服装创业计划书-日界线

2021年1月29日发(作者：羽毛球赛点)


第二章

椭圆的几何性质


备课时间：

上课时间：

§
2.1.2
椭圆的几何性质

一、

教学目标：

命制：文亚妮

校
对
：
高
二
数
学
组

审 核：严春香
1
．知识与技能
:
掌握椭圆的简单的几何性质，学会由已知椭圆的 标准方程求椭圆的几何性质的
一般方法与步骤。

2
．过程与方法：通过实际 活动培养学生发现、观察、归纳的能力；培养分析、抽象、概括的能
力，加强数形结合等数学能力的培养 。

3
．情感、态度价值观：通过有关椭圆几何性质的实际应用的介绍，激发学生研究 椭圆的几何性
质的积极性。

二、教学重难点：

（
1
）教学重点
：椭圆的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）

（
2
）教学难点：
学生的发现、观察、归纳能力的培养。

三：课时计划：
1
课时

四、教学过程：

学习目标：

1
、

掌握椭圆的几何性质。

2
、

灵活应用椭圆的几何性质。

（一）

课堂导入：

为什么国家大剧院最终会选择了椭球形设计呢？

其根 本原因是椭球形非常美观，这源于椭圆的美！那么椭圆到底美在何处？它又具有哪些特
x
2y
2
性？让我们一起来研究一下——椭圆的几何性质，以方程
2

2

1
(
a

b

0
)
为研究对象。

a
b
（
板书
）
12.1.2
椭圆的几何性质

（二）
讲授新课

探究问题，观察发现

问题
1
：

教师：
你能找到椭圆纸板的中心吗？

学生
1
：
(
思考并回答
)
用手中的纸板折纸——把椭圆纸板折叠，使两部分完全重合，两条折痕的 交
点，即为椭圆纸板的中心，两条折痕为对称轴。

得出结论：椭圆具有对称性。

学生活动
1:
探究一：椭圆的对称性

1 / 16
①
两条折痕为对称轴——椭 圆是轴对称图形，它关于
x
轴和
y
轴对称；

②
实 物演示：椭圆绕中心旋转
180

后与原椭圆重合——椭圆也是中心对称图形，

这时坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做
椭圆的中心。

实物演示部分可以由学生同桌两两一组共同完成，首先让两椭圆重合，旋转
1 80

后观察，得出
结论

问题
2
：
关于
x
轴、
y
轴、原点对称的点的坐标之间又有什么样关系呢？

学生
2
：设
P
（
x
，
y
），则
P
点关于
x
轴、
y
轴和坐标原点的对称点分别是（
x
，
-y
）、（
-x
，
y
）、（
-x
，< br>-y
）若曲线关于
x
轴对称，则
P
点关于
x
轴对称点也在曲线上，即（
x
，
-y
）满足方
程。同理可以推出另外 两种情况。

问题
3
：那么下面同学们一起归纳出方程要满足什么条件曲线才 具有这些对称性。

学生
3
：结论：以
-x
代
x< br>，方程不变，则曲线关于
y
轴对称；以
-y
代
y
，方 程不变，则曲线关于
x
轴对称；同时以
-x
代
x
、以
-y
代
y
，方程不变，则曲线关于原点对称。

老师：非常正确。

问题
4
：
那么椭圆
是否也具有 这种对称性，你能根据方程得到结论吗？

此时学生能快速判断，得出结论。同时让学生明白， 图形对称性的本质是构成图形的点的对称
性，从方程来判断也就是抓住了点的对称性形成的结论。

（板书）
椭圆的对称性：椭圆关于
x
轴，
y
轴和原点对 称。

问题
:5
：

教师：
椭圆与它的对称轴有交 点吗？若有，那么椭圆与它的对称轴有几个交点？你能求出交点的坐
标吗
?
学生
2
：
椭圆与对称轴有交点，有四个交点。

教师：很好，我们把椭圆与它的对称轴的这四个交点分别记作
A
1
,
A
2
,
B
1
,
B
2

请同学们将这四个点标 在自己的椭圆纸板上，并抽象成数学图形将椭圆放在平面直角坐标系内研
究，求出
A
1
,
A
2
,
B
1
,
B
2
的 坐标。

学生活动
2:
探究二：椭圆的顶点

学生取点、 画图，自己动手亲自体验将椭圆抽象成数学图形的过程，并求出
A
1
,
A2
,
B
1
,
B
2
的坐标。

2 / 16
2
2
x
y
教师：
其实，我们把椭圆
2

2

1
(
a

b

0
)
与坐标轴的交点
A
1
(

a
,
0
),
A
2
(
a
,
0
),B
1
(
0
,

b
),
B
2< br>(
0
,
b
)
就叫做
a
b
椭圆的顶点 。

其中线段
A
1
A
2
、
B
1< br>B
2
分别叫做椭圆的长轴和短轴。显然长轴长
|A
1
A
2
|
＝
2a
，短轴长
|B
1
B
2
|
＝
2b
，
a
和
b
分别叫做椭圆的
长半 轴长
和
短半轴长
，此时长轴在
x
轴上。

（板书 ）
椭圆的顶点：
A
1
(

a
,
0
),
A
2
(
a
,
0
),
B
1(
0
,

b
),
B
2
(
0< br>,
b
)
。

探究
3
：椭圆的范围


教师：
如果图中虚线所代表的就是你所要制作的椭圆纸板所在矩形纸的四个边缘，那 么在平面直角
坐标系中，他们所在直线的直线方程是什么？

结论：椭圆位于直线x


a
,
y


b
所围成 的矩形内。

(
板书
)
椭圆的范围：
-a
≤
x
≤
a, -b
≤
y
≤
b

学生活动
4:
问题
7
：请同学们举起手中的椭圆，大家观察它们的形状有何不同？

有的同学手中的椭圆形纸板扁长，有的同学手中的椭圆形纸板稍圆，有的同学手中的椭圆更接近
于圆形 。

在同学们参与到课堂活动中的时候，在自己举起自己手的椭圆的时候希望得到大家的关注想 与大
家交流，同时，在其他同学们举起手中的椭圆的时候，他们也会更加去关注其他同学手中的椭圆的< br>形状，进而与自己手中的椭圆进行比较。在比较的过程中就会发现椭圆形状的变化，引起思考。

问题
8
：圆的形状都是相同的，而椭圆却有些比较“扁”，有些比较“圆”，用什么样 的量来刻画
椭圆“扁”的程度呢？
（
带着疑问进入探究四。）

学生活动
5
：

探究四：离心率问题


阅读课本
39
页内容，自习观察
2.1-10
图，当
a
不变 时，
c
改变时，椭圆的扁与平与什么有
关？

学生在老师的启发下而提出离心率这一概念，进而得出可以用
3 / 16
来表示离心率。
1
）

概念：椭圆
焦距与长轴长之比。
2
）

定义式：

老师：那么离心率这一概念的引入到底是用来刻划椭圆的哪一个几何性质呢 ？再一次演示几何
画板。

学生发现
不变时，
c
变大，即离 心率变大时，椭圆越扁；
c
变小即离心率变小时，椭圆越圆。

学生
10
：离心率是用来刻划椭圆的扁平程度的一个量。离心率越大，椭圆越扁，离心率越小，椭圆
越圆。

1
）

范围：
2
）

考察椭圆形状与
e
的关系：

，椭圆变圆， 直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在
椭圆变扁，直至成为极限位置线段
时的特例。< br>
时的特例。

，此时也可认为圆为椭圆在
老师：进一步拓展，除了用
可以来刻划椭圆的扁平程度，还可以用什么来刻划呢？学生指出
也可以，老师再问，那
是否也可以呢？它们分别是怎样来刻划的呢？留给大家课后思考。

3
．
反思构建，性质应用

例
1
、
求椭圆
9x
2
＋
25y
2
＝
225
的长轴和短轴 的长，离心率、交点和顶点的坐标。

例
2
、
下列各组椭圆中，哪一个更接近于圆？




x
2
y
2
(
1
)
4
x

9
y

36
与


1
25
20
x
2
y
2
2
2
(
2)
9
x

4
y

36
与
< br>
1
12
16
2
2
4
．课堂小结，竞争合作



请你谈谈通过这节课的学习
,
你学习到了什么
?
并且请各组成员互相评价。

6
．当堂检测：

课本
41
页：
2,3,4








4 / 16











第二章

直线与椭圆的综合（
1
）



命制：文亚妮

校
对
：
高
二
数
学
组

审 核：张雪梅
§
2.2.2
直线与椭圆的综合（
1
）

教学目标：

（
1
）知识与技能：类比点与圆、直线与圆的位置关 系，
理解点与椭圆、直线与椭圆的位置关
系，并会判断其位置关系。

（
2
）过程与方法：类比学习
点与椭圆、直线与椭圆的位置关系。

（
3
）情感态度与价值观：渗透数形结合思想。

二、教学重难点：

（
1
）教学重点
：点与椭圆、直线与椭圆的位置关系

（
2
）教学难点：
当直线与椭圆联立时，准确运算的能力。

三：课时计划：
1
课时

四、教学过程：

学习目标：

判断点与椭圆、直线与椭圆的位置关系

知识点一

点与椭圆的位置关系

思考
1
判断点
P
(1,2)
与椭圆
＋
y
2
＝
1
的位置关系
.
4
3
3
3
答案

当
x
＝
1
时，得
y
＝
，故
y
＝±
，而
2>
，故点在椭圆外
.
4
2
2
2
x
2
x
2
y
2
思考
2
类比点与圆的位置关 系的判定，你能给出点
P
(
x
0
，
y
0
)
与椭圆
2
＋
2
＝
1(
a
>
b>0)
的位置关系的
a
b
判定吗？

x
2
y
2
0
0
答案

当
P
在椭圆外时，
2
＋
2
>1
；

a
b
x
2
y
2
0
0
当
P
在椭圆上时，
2
＋
2
＝
1
；

a
b
x
2
y
2
0
0
当
P
在 椭圆内时，
2
＋
2
<1.
a
b
x
2
y
2
梳理

设
P
(
x
0
，
y
0
)
，椭圆
2＋
2
＝
1(
a
>
b
>0)
，则点P
与椭圆的位置关系如下表所示：

a
b
位置关系

满足条件

5 / 16
P
在椭圆外

P
在椭圆上

P
在椭圆内

知识点二

直线与椭圆的位置关系

思考
1
直线与椭圆有几种位置关系？

答案

有三种位置关系，分别有相交、相切、相离
.
x
2
y
2< br>0
0
2
＋
2
>1
a
b
x
2
y
2
0
0
＋
＝
1
a
2
b
2
x
2
y
2
0
0
＋
<1 < br>a
2
b
2
x
2
y
2
思考
2
如何判断
y
＝
kx
＋
m
与椭圆
2
＋
2
＝
1(
a
>
b
>0)
的位置关系？< br>
a
b
答案


y
＝
kx
＋
m
，
联立

x
y

a
＋
b
＝
1
，
2
2
2
2

消去
y
得关于
x
的一元二次方程
.
位置关系

解的个数

相交

相切

相离

类型一

点、直线与椭圆位置关系的判断

命题角度
1
点与椭圆位置关系判断

两解

一解

无解

Δ
的取
值

Δ
>0
Δ
＝
0
Δ
<0
例
1
已知点
P
(
k,
1)
，椭圆
＋
＝
1
，点在椭圆外，则实数
k
的取值范围为
________.
9
4
答案

(
－∞，－
3
3
3< br>3
)∪(
，＋∞)

2
2
x
2
y
2
解析

据题知
＋
>1
，

9
4
解得
k< br><
－
3
3
3
3
或
k
>
.
2
2
k
2
1
引申探究

若将本例中
P
点坐标改为“
P
(1
，
k
)”呢？

4
2
4
2
答案

(
－∞，－
)∪(
，＋∞)

3
3
6 / 16
1
k
2
32
解析

依题
＋
>1
，解得
k
2
>
，
< br>9
4
9
4
2
4
2
即
k
<< br>－
或
k
>
.
3
3
反思与感悟
< br>处理点与椭圆位置关系问题时，紧扣判定条件，然后转化为解不等式等问题，注意求
解过程与结果 的准确性
.
x
2
y
2
跟踪训练
1
已知 点
(3,2)
在椭圆
2
＋
2
＝
1(
a>
b
>0)
上，则
(

)
a
b< br>A.
点
(
－
3
，－
2)
不在椭圆上

B.
点
(3
，－
2)
不在椭圆上

C.
点
(
－
3,2)
在椭圆上

答案

C
9
4
解析

由已知得
2
＋
2
＝
1
，只有选项
C
符合该条件
.
D.
以上都不正确

a
b
命题角度
2
直线与椭圆位置关系判断

例
2
(1)
直线
y< br>＝
kx
－
k
＋
1
与椭圆
＋
＝
1
的位置关系是
(

)
2
3
A.
相交
B.
相切
C.
相离
D.
不确定

答案

A
解析

直线
y
＝
kx
－
k
＋1
＝
k
(
x
－
1)
＋
1
过定 点
(1,1)
，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交
.
(2)
在 平面直角坐标系
xOy
中，经过点
(0
，
2)
且斜率为k
的直线
l
与椭圆
＋
y
2
＝
1
有两个不同的交
2
点
P
和
Q
.
求
k的取值范围
.

1
2

解

由已知 条件知直线
l
的方程为
y
＝
kx
＋
2
，代 入椭圆方程得
＋
(
kx
＋
2)
2
＝
1.< br>整理得

＋
k

x
2
2

2


1
2

＋
2
2
kx
＋
1
＝
0.
直线
l
与椭圆有两个不同的交点
P< br>和
Q
等价于
Δ
＝
8
k
2
－
4

＋
k

＝
4
k
2
－
2
＞
0
，


2

解得
k
＜－
2
2
或
k
＞
.
2
2
x< br>2
y
2
x
2
x
2


2< br>

2
即
k
的取值范围为

－∞，－

∪

，＋∞

.
2


2


反思与感悟

直线与椭圆的位置关系判别方法
(
代数法
)
联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程：

(1)
Δ
>0< br>⇔
直线与椭圆相交
⇔
有两个公共点
.
(2)
Δ＝
0
⇔
直线与椭圆相切
⇔
有且只有一个公共点
.
7 / 16
(3)
Δ
<0
⇔
直线与椭圆相离
⇔
无公共点
.
跟踪训练
2
(1)
已知直线
l过点
(3
，－
1)
，且椭圆
C
：
数为
(

)
A.1 B.1
或
2 C.2 D.0
(2)
若直线
y
＝
kx
＋
2
与椭圆
＋＝
1
相切，则斜率
k
的值是
(

)
3
2
A.
6
6
6
3
B.
－

C.±

D.±

3
33
3
x
2
25
＋
y
2
36
＝
1
，则直线
l
与椭圆
C
的公共点的个
x
2
y
2
答案

(1)C
(2)C
3
2
解析

(1)
因为直线过定点
(3
， －
1)
且
＋
25
－
1
36
2
<1
，

所以点
(3
，－
1)
在椭圆的内部，故直线< br>l
与椭圆有
2
个公共点
.
(2)
把
y＝
kx
＋
2
代入
＋
＝
1
，得
(2
＋
3
k
2
)
x
2
＋
12kx
＋
6
＝
0
，∵
Δ
＝
0
，

3
2
2
6
∴
k
2
＝
， ∴
k
＝±
.
3
3
当堂训练：

1.点
A
(
a,
1)
在椭圆
＋
＝
1
的内部，则
a
的取值范围是
(

)
4
2
A.
－
2
＜
a
＜
2 B.
a
＜－
2
或
a
＞
2 C.
－
2
＜
a
＜
2 D.
－
1
＜
a
＜
1
x
2
y2
x
2
y
2
y
2
2.
若直线
y
＝
x
＋
6
与椭圆
x
＋
2
＝1(
m
>0
且
m
≠1)只有一个公共点，则该椭圆的长轴长为< br>(

)
m
2
A.1 B.
5 C.2 D.2
5
y
2
3.
直
线
y
＝
kx
＋
1
与
焦
点
在
x
轴上
的
椭
圆
＋
＝
1
总
有
公共
点
，
则
m
的
取
值
范
围是
5
m
__________________.










8 / 16
x
2

服装创业计划书-日界线

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