高中数学典型例题解析---- 数列
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2021年01月30日 02:28
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高中数学典型例题解析
----
数列
§
4. 1
等差数列的通项与求和一、知识导学
1.
数列：按一定次序
排成的一列数叫 做数列
.2.
项：数列中的每一个数都叫做这个数
列的项，各项依次叫做这个数列的第
„
，第
1
项（或首项）
，第
2
项，
n示，那么这个公式
n
项，
„
.3.
通项公式：一般地，如果数列 ｛
a
｝的第ｎ项
与序号ｎ之间的关系可以用一个公式来表
叫做这个数列的通项 公式
.
4.
有穷数列
:
项数有限的数列叫做
有穷数列
.
5.
无穷数列
:
项数无限的数列叫做无穷数列
6.
数列< br>的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项
（或几项）间关系可以用一个公式来 表示，则这个公式就叫做
这个数列的递推公式
.
递推公式是给出数列的一种重要方法， 其
关健是先求出
a,a,
然后用递推关系逐一写出数列中的项
.127.等
差数列
:
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前
一项所 得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数
列
，
这
个
常< br>数
叫
做
等
差
数
列
的
公
差< br>，
公
差
通
常
用
ｄ
表
示．
等差中项
:
如果ａ，Ａ，ｂ这三个数成等差数
列，那么Ａ＝．
我们把 Ａ＝
22
叫做ａ和ｂ的等差中项．
二、
疑难知识导 析
1.
数列的概念应注意几点：
（
1
）数列中的数是按
一定 的次序排列的，如果组成的数相同而排列次序不同，则就
是不同的数列；
（
2
）同一数列中可以出现多个相同的数；
（
3
）
数列看做一个定义域为正整数集 或其有限子集
(
｛
1
，
2
，
3
，
„
，
n
｝
)
的
函
数
.2.
一个
数
列
的
通
项
公
式
通
常不
是
唯
一
的
系
：
若
数列｛
a
｝的前
n
项的和
S
与
a
间的关
之
a
而直接求
a
适
合
则不用分段形式表示，切不可不求
a.1nn
4.
从函数的角度考查等差数列的通项公式：
a=
a+(n-
1)d=d
·
n+
a-d,
a
是关 于
n
的一
n11na
次式；从图像上看，
表示等差数列的各点（n,
）均匀排列在一条直线上，由两点确
定一条
n
直线的性质，不难得出 ，任两项可以确定一个等差数
n
项之和公式的理解：等差数列的前
n
，若令< br>列
.5
、对等差数列的前
项之和公式可变形为
A
＝，
B
＝
a
－，则＝
An+Bn.1
n 1n2222S6
、在解决等差数列问题时，
如已知，
a
，
a
，
d
，
，
n
中任意三个，可求其余两个。
1nn
三、
经典例题导讲
[
例
一项比前一项大
1]
已知数列
1
，
4
，
7
，
10
，
„
，3n+7,
其中后
3.
（
1
）指出这个数列的通项公式；
（
2
）指出
1+4+
„
+
（
3n
－5
）
是
该
数
列
的
前
几
项之
和
.
错
解
：
（
1
）
a=3 n+7;n
- 1 -
归纳和总结是学好数学的必要方法，但是在这之前，
我们需要大量的练习。
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(2) 1+4+„+
（
3n
－
5
）是该数列的前
n
项之和
.
错
因：误把最后一项（含
n
的代数式）看成了数 列的通项
.
（
1
）若令
n=1,a=101,
显然
3n+71
不是
它
的
通
项
.
正
解
：
（
1
）
a=3n
－
2;n(2)
1+4+„+
（
3n
－
5
）
是
该
数
列
的
前
n
－
1
项
的
和
项
公
式
。
n
[
例
2]
已知数列的前项之和为
错
解
：
求数列的通
① < br>错因：在对数列概念的理解上，仅注意了
a
＝
S
－
S
与
的
关
系
，
没
注
意
a=
n-1< br>11a
当时，
时
也适合，
当时，
正
解
：
①
当
时
，
经检验
当时，
∴
例
3]
已知等差数列的前
n
项之和记为
S
，
错解：
S= S·
2d. d
＝
30
，
S= S+d =100.30104030
S=10
，
S=70
，则
S
等于
。
n103040n
错因：将等差数列中
S,
S
－
S,
S
－
S
成等差数列误解为
S,
S,
S
成等差数列
.m2mm3m2mm2m3m
列、的前
n
项和为
S
、
T.
若求；
nn
的一次函数，故由题意令
正解：由题意：得
代入得
S
＝。
40
例
4]
等差数
错解：因为等差数列的通项公式是关于
n
- 2 -
归纳
和总结是学好数学的必要方法，但是在这之前，我们需要大量的练习。
龙
文
教
育
----------
您
身
边
的
一
对
一
aSnn
错
因
：
误
认
为
正
解
：
bb
例
5]
已知一个等差数列的通项公式
a=25
－
5n
，求数列的前
n
项和 ；
错解：由
a0
得
负，
n
当
n6
时
，
S=
｜
a
｜
+
｜
a
｜
+｜
a
｜
+
„
+
｜
a
｜
＝n678n
前
5
项为非负，从第
6
项起为
错
因：一、把
n5
理解为
n=5
，二、把
“
前
n
项和
”
误认为
“
从
n6
起
”
的
和
.
正
解
：
例
6]
已知一个 等差数
列的前
10
项的和是
310
，前
20
项的和 是
1220
，
n
由此可以
确定求其前项和的公式吗？
由题
设
：
解：理由如下：
1
得
：
∴
例
7]
已
知
：
（
）
（
1
）
问前多少项之和为最
n
大？（
2
）前多少项之和的绝
对
值
最
小
？
解
：
（
1
）
∴
（
2
）
或
S
当近于
0
时其和绝
对值最小
nn
- 3 -
归纳和总结是学好数学的必要方法，但是在这之前，
我们需要大量的练习。
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令：
即
1024+
∵
∴
和
例
8]
.
99
得：
依
题
意
∵
证）
。
2n
四、典型习题导练
且< br>项
数
是
的
等
差
数
列
，
中< br>间
两
项
为
是
方
程
的
两
根< br>，
求
证
此
数
列的和是方程
的根。
（）
p
证明：
∵
∴
∴
∴
（获
．已知，求及。
2
．
设。
，求
证：
求
和
:
求
和
：
已
知
依
次
成
等
差
数
列
，
求
证
：
依
次
成
等
差
数
列
.
在等差数列中，
，则
（
）
。
5138910nA
．
72
B
．
60
C
．
48
D
．
已
知
是
等
差
数
列
，
且
满
足
，
则
等
于
________
。
已
知
数
列
成
等
差
数
列
，
且
，
求
的
值
。
等比数列的通项与求和一、知识导学
- 4 -
归纳和总结是学好数
学的必要方法，但是在这之前，我们需要大量的练习。
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----------
您身边的一对一
1.
等比数列：一般地，如果一个数列从第２项起，
每一项与它的前一项的比都等于
同
一
个
常
数，那
么
这
个
数
列
就
叫
做
等
比
数
列，这个常
数叫做等比数列的公比，公比通常用字母ｑ表示．
2.
等比中项：若ａ，Ｇ，ｂ成等比数列，
则称Ｇ
为ａ
和ｂ
的等比中项．
等比数列的前
n
项和公式：
二、疑难知识导析
1.
由于等比数列的每一项都可能作分
母，故每一项均不为
0
，因此
q
也不为
0.2.
对于公比
q
，要注意它是每一项与它前一项的比，
防止把相邻两项的比的次序 颠倒
.3.“
从第
2
项起
”
是因为首项没有
“前一项
”
，同时应注意如果一
个数列不是从第
2
项起，而是从第
3
项或第
4
项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此
数列不是 等比数列，这时可以说此数列从
.
第
2
项或第
3
项起是一 个等比数列
.n-14.
在已知等比
数列的
a
和
q
的前提下，利用通项公式
a=aq,
可求出等比数列中的任一
1n1
项
.n-m5.
在已知等比
数列中任意两项的前提下，使用
a=aq
可求等比 数列中任意一项
.nman1
列｛
a
｝的通项公式
a=aq
可改写为
.
当
q>0
，且
q1
时，
y=q
是
nn1
而是一个不为
0
的常数与指数函数的积，因此等比数列｛
a
｝的
n
其 余两个。
1nn
三、经典例题导讲
D.
既
是
等
差< br>数
列
，
又
是
等
比
数
列
（常 数）
n-
等比数
一个指数函数，
图象是函数的图< br>象上的一群孤立的点
.
qS7
．在解决等比数列问题时，如已知 ，
a
，
a
，
d
，
，
n
中任意三个 ，可求
例
1]
已知数列的前
n
项之和
S=aq
错
解
：
为等比数列，
（为非零常数）
，则为（
）
。
nnn
A.
等差数列
B.
等比数列
C.
既不是等差数列，也不是等比数列
即
B
。
n
- 5 -
归纳和总结是学好数学的必要方法，但是在这之前，我们需
要大量的练习。
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您身边的一对一
错 因：忽略
正解：当
＝
了中隐含条件
n
＞
n
＝
1
时，
aq;
当
（常数）
a=S
n>1
时，
但
既
不
是< br>等
差
数
列
，
也
不
是
等
比< br>数
列
，
选
例
C
。
S
，
2]
已知等比数列的前
n
项和记为
S=10
，
S=70
，则
S
等于
.
n10
40n
30
错解：
S= S
·
q . q
＝
7
，
q
＝，
S= S
·
q =. 30104030
错因：是将等比
数列中
S,
S
－
S,
S
－
S
成等比数列误解为
S,
S,
成
等
比
数
列
S
.
正
解
：
由
题
意
：
得
，
或
舍
（
例
去
）
求
和
：
3]
1
a+a+a+
„
+a.
＝
错
解
：
a+a+a+
„
+a
a
n
2
.
< br>错因：是（
）数列｛
｝不一定是等比数
列，不能直接套用等比数列前
项 和公式（
）用等
比数列前
解：当
n
项和公式应讨论
q
是否等于
1. 23n
正
a+a+a+
„
+a
＝
时
，
a< br>＝
0
时，
a+a+a+
„
+a
＝
0; 23n
当
时，
a
＝
1
当
23n
＝
a1
a+a+a+
„
+a
.
c,d[
例
4]
设均为非零
实数，
，
d
证
a,b,c
求证：成等比数列且公比为。
明
：
d
证法一：关于的二次方程有实根，
- 6 -
归纳和总结是学好数学的必要方法，但是在这之前，我们需要大量的
练习。
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您身边的一对一
∴，∴
则必有：
，即，∴非零实数成等比数列
q
设公比为，则，代入
∵，即，即。
∴
例
5]
在等比数
解
：
例
6]
求数列前项和
证
法
二
：
∵
∴，∴，且
列
中< br>，
，
求
该
数
列
前
7
项
之< br>积
。
∵非零，∴。
4
∵，∴前七项之积
解：
①
②
111111n
两式相减：