我的家乡作文600字-驰骋的意思

2021年1月30日发(作者：与你无关)


代数方程的复习




内容分析

本章学习了简单的高次方程、分式方程、无理方程以及简单的二次方程（组 ）的概
念及其解法，学习了列方程解应用题．到本章为止，可以说初等代数方程的基本知识内
容 已经大体完整．

本讲将代数方程的基本解法和常见题型做一总结，帮助大家更好的复习．


知识结构


整式方程

一元
方程

一次方程

二次方程

高次方程

二元一次方
程组

二元二次方程
组

有理方程

多元
方程
组

分式方程

代

数

方

程

无理方程

列方程解应用题




【练习
1
】

下列方程中，是二项方程的是（

A
．
x
3

3
x

0


【难度】★

【答案】
C

【解析】如果一元< br>n
次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的






方程就叫做二项方程．
A
.< br>左边没有非零常数；
B
.
左边含有未知数的两项；
D
.
右边不是零．

【总结】考查二项方程的概念．



）


C
．
x
4

1



D
．
x
(
x
2

1 )

8

0

选择题

B
．x
4

2
x
2

3

0

【练习
2
】

下列方程中，不是无理方程的是（


）


A
．
x
(
x

2)

3







B
．
(
2

1)
x

x
2

3




C
．
(
2
x

1)(
2
x

1)

3





D
．
x

1
x

3

【难度】★

【答案】
B

【解析】无理方程是根号下含有 未知数的方程，
B
选项的根号下是常数，容易错选．

【总结】考查无理方程的概念．

【练习
3
】

已知方程：①

x
5

x
2
2

3
x
；②
4
x

2

x

2
；③
1
1
3
x
2

5

0
；④

(
x

8
)(
x< br>
6)


1
.


这四个方程中，分式方程的个数是（

）

A
．
1



B
．
2



C
．
3



D
．
4
【难度】★

【答案】
C

【解析】分式方程是方程中的一种，是指分母里含有未知数的有理方程．





①中分母是常数，②③④分母中都含有未知数，是分式方程

【总结】考查分式方程的概念．




【练习
4
】

用换元法解分式方程
x
3
x
2

3
x
x
2

1

x

2

0
时，设
y

x
2

1
，原方程可变形为（

）





A
．
y
2

2
y

3

0


B
．
y
2

3
y

2

0

C
．
3
y
2

y

2

0

D
．
y
2

2
y

3

0
【 难度】★

【答案】
A

3
x
2

3
2
【解析】
x

3

x

1

x

3
y

，∴原方程变形为
y

3
y

2

0
即
y
2

2
y

3

0

【总结】考查换元后方程的变形问题．







2




【练习
5
】

如果关于
x
的方程
(
m
－
1
)
x

1
无解，那么
m
满足（



）
.



A
．
m

1




B
．
m

1



C
．
m

1



D
．任意实数
.
【难度】★

【答案】
B

【解析】当
m

1

0
时，

m

1

x

0
1
，即
m

1

【总结】考查方程无解的条件．


【练习
6
】

下列方程中，没有实数解的是（


）





A
．
x
2
4
x

2

x

2


B
．
x

2

x

0


C
．
x
4

x
2

2

0


D
．
x
2

y
2

1

【难度】★

【答案】
B

【解析】
B
中
x

2

0
即
x

2
， ∵
x

2

0
，
x

2,

x

2

x

2
，∴无解

【总结】考查无理方程的解的情况．


【练习
7
】

方程组


x
2< br>
y

1
）


x
2
< br>y
2

2

0
的解的个数是（






A
．
1



B
．
2



C
．
3



D
．
4
【难度】★

【答案】
B

【解析】由

式知
x
2
y
2

2
代入

式得
y
2

y

3

0
，


1

12

13

0
，∴有两个解．

【总结】考查方程的解法．


【练习
8
】
方程
3
x

5

x

1
的根 是（


）．





A．
x
1

2
，
x
2

3

B
．
x
1


2
，x
2


3





C
．
x

3






D
．
x


3

【难度】★★

【答案】
A

【解析】两边同时平方得：< br>3
x

5

x
2

2
x< br>
1
，即
x
2

5
x

6

0
，





即：

x

2

x

3


0
，解得：
x
1

2
，
x
2

3
，经检验，
x
1

2
，
x
2< br>
3
均是原方程的解．
【总结】考查无理方程的解法，注意解完要验根．





3


【练习
9
】

等式
16

x
2< br>
4

x

4

x
（





A
．
x

4

【难度】★★

【答案】
D



B
．
x

4




）

C
．
x


4



D
．

4

x

4

【解析】由
16

x
2

0
，得

4

x

4
，由
4

x

0
得
x


4
，由
4-
x< br>
0
得
x

4
，∴

4

x

4
．

【总结】考查二次根式的被开方数的非负性的运用．



【练习
10
】

若解分式方程
2
x
m
1
x

1
x

1

x2

x

x
产生增根，则
m
的值（


）





A
．
-1
或
-2


B
．
-1
或
2








C
．
1
或
2


D
．
1
或
-2
【难度】★★

【答案】
A

【解析】最简公分母为：
x
(
x
1)(
x

1)
；去分母：
2
x
2

x

1



m

1

x

1



x

1

2

x

1

；

把
x

0
代入方程，得：
m

1


1
,
m


2
；把
x
0
代入方程，得：方程无解；

把
x

0
代入 方程，得：
2(
m

1)

0
，
所以m


1
．




综上，
m


2
或
m


1
．

【总结】考查分式方程产生增根的条件．



【练习
11
】

分式方程
x
2

1
x
2

2
x

2
x

4
中，若设
y

x

1
x
，则原方程可化 为（







A
．
y
2

2
y

10

0






B
．
y
2

2
y

8

0






C
．
y
2

2
y

6

0






D
．
y
2

2
y

4

0

ww
.
zk
5
u
.
com

【难度】★★

【答案】
C


1
2
【解析】
原方程可变形为：

1


x
x



2



x
x



6

0
，∴原方程可化为 ：
y
2

2
y

6

0
．
【总结】考查分式方程的变形，注意完全平方公式的运用．






）


4


【练习
12
】

甲队为小区安装
60
台热水器，乙 队为
A
小区安装热水器
66
台，两队安装的天数相同，





乙队比甲队每天多安装
2
台，设乙队每天安装
x
台，则下列方程中正确的是（

）

66
60
66
60
66
60
66
60




A
．


B
．


C
．


D
．





x
x

2
x

2
x
x
x

2
x

2
x
【难度】★★

【答案】
A

【解析】乙比甲每天多
2
台，∴甲每天安装（
x
-2
）台

60
66
60
66




甲安装的天数为
，乙安装的天数为
，由题意知可列方 程：
=
．

x

2
x

2
x
x
【总结】考查方程的应用，注意寻找题目中的等量关系．



【练习
13
】

某项工程若乙单独做要比甲慢
3
天 完成，现甲乙合作
5
天，余下的再由甲独做
3
天完





成，求甲乙单独完成此项工程所需的时间，若设乙单独做需要
x
天，可列方程（



）

8
5
5
8
8
5
8
5




A
．
B
．
C
．

D
．


1




1



1




1

x

3
x
x

3
x
x
x

3
x

3
x
【难度】★★

【答案】
D

【解析】由题意知甲单独做需要
x

3
天，甲、乙的工作效率分别为
1
1
、
；

x

3
x




由甲乙先合作
5
天，然后甲单独做
3
天，可知甲一共做了
8
天，乙一共做 了
5
天，





∴可列方程
8
5


1
．

x< br>
3
x
【总结】考查方程在工程问题中的应用，注意工作总量通常看作“
1
”．



【练习
14
】

若
(
x

y

5)
2

(
xy

6)
2

0
，则
x

y
的值为（






A
．
6





B
．
-1




C
．
1


）







D
．
1
或
-1
【难度】★★

【答案】
D


x
y

5

0

x

y
5
，
即

【解析】由题意知

，

x y

6

0
xy

6






所以

x

y


x

y


4
xy
< br>25

24

1
，∴
x

y
的值为
1
或
-1
．

【总结】本题一方面考查了非负数的和为零的基本模型，另一方面考查了整体思想的运用．




5
2
2

【练习
15
】

已知
a
为非负整数，关于
x
的方程
2
x

a
1

x
a

4

0
至少有一个整数根，则
a
可能




取值的个数为（






A
．
4



）

B
．
3



C
．
2




D
．
1
【难度】★★★

【答案】
B

【解析】由题意，显然满足条件的
x
，必然使得
1

x为整数，否则
a

2
x

4
不可能为整数，< br>
1

x

1



< br>设
1

x

y
（
y
为非负数），则 原式化为：
2(1

y
2
)

ay
a

4

0
，

即
a
2(1

y
2
)

4
4
1

y

2(1

y
)

1

y
，因为
y
非负，所以要使得
a
为整数，则
y
= 0
、
1
、
3
；
此时
a
=6
、2
、
-3
（舍），当
a
=0
时，方程也有一个整数根， 故
a
=6
或
2
或
0
，故选
B
．< br>
【总结】考查无理方程的根的情况，对至少一个整数根要准确理解．






填空题

【练习
16
】

（
1
）方程
(
x

1)
3

27

0
的根是
__ _____________
；




（
2）方程
(
x

1)
4

16

0
的根是
___________________
．

【难度】★

【答案】（
1
）
x

4

；


（
2
）
x
1

3
，
x
2


1
．

【解析】（
1
）因 为

x

1

3

27
，故解得 原方程的解为：
x

4
；




（
2
）因为

x

1

4
< br>16
，故解得原方程的解为：
x
1

3
，
x
2


1
．

【总结】考查高次方程的解法，注意非负数的偶次方根有两个．







6






【练习
17
】

关于
x
的方程
(
bx
)
2

1

0
(
b

0)
的根是
_________________
．

【难度】★

1
1
【答案】
x
1

，
x
2


．

b
b
【解析】
原方程可变形为：
b
2
x
2

1

0
，
即
x
2

1
1
1
2
，
因为
，
所以原方程的解为
．

b

0
x

，
x


1
2
2
b
b
【总结】考查高次方程的解法．



【练习
18
】

x
2

3
xy< br>
2
y
2

0
可化成两个一次方程是
___ _____________
．

【难度】★

【答案】
x

y

0
、
x

2
y

0

【解析】由十字相乘法得

x

y
 
x

2
y


0
，∴
x

y

0
或
x

2
y

0
．

【总结】因式分解与方程的解法相结合考查．



【练习
19
】

一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二 次方程组的解是


x

1
和

y

2







x


1

y


2
，

试写出一个符合要求的方程组
_______________________
．

【难度】★

【答案】


y

2
x
．

xy

2

【解析】由题意可以观察出，
y
是
x
的两倍，
x
与
y
之积为
2
，故可得：


y

2
x

xy

2




【练习
20
】

方程
x
2

3< br>x

2

4
x

8
x
2< br>
3

3
的解是
______
．

【难度】★★

【答案】
x
1

5
，x
2


1
．


b
7

x
2

3
4
【解析】令
y
< br>，则原方程变形为
y


3
，即
y
2

3
y

4

0
，解得：
y
1


1
，
y
2

4
，

y
x

2
x
2

3
x
2

3
2
当
当
解得：
x
1

5
，
x
2


1
，



1
时，
x

x

5

0，无解
；

4
时，

x

5

x

1


0
，
x

2
x

2
经检验
x
1

5
，< br>x
2


1
是原方程的解．

【总结】考查换元法解分式方程，注意解完后要检验．



【练习
21
】

（
1
）方程
x

1

x

7
的根是
______________
；




（
2
）方程
x

2

2
x

1

3

0
的根是
______________
．

【难度】★★

【答案】（
1
）
x

10
；
（
2
）
x

1
．

【 解析】（
1
）首先考虑
x

1

0
，即< br>x

1
，两边同时平方得：
x

1

x
2

14
x

49
，

即< br>
x

5

x

10


0
，解得：
x
1

5
，
x
2< br>
10
，经检验
x
1

5
是原方程的增根，

所以原方程的根为：
x

10
；

（< br>2
）由
x

2

0
且
2
x

1

0
，得
x

1
；对原方程 两边同时平方得：
2
x
2

3
x

5
0

2
5
5
即

x
1

2
x

5


0
，∴
x
1

1
，
x
2


， 经检验
x
2


是原方程的增根，

2
2
所以原方程的解为：
x

1
．

【总结】考查无理方程的解法，注意解完后要检验．



【练习
22
】

方程
2
x
4
< br>mx
2

3

0
有
______
个 实数根．

【难度】★★

【答案】
2
个．
【解析】
首先用换元法，
令
t

x
2
，
降次得
2
t
2

mt

3

0
，
根据一元二次方程根的判别式，
可知：






0
，
则方程有两不相等的实数根，再由：根与系数的关系（韦达 定理）可知方程两根之积为负，

则舍掉负根，那么其中的一个正根必然会对应两个解，也就是
x
的值．

【总结】考查高次方程的解的个数．




8

【练习
23
】

学校举行乒乓球女子单打比赛，采用单循环赛制，共 比赛
21
场，则参加比赛的选手有






___________
名．

【难度】★★

【答案】
7

【解析】
假设参赛选手有
n
人，那么每个人都要和除了自己以外的
(
n

1)
个人去打比赛，< br>则
n
个人就

要打
n
(
n

1)
场，又因为比赛单循环赛制，这样算下来有重复，所以再除以
2
，即可得最终比 赛

场次，那么根据题意可列出方程：
1
2
n
(
n

1)

21
，解得：
n
=7
，即参赛选 手有
7
名．

【总结】考查学生的知识广度，本题涉及到一些小升初奥数知识，有条件的老师可略加拓展．


【练习
24
】

（
1
）当
m< br>______
时，方程
x

5

2

m
有实数解；




（
2
）方程x

1

1

m
无解，
m
的 值为
__________
．

【难度】★★

【答案】（
1
）
m

2

；（
2
）
m


1
．

【解析】（
1
）由
2

m

0
，得
m

2
；（
2
）由
1

m
< br>0
，得
m


1
．

【总结】考查二次根式的非负性的运用．



【练习
25
】

方程
5
3
6
1< br>
x

k
x

1

x
2< br>
1
产生增根，则
k
=_________
．

【难度】★★

【答案】
k
=

5
3或
k


1
．

【解析】两边同时乘以
x
2

1
，可得：

2
x

8

6
k
，
即
x


4

3
k
；

当
x

1
或
- 1
时，方程有增根，所以
当

4

3
k

1
时，
k


5
3
；

当

4

3
k


1
时，
k


1
，

综上所述
k=

5
3
或
k


1
．

【总结】考查方程有增根的情况，注意先化成整式方程再代值计算．





9


【练习
26
】
< br>当
a
=______
时，关于
x
的方程
【难度】★★

【答案】
a
=

3
或
0
．
【解析】当
a
=

3
时，方程可化为
3
a无解．


x

3
x

a
3

3
3


0
，无解．

，无解 ；当
a
=0
时，方程可化为
x

3
x
< br>3
x

3
【总结】考查方程无解的条件，注意进行分类讨论．



1
1
【练习
27
】

若(
x

)
2

9
，则
(
x< br>
)
2
的值为
__________
．

x
x
【难度】★★

【答案】
5
1
< br>
1


【解析】

x




x



4

9

4

5
．

x


x


2
2
【总结】考查完全平方公式的应用．



【练习
28
】

已知关于
x
的分式方程
【难度】★★

【答案】
a


1
且
a


2
．

【解析】由题意，先去分母，得：
a

2

x
< br>1
，解得：
x

a

1
．





首先，因为方程解是非正数，那么：
x

a

1

0
，解得：
a

1
，

其次，必须满足原分式方程分母不为零：即
x

1

0
，
x


1
，

即
a

1


1
，解得：
a
< br>
2
，因此，
a


1
且
a


2
．

【总结】考查方程的解的应用及方程有意义的隐藏条件．




【练习
29
】

一本书有
a
页，若每天看
b
页，则需要
____
天看完；若每天多看
3
页，则需要
_ ____
天





看完；若要比原来提前3
天看完，则每天需要比原来多看
______
页．

【难度】★★

a

2

1
的解是非正数 ，则
a
的取值范围是
__________
．

x

1
3
b
2
a
a
【答案】
、
、< br>．

b
b

3
a

3
b

10

【解析】每天看
b
页，需要
a
b
天看完；每天多看
3
页，需要
a
b

3
天看完；< br>




若要比原来提前
3
天看完，即现 在需要
a
b

3
天看完，现在每天看
a
a

ab
，

b

3
a

3
b




∴现在每天比原来多看
ab
3b
2
a

3
b

b

a

3
b
页

【总结】考查分式方程的应用．




【练习
30
】

两个连续的正偶数的和的平方是
196，这两个数是
______
．

【难度】★★

【答案】
6
、
8
．

【解析】设这两个数分别为< br>x
、
x
+2
，则

x

x

2

2

196
，∴
2
x
< br>2

14
，解得：
x

6
，




∴这两个数分别是
6
、
8
．

【总结】考查方程在数字问题中的简单应用．




【练习
31
】

方程
4
x
2
< br>3
x

3
y
2

5
y
< br>3

0
的解中，
x
、
y
互为相反数的解是< br>________
．

【难度】★★

【答案】
x< br>

1
，
y

1
或
x
< br>3
，
y


3
．

【解析】由题意 ，
x
、
y
互为相反数，即
y


x
，代入方程得：
4
x
2

3
x

3(< br>
x
)
2

5(

x
)

3

0




化简得：
4x
2

3
x

3
x
2
-5< br>x

3

0
，即：
x
2

2
x

3

0
，
(
x

1)(
x

3)

0
，





解得：
x


1
或
x

3
，所以
y

1
或
y

< br>3





所以互为相反数的两个解是
x


1
，
y

1
或
x

3
，
y


3
．

【总结】考查方程的解的应用．






11

我的家乡作文600字-驰骋的意思

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