数学建模实验报告
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2021年01月30日 01:24
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数学建模实验报告
一、实验目的
1
、
通过具体的题目实例，使学生理解数学建模的基本思想和方法，掌握
数学建模分析和解决的基本过程。< br>
2
、
培养学生主动探索、努力进取的的学风，增强学生 的应用意识和创新
能力，为今后从事科研工作打下初步的基础。
二、
实
验题目
（一）题目一
1
、题目：
电梯问题
有
r
个人在一楼进入电梯，楼上有
n
层。设每个
乘客在任何一层楼出电梯的概率相同，试建立一个概率模型，求直
到电梯中的乘客下完时，电梯需停次数的数学期望。
2
、问题分析
（
1
）由于每位 乘客在任何一层楼出电梯的概率相同，且各种可能
的情况众多且复杂，难于推导。所以选择采用计算机模 拟的
方法，求得近似结果。
（
2
）通过增加试验次数，使近似解越来越接近真实情况。
3
、模型建立
建立一个
n*r
的二维随机矩阵，该矩阵每列元素中只有一个
为
1
，其余都为
0
， 这代表每个乘客在对应的楼层下电梯（因为每
个乘客只会在某一层下，故没列只有一个
1
）
。而每行中
1
的个数
代表在该楼层下的乘客的人数。
再建立一个有
n
个元素的一位数组，数组中只有
0
和
1,
其 中
1
代表该层有人下，
0
代表该层没人下。
例如：
给定
n=8;r=6
（楼
8
层，乘了6
个人）
,
则建立的二维随机矩
阵及与之相关的应建立的一维数组为：< br>
m =
0 0 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0
c = 1 1 0 1 0 1 1 1
4
、解决方法（
MATLAB
程序代码）
：
1
n=10;r=10;d=1000;
a=0;
for l=1:d
m=full(sparse(randint(1,r,[1,n]),1:r,1,n,r));
c=zeros(n,1);
for i=1:n
for j=1:r
if m(i,j)==1
c(j)=1;
break;
end
continue;
end
end
s=0;
for x=1:n
if c(x)==1
s=s+1;
end
continue;
end
a=a+s;
end
a/d
5
、实验结果
ans = 6.5150
那么，当楼高
11
层，乘坐
10
人时，电梯
需停次数的数学期望为
6.5150
。
（二）题目二
1
、问题：
某厂生产甲乙两种 口味的饮料
,
每百箱甲饮料需用原料
6
千克
,
工人
10
名
,
可获利
10
万元
;
每百箱乙饮料需用原料
5
千
克
,
工人
20
名
,
可获利< br>9
万元
.
今工厂共有原料
60
千克
,
工人< br>150
名
,
又由于其他条件所限甲饮料产量不超过
8
百箱.
问如何
安排生产计划
,
即两种饮料各生产多少使获利最大
.< br>进一步讨
论
:
1)
若投资
0.8
万元可增加原料
1
千克
,
问应否作这项投资
.
2)
若每百箱甲饮料获利可增加
1
万元
,
问应否改变生产计划
.
2
、问题分析
（
1< br>）题目中共有
3
个约束条件，分别来自原料量、工人数与甲饮
料产量的限制。< br>
（
2
）目标函数是求获利最大时的生产分配，应用
MATLAB
时要转换
2
成求其相反数最小时的生产分配。
(3)
扩展讨论部分只需将模型中部分参数修改即可。
3
、模型建立
（
1
）设定变量：
x(1)
表示甲饮料产量，
x(2)
表示甲饮料产量，
z
表示总获利。
（
2
）线性规划模型
:
z=10*x(1)+9*x(2)
6*x(1)+5*x(2)<=60
10*x(1)+20*x(2)<=150
x(1)<=8
4
、解决方法（
MATLAB
程序代码）
c=[-10,-9];
A=[6,5;10,20;1,0];
b=[60,150,8];
x=linprog(c,A,b);
x=floor(x);
x
z=10*x(1)+9*x(2);
z
5
、实验结果
x =
6
4
z = 96
扩展
1
）
将参数
b
改为
[61,150,8],
得到结果为：
x =
6
4
z = 96
投资后，总利润并没有增加，而且花费了投资成本。所以，不应该
作这项投资。
扩展
2
）
将参数
c
改为
[-11,-9 ],
得到结果为：
x =
7
2
z = 88
每百箱甲饮料获利增加
1
万元，若按模型改变生产计划，则总利润
反而会减小。所以，不应改变生产计划。
3
（三）题目三
1
、问题：
27
个立方形排成
3* 3*3
的三维阵列。如果三个盒子在同一水
平线上，
或同一条垂直线上，
或同 一条对角线上，则认为三盒一线，
这样的线共有
49
条：水平线
18
条，垂直线
9
条，水平面对角线
6
条，垂直面对角线
12
条 ，对角面对角线
4
条。
现有白球
13
个，黑球
1 4
个，每个盒子中放入一球，如何投放，
使有单一色球的线数最少？
2
、问题分析
（
1
）题目属于 排列组合问题，情况较多且规律性不强，因此难于
使用理论推导，故考虑采用计算机模拟。
（
2
）根据题目信息，找出形成单一色球线的各种情况的一 些规律，
统计每种情况下单色球线数，并计录比较出最小情况。
3
、模型建立
（
1
）建立一个
27
个单元的一维向量数组，分别代表
27
格方格单
元，列出
49
种出现单色线的情况。
（
2
）建立计数器，记录每种情况下的单色球线数并比较出最少情
况
4
、解决方法（
MATLAB
程序）
由于程序较长，此处只给出部分代码。
建立模拟向量及计数器：
a=zeros(1,27);
sum=49;
insert=zeros(1,14);
统计各种情况单色线数：
for i=1:9
temp=linecolor(a(3*i)+a(3*i+1)+a(3*i+2));
if temp>0 templine=templine+1; end
end
for i=1:9:26
for j=1:3
temp=linecolor(a(i)+a(i+3)+a(i+6));
i=i+1;
if temp>0 templine=templine+1; end
end
i=i-3;
end
for i=1:9
4