MATLAB数学实验100例题解
余年寄山水
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2021年01月30日 01:29
最佳经验
本文由作者推荐
放弃也是一种美丽-场面描写
MATLAB
数学实验
100
例题解
一元函数微分学
实验
1
一元函数的图形（基础实验）
实验目的
通过图形加深对函数及其性质的认识与理解
,
掌握运用函数的图形来观察和分析
函数的有关特性与变化趋势的方法
,
建立数形结合的思想
;
掌握用
Matlab
作平面曲线图性的方法
与技巧
.
初等函数的图形
2
作出函数
y
tan
x
和
y
cot
x
的图形观察其周期性和变化趋势
.
解：程序代码
：
>> x=linspace(0,2*pi,600);
t=sin(x)./(cos(x)+eps);
plot(x,t);title('tan(x)');axis ([0,2*pi,-50,50]);
图象
：
tan(x)
5 0
40
30
20
10
0
-10
-20
-3 0
-40
-50
0
1
2
3
4
5
6
程序代码
：
>> x=linspace(0,2*pi,100);
ct=cos(x)./(sin(x)+eps);
plot(x,ct);title('cot(x)');axis ([0,2*pi,-50,50]);
图象
：
cot(x)
5 0
40
30
20
10
0
-10
-20
-3 0
-40
-50
0
1
2
3
4
5
6
8
/
34
MATLAB
数学实验
100
例题解
4
在区间< br>[
1
,
1
]
画出函数
y
sin
解：程序代码
：
>> x=linspace(-1,1,10000);
y=sin(1./x);
plot(x,y);
axis([-1,1,-2,2])
图象
：
2
1.5
1
0.5
0
- 0.5
-1
-1.5
-2
-1
1
的图形
.
x
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
二维参数方程作图
x
(
t
)
cos
t
cos
5
t
6
画出参数方程
的图形：
y
(
t< br>)
sin
t
cos
3
t
解：程 序代码
：
>> t=linspace(0,2*pi,100);
plot(cos(t).*cos(5*t),sin(t).*cos(3*t));
图象
：
9
/
34
MATLAB
数学实验
100
例题解
1
0.8< br>0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6< br>-0.8
-1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0. 2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
极坐标方程作图
8
作出极坐标方程为
r
e
t
/
10
的对数螺线的图形
.
解：程序代码
：
>> t=0:0.01:2*pi;
r=exp(t/10);
polar(log(t+eps),log(r+eps));
图象
：
90
0.8
120
0.6
150
0.4
0.2
180
30
60
0
210
330
240
270
300
分段函数作图
10
作出符号函数
y
sgn
x
的图形
.
解：
10
/
34
MATLAB
数学实验
100
例题解
程序代码
：
>> x=linspace(-100,100,10000);
y=sign(x);
plot(x,y);
axis([-100 100 -2 2]);
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2< br>-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
函数性质的研究
解：程序代码
：
>> x=linspace(-2,2,10000);
y=x.^5+3*exp(x)+log(3-x)/log(3);
plot(x,y);
图象
：
60
50
40
30
20
10
0
-10
-20
- 30
-40
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5< br>1
1.5
12
研究函数
f
(
x
)
x
5
3
e
x
log
3
(
3
x
)
在区间
[
2< br>,
2
]
上图形的特征
.
2
实验
2
极限与连续（基础实验）
实验目的
通过计算与作图
,
从直观上揭示极限的本质
,
加深对极限概念的理解
.
掌握用
Matlab
画散点图
,
以及计算极限的方法
.
深入理解函数连续的概念
,
熟悉几种间断点的图形
特征
,
理解闭区间上连续函数的几个重要性质
.
作散点图
14
分别画出坐标为
(
i
,
i
2
),(
i
2
,
4
i
2
i
3),
(
i
1
,
2
,
,< br>10
)
的散点图
,
并画出折线图
.
解：散点图程序代码
：
11
/
34
MATLAB
数学实验
100
例题解
>> i=1:10;
plot(i,i.^2,'.')
100
90
8070
60
50
40
30
20
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
或：
>> x=1:10;
y=x.^2;
for i=1:10;
plot(x(i),y(i),'r')
hold on
end
10 0
90
80
70
60
50
40
30
20< br>10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
折线图程序代码
：
>> i=1:10;
plot(i,i.^2,'-x')
12
/
34
MATLAB
数学实验
100
例题解
10 0
90
80
70
60
50
40
30
20< br>10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
程序代码
：
>> i=1:10;
plot(i.^2,4*(i.^2)+i.^3,'.')
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
0
10
20
30
40
50
60
70
8090
100
>> i=1:10;
plot(i.^2,4*(i.^2)+i.^3,'-x')
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80< br>90
100
数列极限的概念
16
通过动画观察当
n
时数列
a
n
1
n
2
的变化趋势
.
13
/
34
MATLAB
数学实验
100
例题解
解：程序代码
：
>> n=1:100;
an=(n.^2);
n=1:100;
an=1./(n.^2);
n=1:100;
an=1./(n.^2);
for i=1:100
plot(n(1:i),an(1:i)),axis([0,100,0,1])
pause(0.1)
end
图象
：
1
0. 9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
函数的极限
18
在区间
[
4
,
4
]
上作出函数< br>f
(
x
)
x
3
9
x
的图形
,
并研究
x
3
x
lim
f
(
x
)
和
lim
f
(
x
).
x
1
x
f
(
x
)
解：作出函数
>
> x=-4:0.01:4;
y=(x.^3-9*x)./(x.^3-x+eps);
plot(x,y)
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
- 4
x 10
16
x
3
9
x
x
3
x
在区间
[
4
,
4
]
上的图形
14
/
34
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
MATLAB
数学实 验
100
例题解
从图上看，
两个重要极限
20
计算极限
f
(
x
)
在
x< br>→
1
与
x
→∞时极限为
0
x
2
1
1
(
1
)
lim
x
sin
sin
x
(
2
)
lim
x
x
e
x
0
x
x
tan
x
sin
x
(
3
)
lim
(
4
)
lim
x
x
3
x
0
x
0
x
ln
cot
x
(
5
)
lim
(
6
)
lim
x
2
ln
x
x
0
ln
x
x
0< br>3
x
3
2
x
2
5
si n
x
x
cos
x
(
7
)
lim
(
8
)
lim
x
5
x
3
2
x
1
x
0
x
2
sin
x
e
x
e
x< br>
2
x
sin
x
1
cos
x
(
9
)
lim
(
10
)
lim
x
0
x
0
x
x
sin
x
1
解：
（
1
）
>> limit(x*sin(1/x)+1/x*sin(x))
ans =1
(2) >> limit(x^2/exp(x),inf)
ans = 0
(3) >> limit((tan(x)-sin(8))/x^3)
ans =NaN
(4) >> limit(x^x,x,0,'right')
ans =1
(5) >> limit(log(cot(x))/log(x),x,0,'right')
ans =-1
(6)
>>
limit(x^2*log(x),x,0,'right')
ans =0
(7)
>> limit((sin(x)-x.*cos(x))./(x.^2.*sin(x)),x,0)
ans =1/3
(8)
>> limit((3*x.^3-2*x.^2+5)/(5*x.^3+2*+1),x,inf)
ans =3/5
(9)
>> limit((exp(x)-exp(-x)-2*x)./(x-sin(x)))
ans =2
(10)
>>
limit((sin(x)/x).^(1/(1-cos(x))))
ans =exp(-1/3)
实验
3
导数（基础实验）
实验目的
深入理解导数与微分的概念
,
导数的几何意义
.
掌握用
Matlab
求导数与高
阶导数的方法
.
深入理解和掌握求隐函数的导数
,
以及求由参数方程定义的函数的导数的方法
.
导数概念与导数的几何意义
22
作函数
f
(
x< br>)
2
x
3
3
x
2
< br>12
x
7
的图形和在
x
1< br>处的切线
.
解：
作函数
f
(
x
)
2
x
3
3
x
2
12
x
7
的图形
程序代码
：
>
> syms x;
15
/
34
MATLAB
数学实验
100
例题解
>> y=2*x^3+3*x^2-12*x+7;
>> diff(y)
ans =
6*x^2+6*x-12
>> syms x;
y=2*x^3+3*x^2-12*x+7;
>> f=diff(y)
f =
6*x^2+6*x-12
>> x=-1;
f1=6*x^2+6*x-12
f1 =
-12
>> f2=2*x^3+3*x^2-12*x+7
f2 =
20
>>
x=linsp ace(-10,10,1000);y1=2*x.^3+3*x.^2-12*x+7;
y2=-12*(x+1)+20;
plot(x,y1,'r',x,y2,'g') < br>2500
2000
1500
1000
500
0
-50 0
-1000
-1500
-2000
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
求函数的导数 与微分
1
24
求函数
f
(
x
)
sin
ax
cos
bx
的一阶导 数
.
并求
f
.
a
b
解：
求函数
f
(
x
)
sin
ax
cos
bx
的一阶导数
程序代码
：
>> syms a b x y;
y= sin(a*x)*cos(b*x);
D1=diff(y,x,1)
答案：
D1 =
cos(a*x)*a*cos(b*x)-sin(a*x)*sin(b*x)*b
1
求
f
.
a
b
程序代码
：
>> x=1/(a+b);
>> cos(a*x)*a*cos(b*x)-sin(a*x)*sin(b*x)*b
16
/
34
MATLAB
数学实验
100
例题解
答案：
ans =
cos(a/(a+b))*a*cos(b/(a+ b))-sin(a/(a+b))*sin(b/(a+b))*b
拉格朗日中值定理
< br>26
对函数
f
(
x
)
x
(
x
1
)(
x
2
),
观察罗尔定理的 几何意义
.
(1)
画出
y
f
(< br>x
)
与
f
(
x
)
的图形
,
并求出
x
1
与
x
2
.
解：程序代码
：
>> syms x;
f=x*(x-1)*(x-2);
f1=diff(f)
f1 =
(x-1)*(x-2)+x*(x-2)+x*(x-1)
>> solve(f1)
ans =
1+1/3*3^(1/2)
1-1/3*3^(1/2)
>> x=linspace(-10,10,1000);
y1=x.*(x-1).*(x-2);
y2 =(x-1).*(x-2)+x.*(x-2)+x.*(x-1);
plot(x,y1,x,y2)
1000
500
0
-500-1000
-1500
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
(2)
画 出
y
f
(
x
)
及其在点
(
x< br>1
,
f
(
x
1
))
与
(
x
2
,
f
(
x
2
))
处的切线
.
程序代码
：
>> syms x;
>> f=x*(x-1)*(x-2);
>> f1=diff(f)
f1 =
(x-1)*(x-2)+x*(x-2)+x*(x-1)
>> solve(f1)
ans =
1+1/3*3^(1/2)
1-1/3*3^(1/2)
>> x=linspace(-3,3,1000);
>> y1=x.*(x-1).*(x-2);
>> y2 =(x-1).*(x-2)+x.*(x-2)+x.*(x-1);
>> plot(x,y1,x,y2)
>> hold on
17
/
34
MATLAB
数学实验
100
例题解
>> x=1+1/3*3^(1/2);
>> yx1=x*(x-1)*(x-2)
yx1 =
-0.3849
>> x=1-1/3*3^(1/2);
>> yx2=x*(x-1)*(x-2)
yx2 =
0.3849
x=linspace(-3,3,1000);
yx1 =-0.3849*x.^0;
yx2 =0.3849*x.^0;
plot(x,yx1,x,yx2)
60
40
20
0
-20
-40
-60
-3
-2
-1
0
1
2
3
28
求下列函数的导数
:
(1)
y
e
x
1
;
解：程序代码
：
>> syms x y;
y=exp((x+1)^3);
D1=diff(y,1)
答案：
D1 =
3*(x+1)^2*exp((x+1)^3)
x
(2)
y
ln[tan(
)]
;
2
4
解：程序代码
：
>> syms x;
y=log(tan(x/2+pi/4));
D1=diff(y,1)
答案：
D1 =
(1/2+1/2*tan(1/2*x+1/4*pi )^2)/tan(1/2*x+1/4*pi)
1
(3)
y
cot
2
x
ln
sin
x
;
2
解：程序代码
：
>> syms x;
3
18
/
34
MATLAB
数学实验
100
例题解
y=1/2*(cot(x))^2+log(sin(x));
D1=diff(y,1)
答案：
D1 =
cot(x)*(-1-cot(x)^2)+cos(x)/sin(x)
(4)
y
1
2
解：程序代码
：
>> syms x;
>> y=sqrt(2)*atan(sqrt(2)/x);
>> D1=diff(y,1)
答案：
D1 =
-2/x^2/(1+2/x^2)
arctan
2
.
x
一元函数积分学与空间图形的画法
实验
4
一元函数积分学
(
基础实验
)
实验目的
掌握用
Matlab
计算不定积分与定积分的方法
.
通过作图和观察
,
深入理解
定积分的概念和思想方法
.
初步了解定积分的近似计算方法
.
理解变上限积分的概念
.
提高应用
定积分解决各种问题的能力
.
不定积分计算
30
求
x
2
(
1
x
3
)
5
dx
.
解：程序代码
：
>> syms x y;
>> y=x^2*(1-x^3)^5;
>> R=int(y,x)
答案：
R =
-1/18*x^18 +1/3*x^15-5/6*x^12+10/9*x^9-5/6*x^6+1/3*x^3
32
求
x
2
arctan
xdx
.
解：程序代码
：
>> syms x y;
>> y=x^2*atan(x);
>> R=int(y,x)
答案：
R =
1/3*x^3*atan(x)-1/6*x^2+1/6*log(x^2+1)
定积分计算
34
求
1
0
(
x
x
2
)
dx
.
解：程序代码
：
>> syms x y;
>> y=x-x^2;
>> R=int(y,x,0,1)
答案：
R =
1/6
19
/
34
MATLAB
数学实验
100
例题解
变上限积分
36
画出变上限函数
解：程序代码
：
>> syms x y t;
>> y=t*sin(t^2);
>> R=int(y,x,0,x)
答案：
R =
t*sin(t^2)*x
再求导函数
程序代码
：
>> DR=diff(R,x,1)
答案：
DR =
t*sin(t^2)
x
0
t
sin
t
2
dt
及其导函数的图形
.
实验
5
空间图形的画法
(
基础实验
)
实验目的
掌握用
Matlab
绘制空间曲面和曲线的方法
.
熟悉常用空间曲线和空间曲面
的图形特征
,
通过作图和观察
,
提高空间想像能力
.
深入理解二次曲面方程及其图形
.
一般二元函数作图
4
38
作出函数
z
的图形
.
2
1
x
y
2
解：程序代码
：
>> x=linspace(-5,5,500);
[x,y]=meshgrid(x);
z=4./(1+x.^2+y.^2);
mesh(x,y,z);
xlabel('x-axis'),ylabel('y-ax is'),zlabel('z-axis');title('function')
40
作出函数
z
cos(
4
x
9
y
)
的图形
.
解：程序代码
：
>> x=-10:0. 1:10;[x,y]=meshgrid(x);z=cos(4*x.^2+9*y.^2);
mesh(x,y,z);
2
2
20
/
34
MATLAB
数学实验
100
例题解
xl abel('x-axis'),ylabel('y-axis'),zlabel('z-axis');t itle('function')
讨论：坐标轴选取范围不同时，图形差异很大，对本题 尤为明显，如右图为坐标轴
[-1
，
1]
二次曲面
< br>x
2
y
2
z
2
1< br>的图形
.(
曲面的参数方程为
42
作出单叶双曲面
1
4
9
x
sec
u
sin
v
,
y
2
sec
u
cos
v
,
z< br>
3
tan
u
,
(
/
2
u
/
2
,
0
v
2
.
))
解：程序代码
：
>> v=0:pi/100:2*pi;
>> u=-pi/2:pi/100:pi/2;
>> [U,V]=meshgrid(u,v);
>> x=sec(U).*sin(V);
>> y=2*sec(U).*cos(V);
>> z=3*tan(U);
>> surf(x,y,z)
44
可以证明
:
函数
z
xy
的图形是双曲抛物面
.
在区域
2
x
2
,
2
y
2
上作
出它的图形
.
解：程序代码
：
>> x=-2:0.01:2;[x,y]=meshgrid(x);
>> z=x.*y;
>> mesh(x,y,z);
21
/
34
MATLAB
数学实验
100
例题解
46
画出参数曲面
x
cos
u
sin< br>v
y
sin
u
sin
v
z
cos
v
ln(tan
v
/
2
u
/
5
)
解：程序代码
：
u
[
0
,
4
] ,
v
[
0
.
001
,
2
]
的图形
.
>> v=0.001:0.001:2;
>> u=0:pi/100:4*pi;
>> [U,V]=meshgrid(u,v);
>> x=cos(U).*sin(V);
>> y=sin(U).*sin(V);
>> z=cos(V)+log(tan(V/2)+U/5);
>> mesh(x,y,z);
空间曲线
48
作出空间曲线
x
t
cos
t
,
y
< br>t
sin
t
,
z
2
t
(
0
t
6
)
的图形
.
解：程序代码
：
>> syms t;
ezplot3(t*cos(t),t*sin(t),2*t,[0,6*pi])
22
/
34
MATLAB
数学实验
100
例题解
x = t cos(t), y = t sin(t), z = 2 t
40
3 0
z
20
10
0
20
10
0
-10
y
-20
-20
-10
x
10
0
20
x
cos
t
1
50绘制参数曲线
y
的图形
.
1
2
t
z
arctan
t
解：程序代码
：
2
>> t=-2*pi:pi/100:2*pi;
x=cos(t).*cos(t);y=1./(1+2*t);z=atan(t);
plot3(x,y,z);
grid;xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z')
1 .5
1
0.5
z
0
-0.5
-1
-1.5
100
0
-100
y
-200
0.2
0
0.4x
0.6
1
0.8
多元函数微积分
实验
6
多元函数微分学（基础实验）
实验目的
掌握利用
Matlab
计算多元函数偏导数和全微分的方法
,
掌握计算二元
函数极值和条件极值的方法
.
理解和掌握曲面的切平面的作法
.
通过作图和观察
,
理解二元
函数的性质、方向导数、梯度和等高线的概念
.
23
/
34
MATLAB
数学实验
100
例题解
求多元函数的偏导数与全微分
52
设
z
sin (
xy
)
cos
2
(
xy
),
求
z
z
2
z
2
z
,
,
,
.
x
y
x
2
x
y
解：程序代码
：
>> syms x y;
S=sin(x*y)+(cos(x*y))^2;
D1=diff(S,'x',1);
D2=diff(S,'y',1);
D3=diff(S,'x',2);
D4=diff(S,'y',2);
D1,D2,D3,D4
答案：
D1 = cos(x*y)*y-2*cos(x*y)*sin(x*y)*y
D2 = cos(x*y)*x-2*cos(x*y)*sin(x*y)*x
D3 =-sin(x*y)*y^2+2*sin(x*y)^2*y^2-2*cos(x*y)^2*y^2
D4 = -sin(x*y)*x^2+2*sin(x*y)^2*x^2-2*cos(x*y)^2*x^2
实验
7
多元函数积分学（基础实验）
实验目的
掌握用
Matlab
计算二重积分与三重积分的方法
;
深入理解曲线积分、曲面积分的
概念和计算方法
.
提高应用重积分和曲线、曲面积分解决各种问题的能力
.
计算重积分
54
计算
xy
D
2
dxdy
,
其中
D
为由
x
y
2
,
x
y
,
y
2
所围成的有界区域
.
解：程序代码
：
>> syms x y;
int(int(x*y^2,x,2-y,sqrt(y)),y,1,2)
答案：
ans =
193/120
重积分的应用
56
求旋转抛物面
z
4
x
2
y
2
在
Oxy
平面上部的面积< br>S
.
解：程序代码
：
>> int(2*pi*r,r,0,2)
答案：
ans =
4*pi
无穷级数与微分方程
实验
8
无穷级数（基础实验）
实验目的
观察无穷级数部分和的变化趋势
,
进一步理解级数的审敛法以及幂级数部分和对函数的
逼近
.
掌握用
Matlab
求无穷级数的和
,
求幂级数的收敛域
,
展开函数为幂级数以及展
24
/
34