面分析，启示我们不能把高等数学的学习方法照搬到“概
率统计”
的学习上来，而应按照概率统计自身的特点提出学习方法，
才能取得“事半功
倍”的效果。下面我们分别对“概率论”和“数理
统计”的学习方法提出一些建
议。
一、学习“概率论”要注意以下几个要点
1.
在学习“概率论”的过程中要抓住对概念的引入和背景的理
解，例如为
什么要引进“随机变量”这一概念。这实际上是一个抽象
过程。正如小学生最初
学数学时总是一个苹果加
2
个苹果等于
3
个苹
果，然后抽象为
1+2=3.
对于具体
2
的随机试验中的具体随机事件，可
以计算其概率，但这毕竟是局部的，孤立的，
能否将不同随机试验的
不同样本空间予以统一，并对整个随机试验进行刻画？随
机变量
X(
即
从样本空间到实轴的单值实函数
)
的引进使原先不同随机试验的随机
事件的概率都可转化为随机变量落在某一实数集合
随机试验可由不同的随机变量来刻画。
B
的概率，不同的
此外若对一切实数集合
B,
知道
P(X
€
B)
。那么随机试验的任一随机事件的概率也就完全确定
了。所以我
们只须求出随机变量
X
的分布
P(X
€
B)
。就对随机试验
进行了全面的刻画。它
的研究成了概率论的研究中心课题。
故而随机
变量的引入是概率论发展历史中
的一个重要里程碑。
类似地，概率公
理化定义的引进，分布函数、离散型和连续型随机变量的分类，随机
变量的数学
特征等概念的引进都有明确的背景，
在学习中要深入理解
体会。
2.
在学习“概率论”过程中对于引入概念的内涵和相互间的联
系和差异要仔细推敲，例如随机变量概念的内涵有哪些意义：
它是一
个从样本空间到实轴的单值实函数
X(w)
，但它不同于一般的函数，
首先它的定
义域是样本空间，不同随机试验有不同的样本空间。
而它
的取值是不确定的，
随着试验结果的不同可取不同值，但是它取某一区间的概率又能
根据随机
试验予以确定的，而我们关心的通常只是它的取值范围，
即
对于实轴上任一
B,
计算概率
P(X
€
B)
，即随机变量
X
的分布。只有
理解了随
机变量的内涵，下面的概念如分布函数等等才能真正理解。
又如随机事件的互不
相容和相互独立两个概念通常会混淆，
前者是事
件的运算性质，后者是事件的概率性质，但它们又有一定联系，如果
P(A)
。
P(B)
>
0
,
则
A
,
B
独立则一定相容。类似地，如随机变量的独
立和不相关等概念
3
的联系与差异一定要真正搞懂。
3.
搞懂了概
率论中的各个概念，一般具体的计算都是不难的，
如
F(x)=P(X
<
x)
,
EX DX
等按定义都易求得。计算中的难点有古典
概型和几何概型的概率计算，二维随机
变量的边缘分布
fx(x)=
/ -
…
f(x
,
y)dy
，事件
B
的概率
P((X
,
Y)
€
B)
二
//
Bf(x
,
y)dxdy
，卷积公式等的计算，它们形式上很简单，但是由于
f(x
,
y)
通常是分段函数，真正的积分限并不再是
(-
乂，乂
)
或
B
,
这时如何
正确确定事实
上的积分限就成了正确解题的关键，要切实掌握。
4•
概率论中也有许多习题，在解题过程中不要为解题而解题，而应
理解题目所涉
及的概念及解题的目的，至于具体计算中的某些技巧基
本上在高等数学中都已学
过。因此概率论学习的关键不在于做许多习
题，而要把精力放在理解不同题型涉及的概念及解题的思路上去
样往往能“事半
功倍”。
二、学习“数理统计”要注意以下几个要点
1.
由于数理统计是一门实用性极强的学科，在学习中要紧扣它
的实际背
景，理解统计方法的直观含义。了解数理统计能解决那些实
际问题。对如何处理
抽样数据，并根据处理的结果作出合理的统计推
断，该结论的可靠性有多少要有
一个总体的思维框架，这样，学起来
就不会枯燥而且容易记忆。例如估计未知分
布的数学期望，就要考虑
到① 如何寻求合适的估计量的途径，②如何比较多个
估计量的优
劣？这样，针对①按不同的统计思想可推出矩估计和极大似然估计，
而针对②又
可分为无偏估计、有效估计、相合估计，因为不同的估计
名称有着不同的含义，
一个具体估计量可以满足上面的每一个，
也可
能不满足。掌握了寻求估计的统
4