关于增根的一些问题
别妄想泡我
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2021年01月30日 03:43
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关于增根的一些问题
定义
增根
(extraneous
root
)
，在分式方程化为整式 方程的过
程中，
若整式方程的根使最简公分母为
0
，
(
根使 整式方程成
立，
而在分式方程中分母为
0)
那么这个根叫做原分式方程的增根
产生增根的来源
对于分式方程，当分式中 ，分母的值为零时，无意义，所
以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即
分式 方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转
化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方 程中未知
数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方
程未知数的允许值之外的值 ，那么就会出现增根。
(1)
分式方程
(2)
无理方程
(3)
非函数方程
分式方程增根介绍
在分式方程化为整式方程的过程中，
若整式方程的根使最
简公分母为
0
，
(
根使整式方程成立，
而在分式方程中分母为
0)
那么这个根叫做原 分式方程的增根
例：
x/(x-2)-2/(x-2)=0
解：去分母，
x-2=0
x=2
第
1
页
但是
X=2
使
X-2
和
X ^2-4
等于
0,
所以
X=2
是增根
分式方程两边都乘以最简公分母化分式方程为整公分母
的值不为
0
，则此解是分式方程 的解，若最简公分母的值为
0
，则此解是增根。
例如
:
设方程
A(x)=0
是
(x)=0
的根
,
称
x=a
是方程的
增根
;
如果
x=b
是方程
B(x)=0
的根但不是
A(x)=0
的根
,
称
x=b
是方程
B(x)=0
的失根
.
非函数方程增根介绍
在两非函数方程
(
如圆锥曲线)
联立求解的过程中，
增根的
出现主要表现在定义域的变化上。
例如：若已知椭圆
(x^2)/a^2+(y^2)/b^2=1(a>b& gt;0)
，
O
为原点坐标，
A
为椭圆右顶点，若椭圆上存在一点< br>P
，使
OP⊥PA
，求椭
圆的圆心率的范围。
存在一种解法：
椭圆上存在一点
P
，使OP⊥PA
，即是以
OA
为直径画
圆，
要求与椭圆有 除了
A(a,0)
以外的另外一个解。
所以联立
椭圆和圆的方程：
(x^2)/a^2+(y^2)/b^2=1
(x-a/2)^2+y^2=(a/2)^2→x^2+y^2-ax=0
< br>→b^2·x^2+a^2(ax-x^2)-a^2·b^2 =0
(*)
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因为有两个根，所以△>0
∴△=(2b^2
-a^2)>0
∴e≠(1/2)^(1/2) (
二分之根号二
)
而正解却是
由
(*)
得
x1=a x2=a·b^2/c^2
∴0
∴(1/2)^(1/2)
然而问题出在，无论怎么取，只要e≠(1/2)^(1/2)
，
好像△永远都
>0
于是我们取
e=1/2
假设
a^2=4 b^2=3 c^2=1
即可得椭圆
(x^2)/4+(y^2)/3=1·& middot;·①
与圆
x^2+y^2-
2x =0···②
联立即可得
x^2-8x+12=0
···(*)
有十字相乘
x1=2 x2=6
显然
此时
x2=6
是增根
将
x2=6
带入①式
y^2= -24
将
x2=6
带入②式
y^2= -24
将
x2=6
带入
(*)
式
y^2=2x-x^2= -24
可知这里的的确确是产生了一个增根，
而且在解题过程中
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