电像法
玛丽莲梦兔
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2021年01月30日 04:36
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青春演讲稿-科技幻想画
/jp2007/02/wlkc/htm/c_4_p_
§
4.4
镜像法
镜像法是求解电磁场的一种特殊方法，特别适用于边界面较规则
(< br>如平面、
球面和柱面等
)
情况下，
点源或线源产生的静态场的计算问题 。
例如当一点电荷
q
位于一导体附近时，
该导体将处于点电荷
q产生的静电场中，
在导体表面上会产
生感应电荷，
则空间的电场应为该感应电荷产 生的电场和点电荷
q
产生的电场的
叠加。
一般情况下，
在空间电场未 确定之前，
导体表面的感应电荷分布是不知道
的，因此直接求解该空间的电场是困难的。
然而，在一定条件下，可以用一个或多个位于待求场域边界以外虚设的等
效电荷来代替导体 表面上感应电荷的作用，
且保持原有边界上边界条件不变，
则
根据惟一性定理，
空间电场可由原来的电荷
q
和所有等效电荷产生的电场叠加得
到。这些等效电荷称为
镜像电荷
，这种求解方法称为
镜像法
。
可见，
惟一性定理是镜像法的理论依据。
在镜像法应用中应注意以下几点：
(1)
镜像电荷位于待求场域边界之外。
(2)
将有边界的不均匀 空间处理为无限大均匀空间，
该均匀空间中媒质特性
与待求场域中一致。
( 3)
实际电荷
(
或电流
)
和镜像电荷
(
或电流)
共同作用保持原边界上的边界
条件不变。
4.4.1
点电荷对无限大接地导体平面的镜像
z
q
d
0
x
图
图
设在自由空间有一点电荷
q
位于无限大接地导体平面上方，且与导体平面< br>的距离为
d
。如图
4.2(a)
所示
上半空间的电 位分布和电场强度计算可用镜像法解决。待求场域为
z
0
空
间，边 界为
z
0
的无限大导体平面，边界条件为在边界上电位为零，即
(
x
,
y
,
z
)
0
(4.29)
设想将无 限大平面导体撤去，
整个空间为自由空间。
在原边界之外放置一镜
像电荷
q< br>'
，当
q
'
q
，且
q
'
和
q
相对于
z
0
边界对称时，如图
4 .2(b)
所示。点
电荷
q
和镜像电荷
q
'
在边界 上产生的电位满足式
(4.29)
所示的边界条件。
根据镜像法原理，在< br>z
0
空间的电位为点电荷
q
和镜像电荷
q
'
所产生的电
位叠加，即
q
4
0
x
2
y
2
(
z
d
)
2
{
1
1
/
2
1
x
y
(
z
d
)
2
2
2
1
/
2
}
(4.30)
上半空间任一点的电场强度为
E
E
电场强度
的三个分量分别为
E
x
q
{
x
2
2
2
3
/
2
4
0
x
y
(
z
d
)
q
{
y
x
x
y
(
z
d
)
2
2
2
3
/
2
}
(4.31a)
3
/
2
E
y
4
0
x
2
y
2< br>
(
z
d
)
2
< br>q
{
z
d
3
/
2
y< br>
x
y
(
z
d
)< br>
2
2
2
}
(4.31b)
3
/
2
E
z
4
< br>0
x
2
y
2
(
z< br>
d
)
2
3
/
2< br>
z
d
x
y
(< br>z
d
)
2
2
2< br>}
(4.31c)
E
E
y
0
可见，在导体表面
z
0
处，
x
，只 有
E
z
存在，即导体表面上法向
电场存在。导体表面感应电荷分布可由边界条 件
S
D
n
0
E
z
决定，即
S
qd
2
(
x
y
d
)
qd
2
(
r
d
)
2
2
3
/
2
2
2
2
3
/
2
(4.32a)
或
S
(4.32b)
式中
r
x
y
2
2< br>2
。
它是导体表面上任一点到
原点的距离的平方。
由式(4.32)
可以看出，
导体表面上感应
电荷分布是不均匀的，
感应电荷 密度分布如
图
4.3
所示。
导体表面上感应电荷总量为
q
S
图
4.
S
dx
d
y
q
导体表面上感应电荷对点电荷
q
的作用力，也可用镜像电荷
q
'
对点电荷
q
的< br>作用力来计算，即
F
q
2
2
16
0
d
a
z
(4.33)
若在无限大接地导体平面附近有多个点电荷存在，
则可给出每个点电荷对应的镜像电荷的位置和大小，
空间电场将是所有点电荷及其镜像电荷产生的电场的
叠加。
r
P
0
0
r
图
4.4(a)
图
4.4(b)
线电荷 和无限大接地
线电荷对无限大接地
导体平面
导体平面的镜像
4.4.2
线电荷对无限大接地导体平面的镜像
设一无限长的均匀带电的直线电荷，
位 于无限大接地导体平面上方，
且与导
体平面平行，线电荷密度为
l
，与导体平面距离为
h
，如图
4.4(a)
所示
我们可以 将无限长的线电荷看作无数个点电荷的集合。
根据点电荷对无限大
接地导体平面的镜像原理，< br>可得到线电荷对应的镜像电荷仍为平行于导体表面的
线电荷，其电荷密度为
l
，位置如图
4.4(b)
所示。由第二章中
【
例
2-4
】
，可
得待求场域
(
y
0)
中的 电位为
l
2
0
2< br>ln
r
2
r
1
(4.34)
2
1
/
2
式中，
r
1
< br>[
x
(
y
h
)
]
2< br>2
1
/
2
,
r
2
[
x< br>
(
y
h
)
]
。
当< br>r
1
r
2
时，
0
， 满足接地导体平面边界电位为零的条件。
上半空间的电场为
E
l
2
0
r
1
a
r
1
l
2
0
r
2
a
r
2
(4.35a)
或
E
l
2
0
[
x
(
y
h
)< br>]
2
2
1
/
2
a
r
1
l
2
0
[
x
(
y
h
)
]
2
2
1
/
2
a
r
2
(4.35b)
4.4.3
点电荷对无限大介质平面的镜像
设一点电荷
q
位于一无限大介质分界平面附近，且与分界面的距离为
d
，界
面两 侧介质的介电常数分别为
1
和
2
，如图
4.5 (a)
所示。
(a) (b) (c)
图
4.5
点电荷对无限大介质平面的镜像
由于点电荷
q
产生的电 场对界面两侧的介质均有极化作用，
在介质分界面两
侧将出现极化电荷，空间任一点的电位将由 点电荷和分界面的极化电荷共同产
生。
设想用镜像电荷代替界面上极化电荷的作用，
并 使镜像电荷和点电荷共同作
用，满足界面上的边界条件，根据惟一性定理，空间场就可唯一确定了。
在两种介质分界面上边界条件为
1
2，
D
1
n
D
2
n
，
E1
t
E
2
t
(4.36)
由于分界面两侧均为待求场域，所以要对两个区域分别讨论。
当待求区域为介质
1
所在区域时
设想一镜像电荷
q
'
位于区域
x
中，且
q
'
的位置与
q
关 于分界面对称，如图
4.5(b)
所示
。此时，将整个区域的介电常数视为
1
，那么区域
1
中任一点的电
位为
1
q
4
1
R
q
'
4
1
R
'
(4.37)
区域
1
内，任一点处的电位移矢量为
D
1
q
4
R
2
a
R
q
'
4
R
'
2
a
R
'
(4.38)
当待求区域为介质
2
所在区域时
设想一镜像电荷
q
''
位于区域
1
中，且
q
''
的位置与
q
重合，同时将整个空间
视为均匀介质
2
，如图
4.5(c)所示。于是，区域
2
种任一点的电位和电位移矢
量分别为
< br>2
q
q
''
4
2
R
''
(4.39)
(4.40)
q
q
''
D
2
a
R
''
2
4
R
''
在分界面上，当
R
< br>R
'
R
''
时，式
(4.37)
和
(4.39)
应满足电位连续的边界条件，
得
q
q< br>'
q
q
''
1
2
(4.41)
式
(4.38)
和式
(4.40)
应满足法向分量相等的边界条件，可得
q
q
'
q
q
''
(4.42)
联立式
(4.41)
和式
(4.42)
可得
q< br>'
q
''
1
2
1
2
q
(4.43)
我们将
q
'
和
q
''
代入式
(4.37)
、式
(4.38)
、式
(4.39)
和式
(4.40)
中，便可得
到两个区域中的电位和电场分布。
4.4.4
线电流对无限大磁介质平面的镜像
设一无限长的直线电流
I
位于一 无限大磁介质分界面平面附近，该电流与分
界面平行，且与分界面距离为
d
，界面两侧 磁介质的磁导率分别为
1
和
2
，如
图
4.6(a)
所示。
由于电流
I
产生的磁场对界面两侧的磁介质均产生磁化作用，在分界面上
出现磁化电流，设想用镜像电流代替磁化电流的作用，并在界面上保持原有边
界条件不变，则空间磁场就可以用电流
I
和镜像电流产生的磁场叠加来计算。
1.
当计算上半空间的磁场时
可认为整个空间充满磁导率为
1
的磁介质，在下半空间有一镜像电流
I
'
，
且
I'
与
I
关于分界面对称，
如图
4.6(b)
所示。上半空间任一点的磁场由电流
I
和
镜像电流
I
'
共同产 生，即
H
1
I
2
r
a
I
'
2
r
'
a
'
(4.44)
2.
当计算下半空间磁场时
可认为整个空间充满磁导率为
2
的磁介质，在上半空间有一镜像电流
I
''
，
且
I''
与电流
I
位置重合，
如图
4.6(c)
所示。下半空间任一点的磁场由电流
I
和镜
像电流
I
''
共同 产生，即
I
I
''
H
2
a
''
2
r
''
(4.45)
在分界面上，当
r
r
'
r''
时，磁场的边界条件为
H
1
t
H2
t
，
B
1
n
B
2
n (4.46)
从图
4.6(b)
和图
4.6(c)
可以看出
H
1
t
I
2
r
sin
I
'
2
r
sin
H< br>2
t
I
I
''
2
r
sin
1
I
'
2
r
cos
B
1
n
1
I< br>2
r
cos
B
2
n
2
(
I
I
'')
2
r
cos
由边界条件式
(4.46)
得
I
I
'
I
I
''
(4.47)
1
(
I
I
')
2
(
I
I
'')
(4.48)
联立式
(4.47)
和式
(4.48)
可得
I
'
I
''
2
1
2
1
I
(4.49)
(c)
(a)
(b)
图
4.6
线电流对无限大磁介质平面的镜像
根据两 种磁介质参数
1
和
2
的不同，由式
(4.49 )
可确定镜像电流
I
'
和
I
''
的
大小和 方向。
(1)
当
2
1
时 ，
则
I
'
0
，
I
''
0
，
说明
I
'
与
I
方向一致，
I
''
与
I
方向相反；
(2)
当
2< br>
1
时，
则
I
'
0
，
I
''
0
，
说明
I
'
与
I
方向相反，
I
''
与
I
方向相同；
(3)
当
1
有限，
2
， 即第二种媒质为铁磁物质时，则
I
'
I
，
I
''
I
，
此时，铁磁质中各点的磁场强度
H2
为零。而磁感应强度的大小为
B
2
lim
2
H
2
lim
[
2
(< br>I
2
2
< br>
I
1
I
)
]
1
< br>1
2
2
r
r
< br>1
2
(4.50)
(4)
当
1
，
2
为有限 时，则
I
'
I
，
I
''
< br>I
，说明当电流
I
位于磁物质
中时，下半空间的磁感应强度比电流位于 整个空间充满磁介质
2
时产生的磁感
应强度增加了一倍。
4.4.5
点电荷对半无限大接地导体角域的镜像
n
由两个半无限大接地导体平面形成角形边界，
当其夹角
，
n为整数时，
该角域中的点电荷将有
(2
n
1)
个镜像 电荷，该角域中的场可以用镜像法求解。
（
1
）当
n
< br>1
时，角形边界变成无限大平面边界问题，在
4.4.1
中已给出了
详 细讨论。
(2)
当
n
2
时，该角域为直角形边 界，如图
4.7(a)
所示。
y
q
3
q
x
q
2
q
1
(b)
(a)
图
4.7
点电荷对半无限大接地导体直角域的镜像
< br>点电荷
q
与两平面的距离分别为
d
1
和
d
2
，
根据镜像法原理，
该角域外有
3
个
q
2
q
q
3
q
q
2
镜像电荷< br>q
1
、
和
q
3
，
它们的位置如图
4 .7(b)
所示。
其中
q
1
q
，，
，
该角域内的场就由点电荷
q
和
3
个镜像电荷产生的 场的叠加获得。
(3)
当
n
3< br>时，
该角域形状如图
4.8(a)
所示。
角域外有
5
个镜像电荷，
其大
小和位置如图
4.8(b)
所示。值得注意的是角域边界的 所有镜像电荷都正负交替
地分布在同一个圆周上，
该圆的圆心位于角域的顶点，
半径为 点电荷
q
到顶点的
距离。