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2021年01月30日 08:27
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送东阳马生序读后感-
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整式
第一节整式的概念
9.1.2.3
、字母表示数
代数式
：用括号和运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式。
单独的数或字母
也是代数式。
代数式的书写
：
1
、代数式中出现乘号通常写作“
*
”或省略不写，但数与数相乘不遵循此原
则。
2
、数字与字母相乘，数字写在字母前面，而有理数要写在无理数的前面。
3
、带分数应写成假分数的形式，除法运算写成分数形式。
4
、相同字母相乘通常不把每个因式写出来，而写成幂的形式。
5
、代数式不能含有“
=
、丰、
＜
、
＞
、》、
w
”符号。
代数式的值：
用数值代替代数式中的字母，
按照代数式的运算关系计算出的结果，
叫代数式
的值。
注意：
1
、代数式中省略了乘号，带入数值后应添加
X
。
2
、
若带入的值是负数时，应添上括号。
3
、
注意解题格式规范，应写“当
…
••
时，原式
=
……
••
”
.
4
、
在实际问题中代数式所取的值应使实际问题有意义。
9.4
整式
1
、由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式。单独一个数或字母
也是单项式。
2
、
系
数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
3
、
单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项
式的次数。
4
、
多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的
项叫做常数项。
5
、
多项式的次数：多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的
次数
6
、
整式：单项式和多项式统称为整式。
9.5
合并同类项
1
、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做
同类项。
2
、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。
一个多项式合并后含有几项，这个多项式就叫做几项式。
3
、合并同类项的法则是：把同类项的系数相加的结果作为合并后
的系数，字母和字母的指数不变。
第二节
9.6
整式的加减：
去括号法则：
（
1
）括号前面是
＋
号，去掉
＋
号和括号，括号里各项的不变号；
（
2
）括号前面是
－
号，去掉
－
号和
括号，括号里的各项都变号。
添括号法则
（
1
）所添括号前面是“
+
”号，括到括号里的各项都不变符号；
（
2
）所添括号前面是“－”号，括到括号里的各项
都改变符号。
第三节整式的乘法
9.7
同底数幂的乘法、
9.8
幂的乘方、
9.9
积的乘方：
①
同底数幂的乘法
a
•
a
n
=a
m+n
（
m
、
n
都是正整数
）< br>。
同底数幕相乘，底数不变，指数相加。
②
幕的乘方与积的乘方
（
a
m
）
n=a
mn
（
m
、
n
都是正整数
）
幕的乘方，底数不变，指数相乘。
（
ab
）
n
=a
n
b
n
（
n
都是正整数
）
积的乘方等于各因式乘方的积。
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③
同底数幕的除法
a
*
a
n
=a
m-n
（
a
丰
O,mn
都是正整数，且
m
>
n
）
同底数幕相除，底数不变，指数相减。
a
°
=1
（
a
工
0
）任何一个不等于零的数的零指数幕都等于
a
-p
=
上工
°
，
P
是正整数
）
1
。
任何一个不等零的数
的
-p
（< br>p
是正整数
）
指数幕，等这个数的
p
指数幕的倒数。
9.1°
整式的乘法：
⑴单项式与单项式相乘：
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的
字母，则连同它的指数
作为积的一个因式。
⑵单项式与多项式相乘：
单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式的每一项，
即。
注意：单项式乘多项式实际上是用分配率向单项式相乘转化。
⑶多项式与多项式相乘：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，
相加，
即（
a + b
）
（
m+n
）
=am+bm+an + bn
o
第四节、乘法公式
再把所得的积
再把所得的积相加，
9.11
平方差公式
①
内容：
（
a + b
）
•
（
a
—
b
）
=a
2
—
b2
②
意义：
两个数的和与这两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差。
③
特征：
I
.
左边是两个二项式相乘，这两项中有一项相同，另一项互
为相反数；
n
.
右边是乘式中两项的平方差；
川
.
公式中的
a
和
b
可以使有理数，也可以是单项式或多项 式。
④
几何意义：
平方差公式的几何意义也就是图形变换过程中面积相等
的表达式。
⑤
拓展：
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I
.
立方和公式：
(
a
+
b) (a
2
—
ab
+
b
2
)=a
3
+b
3
;
II
.
立方差公式：
(
a
—
b) (a
2
+ab
+
b
2
)=a
3
—
b
3
。
(a
—
b) (a + ab + ab
2
+
…
+a
2
b + ab + b)=a
-
b
。
9.12
完全平方公式：
①
内容：
(a + b)
2
=a
2
+ b
2
+2ab;
(a
—
b)
2
=a
2
+b
2
—
2ab
。
②
意义：
两数和的平方，等于它们的平方和，加上它们积的
2
倍。
两数差的平方，等于它们的平方和，减去它们积的
2
倍。
③
特征：
I
.
左边是一个二项式的完全平方，
右边是一个二次三项式，
其
中有两项是公式左边二项
式中每一项的平方，
另一项 是左边二项式中两项乘积的
2
倍，可简记为“首平方，尾
平方，积的
2
倍在中央。
”
I
.< br>公式中的
a
、
b
可以是单项式，也可以是多项式。
④
推广：
I
.
(a + b + c)
2
=a
2
+b
2
+c
2
+2ab + 2bc + 2a
I
.
(a + b)
3
=a
3
+b
3
+3a
2
b + 3ab
2
;
ID
.
(a
—
b)
3
=a
3
—
b
3
—
3a
2
b + 3ab
2
。
第五节因式分解
⑴因式分解的意义：
c
;
把一个多项式化为几个整式积的形式，
这种变形叫做把这个多项式因式分解，
也叫做
把这个多项式分解
因式，即多项式化为几个整式的积。
注意：①因式分解的要求：
I
.
结果一定是积的形式，分解的对象是多项式
;
I
.
每个因式必须是整式
;
D
.
各因式要分解到不能分解为止。
②因式分解与整式乘法的关系：
是两种不同的变形过程，即互逆关系。
9.13
提取公因式法：
①
提公因式法分解因式：
ma+mb+mc=m(a+b+c)
，这个变形就是提公因式法分解因式。
这里的
m
可以代表单项式， 也可以代表多项式，
m
称为公因式。
确定公因式方法：
系数：取多项式各项系数的最大公约数。
字母
(
或多项式因式
)
：取各项都含有的字母
(
或多项式因式
)
的最低次
幂。
9.14
公式法
②
利用公式法分解因式：
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I
.
平方差公式：
a
2
—
b
2
=(a + b) • (a —
b)
。
II
.
完全平方公式：
a
2
+b
2
+2ab=(a + b)
2
;
a
2
+ b
2
—
2ab=(a
—
b)
2
。
ID
.
立方和与立方差公式：
a
3
+b
3
=(a
+
b)
(a
2
—
ab
+
b
2
);
a
3
—
b
3
=(a
—
b) (a
2
+ab+b
2
)
。
注意：
(1)
公式中的字母
a
、
b
可代表一个数、一个单项式或一个多项 式。
(2)
选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式
应考虑平方差或立方和、立方差公式；若多项
式是三项式，可
考虑用完全平方公式。
9.15.
十字相乘法
：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解
因式的方法叫做十字相乘法。
x
2
+(a + b)x + ab=(x + a) (x + b)
。
9.16
分组分解法：
I
.
将多项式的项适当的分组后，组与组之间能提公因式或运用公式分解。
I
.
适用范围：适合四项以上的多项式的分解。
分组的标准为：分组后能提公因式或分组后能运用公式。
④
其他方法：
.
求根公式法：若
a x
2+
b x
+
c = O (a^O)
的两根是
x 1
、
x 2 ,
a x
2+
b x
+
c
=
a ( x
-
x 1) ( x
-
x 2 )o
⑶因式分解的一般步骤及注意问题：
①
对多项式各项有公因式时，应先提供因式。
②
多项式各项没有公因式时，如果是二项式就考虑是否符合平方差
公式；如果是三项式就考虑是否
符合完全平方公式或二次三项式的
因式分解；如果是四项或四项以上的多项式，通常采用分组分解法。
分解因
式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止。
第六节整式除法：
9.17
同底数幂的除法
同底数幂相除，底数不变，指数相减。
任何不等于零的数的零次幂为
1
，既：
9.18
单项式除以单项式：
单项式与单项式相除的法则：
单项式与单项式相除，把系数、
同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有
的字母，则连同它的指
数作为商的一个因式。
注意：①两个单项式相除，只要将系数及同底数幕分别相除即可。
②只在被除式里含有的字母不不要漏掉。
9.19
多项式与单项式相除：
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多项式与单项式相除的法则：
一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的
商相加，
即
(
m a
+
mb
+
mc
+
d m) ^m
=
a
m
+
b
m
+
c m^m
+
d m^mo
注意：这个法则的使用范围必须是多项式除以单项式，反之，单项式除以多项式是不能这样
计算的。
⑶整式的混合运算：
关键是注意运算顺序，先乘方，在乘除，后加减，有括号时，先去小括号，再去中括号，
最后去大括号，先做括号
里的。
a
m
•
a
n
=a
m+n
I.
>
『■・・・・■・・・・■・・
—
・・・・・・・・■・・・「
『・・』“・・■! »
-
»
> -
・・・』
・
・・・』.«
(a
)
=a
m
n
mn
»单项式的乘法
■ 多项式的乘法
E
E
r.
孑
”
・・・
r
2
因卜提公因式法
分
乘法公式
解
'
公式法
■i■r
(ab)
n
=a
n
b
n
a
+
a
=a
m
n
m-n
:
—
►
单项式的除法
...........
i
多项式除以单项式
第十章
10.1
、
(
1
)
、分式的意义
两个 整式
A/B
相除，即
A
十
B
时，可以表示为
A/B.
如果
B
中含有字母，那么
A/B
叫做
分式。
A
叫做分式的分
子，
B
叫做分式的分母。
如果一个分式的分母为零，那么这个分式无意义。
10.2
(
2
)
、分式的基本性质
整式和分式统称为有理式：：即有理式
整式
’
《
分式
I
分式的分子和分母同时乘以
(
或除以
)
同一个不为
分式的值不变。用式子表示为：
0
的整式，
A/B=A*C/B*C A/B=A +C/B
弋
(
A,B,C
为整式，且
B
、
C
M0)
①约分
：
把一个分式的分子和分母的公因式约去
，
这种变形称为分式
的约分
.
②
分式的约分步骤：
(1)
如果分式的分子和分母都是或者是几个乘积的形式
公因式约去
，
将它们的
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(2)
式约去
.
注
:
公因式的提取方法
：
取分 子和分母系数的
，
字母取分子和分
母共有的字母
，
指数取 公共字母的最小指数
，
即为它们的公因式
.
③
一个分式的分子和分母没有公因式时
，
这个分式称为最简分式
.
约分
时，一般将一个分式化为最简分式。
④
通分：把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式
叫做分式的通分。
⑤
分式的通分步骤
：
先求出所有分式分母的最简公分母
母
.
同时各分式按照分母所扩大的倍数
注
:
最简公分母的确定方法
的乘积。
注
:(1)
约分和通分的依据都是分式的基本性质。
分式的分子和分母都是将分子和分母分别
，
再将公因
，
，
再将所有分式的分母变为最简公分
，
相同字母的及单独字母的幕
，
相应扩大各自的分子
.
：
系数取各因式系数的最小公倍数
(2)
分式的约分和通分都是互逆运算过程。
10.3
、分式的运算：
①
分式的乘法法则
：
两个分式相乘
，
把分子相乘的积作为积的分子
，
把分母相乘的积作为 积的
分母
.
用字母表示
为：
a/b * c/d=ac/bd
②
分式的除法法则
：
I
.
两个分式相除
，
把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘
:
a/b c/d=ad/bc
n
.
除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数
:a/b c/d=a/b*d/c
异分母分式通分时，关键是
这样的公分母叫做
最简
确定公分母，通常取各分母所有因式的最高次幕的积作为公分母，
公分母。
10.4
分式的加减
③
同分母分式加减法则
：
同分母的分式相加减
，
分母不变
，
把分子相加减
.
用字母表示为：
a/c
±
c=a
±
c
④
异分母分 式加减法则
：
异分母的分式相加减
，
先通分
，
化为同分母的 分式
，
然后再按同分母
分式的加减法法则
进行计算
.
用字母表示为：
a/b
±
d=ad cb/bd
10.5
分式方程：
①
分式方程的意义
：
分母中含有未知数的方程叫做分式方程
②
分式方程的解法
：
.
I
.
去分母
(
方程两边同时乘以最简公分母
，
将分式方程化为整式方
程
)
；
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n
.
按解整式方程的步骤求出未知数的值
川
.
验根
（
求出未知数的值后必须验根
知数的取值范围
，
可能产生增根
）
.
；
，
因为在把分式方程化为整式方程的过程中
，
扩大了未
10.6
整数指数幕及其运算
约分
分
式
的
性
分式运算
质
图形的运动■ ■
分
通分
乘除法
E
第十一章
1
、平移定义和规律
：
（
1
）平移的定义：在平面内，将
为平移（
Tran slation
）。平移
动加减定的距离，这样的图形运动称
■ iM ■ ■
■壬
.
■ ■・■・■ ■
■■■
*
间的距离叫做图形平移的距离。
关 键：
a.
平移不改变图形的形状和大小（也不会改变图形的方向，但改变图形的位置）。
b.
图形平移三要素：原位置、平移方向、平移距离。
（
2< br>）平移的规律
（
性质
）
：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对 应线段平行且相等、
对应角相等。
注意：平移后，原图形与平移后的图形全等。
（
3
）简单的平移作图：
平移作图要注意：①方向；
②距离。整个平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按
一定方向和一定的距离平
行移动。
2
、旋转的定义和规律
（
1
）旋转的定义：在平面内，将一个图形饶一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的运
动叫做图形的旋转
（
Circumrotate
）。这个定点称为旋转中心；转动的角称为旋转角。
关键：
a.
旋 转不改变图形的形状和大小（但会改
变图形的方向，也改变图形的位置）。
b.
图形旋转四要素：原位置、旋转中心、旋转方向、旋转角。
（
2
）旋转的规律
（
性质
）
:
经过旋转，图形上的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，
应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。
任意一对对
（
旋转前后两
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个图形的对应线段相等、对应角相等。
注意：旋转后，原图形与旋转后的图形全等。
(3)
简单的旋转作图：
旋转作图要注意：①旋转方向；②旋转角度。整个旋转作图，就是把整个图案的每一
个特征点绕旋转中心按一
定的旋转方向和一定的旋转角度旋转移动。
）
3
、
图案的分析与设计
①
首先找到基本图案，然后分析其他图案与它的关系，即由它作何种运动变换而形成。
②
图案设计的基本手段主要有：轴对称、平移、旋转三种方法。
4
、
旋转对称图形：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度
a后，与初始图形重合，这种图
形叫做旋转对称图形，
这个定点叫做旋转对称中心，
旋转的角度叫做旋转角
(
旋转角
a
满足
0<
a
<360
)
5
、
中心对称图形：如果把一个图形绕着一个定点旋转
心对称图形，这个点叫做对称中心。
180
后，与初始图形重合，那么这个
图形叫做中
6
、
把一个图形绕着一个定点旋转
点对称，也叫做这两个图形成中兴对称，
关于中心的对称点。
180
后，与另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这
这个点叫做对称中心，
这两个图形中的对应点叫做
7
、
轴对称知识回顾
(1)
直线折叠后，
轴对称图形定义：如果一个图形沿着一条
直线两旁的部分能够互相重合，
那么这个
图形叫做轴对称图形
(
Axially Symmetric Figure
)
。折痕所在的直线叫做对称轴。
(2)
两个图形关于这条直线成轴对称：如果把一个图形沿某一条直线翻，能与另一个图形
重合，那么叫做这两个图形关于这条直线成轴对称，
应点叫做关于这条直线的对称点。
(3)
注意：
①
轴对称是说两个图形的位置关系；而轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形。
②
成轴对称的两个图形，必定是全等图形。
(4)
轴对称的性质：对应点所连的线段被对称轴垂直平分；对应线段相等；对应角相等。
(3)
简单的轴对称作图：
求作一个几何图形关于某条直线对称的图形，
直线对称的点。后依次连结各特征点即可。
可以转化为求作这个图形上的特征点关于这条
这条直线就是对称轴，
两个图形中的对
'
图形的平移
旋转对称图形
中心对称图形
图形的运动
'
图形的旋转
中心寸称
轴对称图形
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图形的翻折
轴对称
轴对称和轴对称图形之间的区别与联系：
轴对称
区
①
指两个图形而言；
别
②
指两个图形的一种形状与位置
关系。
轴对称图形
①
对一个图形而言；
②
指一个图形的特殊形状。
联
①
都有一条直线，都要沿这条直线折叠重合；
系
②
把两个成轴对称的图形看成一个整体，就是一个轴对称图形；反过来，
把轴对称图形沿对称轴
分成两部分，这两部分关于这条直线成轴对称。
轴对称几何图形的对称轴
:
名称
是否是轴对称图
形
线段
角
长方形
正方形
是
是
是
是
对称轴有几
条
对称轴的位置
2
条
1
条
2
条
4
条
无数条
垂直平分线或线段所在的直线
角平分线所在的直线
对边中线所在的直线
对边中线所在的直线和对角线所在
的直线
圆
平行四边
形
是
不是
直径所在的直线
0
条
第十二章实数
第一节实数的概念
12.1
实数的概念
有理数和无理数统称为实数。
实数按如下方式分类：
正有理数
「
有理数
*
零
.
负有理数
丿
实数
＜
/
有限小数或无限循环小数
（
正无理数
、
＜
无理数
*
.
负无理数
‘
实数和数轴上的点—对应，
即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；
反过来，数轴
卜
无限不循环小数
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上的每一个点表示一个实数。
正数大于零，负数小于零，正数大于负数。
两个正数，绝对值大的数较大，两个负数，绝对值大的数反而小。
无理数：无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称为实数。
第二节数的开方
12.2
平方根和开平方
如果一个数的平方等于
a
,
那么这个数叫做
a
的平方根，也就做
二次方根。
求一个数
a
的平方跟的运算叫做
开平方，
a
叫做被开方数。
一个正数
a
的平方根 有两个，它们互为相反数。零的平方根是零；负数没有平方根。
正数
a
的两个平方根可以用“土、
a
”表示，其中
・a
表示
a
的正的平方根
（
又叫算术平方根
）
,
读作“根号
a
”；
扁
表示
a
的负平方根，读作“负根号
零的平方根记作
v0
,
v0=0.
（
1
）
当
a>0
时，（
.a
）
2
=a
,
（
（
2
）
当
aX
）
时，
.a
2
=a;
当
aO
时，
... a
2
=
-
a
d'
。
. a
）
2
=a.
12.3
立方根和开立方
如果一个数的立方等于
a
,
那么这个数叫做
a
的立方根，用“
3
a
”表示，读作“三次
根号
a'
Va< br>中的
a
叫
做被开方数，“
3
”叫做根指数。
求一个数
a
的立方根的运算叫做开立方。
正数的立方是一个正数，负数的立方是一个负数，零的立方等于零，所以正数的立方根
是一个正数，负数的立方根是一个负数，零的立方根是零。
任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根。
12.4n
次方根
如果一个数的
n
次方
（
n
是大于
1
的整数
）
等于
a,
那么这个数叫做< br>
a
的
n
次方根，当
n
为
奇数时，这个数为
a
的奇次方根；当
n
为偶数时，这个数为
a
的偶次方根
求一个数
a
的
n
次方跟的运算叫做
开
n
次方，
a
叫做被开方数，
n
叫做根指数。
实数
a
的奇次方根有且只有一个，用“
指数
n
是大于
1
的奇数。
正数
a
的偶次方根有两个，它们互为相反数，正
”表示，其中被开方数
a
是任意一个
实数
,
根
n
次方根用“
n
a
”表示，负
n
次方根用
“
一
Q''a
”表示，其中被开方数
a>,
根指数
n
是正偶数（当
n=2
时，在土
!
a
中省略
n
）
负数的偶次方根不存在。
零的
n
次方根等于零，表示为
n
0
=0
“
n
a
”读作“
n
次根号
a”
第三节实数的运算
12.5
用数轴上的点表示数
有理数范围内绝对值、相反数意义：
一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。实数
a
的绝对值记作
I a I.
绝对值相等，符号相反的两个数记作互为相反数；
零的相反数是零。非零实数
实数大小的比较：
负数小于零；零小于正数。
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a
的相反数是
-
a
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两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小。
从数轴上看，右边的点所表示的数总比左边的点所表示
的数大。
两点间的距离：
在数轴上，如果点
A
、点
B
所对应的数分别为
a
b
，那么
A B
两点的距离
AB=
I a-
b
I
.
12.6
实数的运算
设
a
>0
，
b>0
可知
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)
2=
dbo
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的意
义，得
根据平方根
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近似数与准确数的接近程度即近似程度。对近似程度的要求，叫做精确度。
对于一个 近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这
效数字。
第四节
分数指数幂
分数指数幂
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个近似数的有
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(a
>0
)
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有理数指数幂有
设
c>b
,
b>0
,
(
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列性质：
、
q
为有理数，那么
1
c
>0
)
其中
m
、
n
为正整数，
(
n> 1.
P
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本章小结
实数
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实数的分类
f
用数轴上的点表示数
实数的运算
无理数
近似数及近似计算
有理数
运算法则及运算性质
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数的开方分数指数幕
有理数指数幕
运算性质
第十三章相交线、平行线
第
1
节相交线
13.1
邻补角，对顶角
相交线的定义：
在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做
相交线。
对顶角的定义：
一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做
对顶角。
对顶角的性质：对顶角相等。
邻补角的定义：
有公共顶点和一条公共边，并且互补的两个角称为
邻补角。
邻补角的性质：邻补角互补。
垂线的定义：
垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相
线的垂线，它们的交点叫做垂足。
垂线的性质：
性质
1
：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
性质
2
：垂线段最短。
点到直线的距离：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离
。
。
垂直，其中的一条直线叫做另一条直
同位角：
两个角都在两条被截线同侧，并在截线的同旁，这样的一对角叫做
内错角：
两个角都在两条被截线之间，并且在截线的两旁，这样的一对角叫做
同旁内角：
两个角都在两条被截线之间，并且在截线的同旁，这样的一对角叫做
平行线的概念
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
同旁内角。
内错角。
同位角。
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
平行公理的推论：
如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直
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线也平行。
13.2
垂线
1.
垂线与斜线
通过操作实践，所得到的结果说明垂线有这样的基本性质：
在平面内
经过直线上或直线外地一点作已知直线的垂线可以作一条，并且只能作一条
2.
点到直线的距离
联结直线外一点与直线上各点得所有线段中，垂线段最短。简单地说：
垂线段最短。
直线外一点到这条直线的
垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离。
13
．
3
同位角，内错角，同旁内角（三线八角）
第
2
节
平行线
13.4
平行线的判定
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
（同位角相等，
两直线平行
）
平行线具有以下基本性质：
经过直线外地一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
两直线平行
）
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
互补，两直线平
行
）
同旁内角
（
内错角相等，
13.5
平行线的性质
两条平行线被第三条直
线所截，
位角相等
）
两条平行线
同位角相等。
（
两直线平行，同
被第三条直线所截，
错角相等
）
内错角相等。
（
两直线平行，内
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
（两直线平行，
同旁内角互补
）
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平
行。（对于直线
a
、
b
、
c
,
如果
a//b,b//c
，
那么
a//c
。被称为平行
的传递性）
两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离都
是一个
定值，这个定值叫做这
两条平行线间的距离
。
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第十四章三角形
第
1
节
三角形的有关概念与性质
14.1
三角形的有关概念
1•
三角形的有关线段
三角形的高，中线，角平分线
2•
三角形的分类
锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，不等边三角形，等腰三角形，等边三角形
14.2
三角形的内角和
三角形的内角和等于
180
。
。
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
三角形的外角和等于
360
。
。
第
2
节
全等三角形
14.3
全等三角形的概念与性质
能够重合的两个图形叫做
全等形。
两个三角形是全等形，就说它们是
全等三角形。两个全等三角形，经过运动后一定重
合，相互重合的顶点叫做
对应顶点；相互重合的边叫做
对应边；相互重合的角叫做
对应角。
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
14.4
全等三角形的判定
判定方法
1
在两个三角形中，如果有两条边及它 们的夹角对应相等，那么这两个三角
形全等（简记为
S.A.S
）。
判定方法
2
在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应 相等，那么这两个三角
形全等（简记为
A.S.A
）。
判定方法
3
在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两
个三角形全等（简记为
A.A.S
）。
判定方法
4
在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等（简记为
S.S.S
）。
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成 “斜边、直角边”和“
HL'
。
SSA
、
AAA
不能识别两个三角形全等，识别两个三角形全等时，必须有边的参与
,
如果有两边一角对应相等
时，角必须是两边的夹角。三角形
找夹角一
SAS
HL
—
SSS
找边的对角
I
.
已知两边
找直角一
找另一边
AAS
n
.
已知一边一角
边为角的邻边
找夹角的旳边——
SAS
找夹边
的另一角——
ASA
边为角的对边——找任意一角——
AAS
川
.
已知两角
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找任意一边
AAS
第
3
节
等腰三角形
14.5
等腰三角形的性质
等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角” ）。
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称为“等腰三角
形的三线合一” ）。
等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线。
14.6
等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形是等腰三
角形（简称为“等角对等边” ）。
14.7
等边三角形
等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三边都相等。
等边三角形的性质：
等边三角形的每个内角等于
60
。
。
判定等边三角形的方法：
（
1
）三个内角都相等的三角形是等边三角形。
（
2
）有一个角等于
60
。
的等腰三角形是等边三角形。
SSA
、
A AA
不能识别两个三角形全等，识别两个三角形全等时，必须有边的参与，
果有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角。
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如
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1
线段的垂直平分线：
定理：
⑴线段垂直平分线上的点与线段两端距离相等。
与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
注意：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等。
2
、
等腰三角形
7
性质
①
等腰三角形两个底角相等，简称“等边对等角”
②
等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边
推论：等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于
定理
:
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等，简称“等角对等边”
推论]①三个角都相等的三角形是等边三角形。②有一个角是
三角形。
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于
。
。
60
°。
60
°的等腰三角形是等边
30
°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
3
、
角的平分线
:]
定理
:
①
角平分线上任意一点到角的两边的距离相等。
②
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
第十五章平面直角坐标系
第
1
节平面直角坐标系
15.1
平面直角坐标系
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在平面内取一点
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画两条互相垂直的数轴，且使它们以点
为公共原点。这样，就在平面内建立了一个
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直角坐标系。通常，所画的两条数轴中，有一条是水平放置的，它的正方向向右，这条数轴
叫做横轴（记作
它的正方向向上，这条轴叫做
纵轴（记作
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轴）；另一条是铅直放置的
,
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轴）。如图所示，记作平面直角坐标系
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叫做坐标原点（简称原点），