读书心得500字-

2021年1月30日发(作者：生产成本核算)










第九章

整式

第一节整式的概念

、字母表示数


代数式

：用括号和运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式。

单独的数或字母也是
代数式。


代数式的书写

：
1
、代数式中出现乘号通常写作“
*
”或省略不写，但数与数相乘不遵循此原
则。





















2

3

4

5

、数字与字母相乘，数字写在字母前面，而有理数要写在无理数的前面。

、带分数应写成假分数的形式，除法运算写成分数形式。

、相同字母相乘通常不把每个因式写出来，而写成幂的形式。

、代数式不能含有“
=
、≠、
<
、
>
、≥、≤”符号。

叫代数式

代数式的值：

用数值代替代数式中的字母，

按照代数式的运算关系计算出的结果，

的值。

注意：
1
、代数式中省略了乘号，带入数值后应添加×。

2

3

4

、若带入的值是负数时，应添上括号。

、注意解题格式规范，应写“当


..
时，原式
=

..
”
.
、在实际问题中代数式所取的值应使实际问题有意义。

整式

1

、由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式。单独一个数或字母


3

、单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项


也是单项式。

2

、系

数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。

式的次数。

4

、多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的

项叫做常数项。


5
、多项式的次数：多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的


次数

6

、整式：单项式和多项式统称为整式。
合并同类项


1

、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做
同类项。


2

、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。








一个多项式合并后含有几项，这个多项式就叫做几项式。


3
< br>、合并同类项的法则是：把同类项的系数相加的结果作为合并后
的系数，字母和字母的指数不变。


第二节整式的加减：


去括号法则：



（

1
）括号前面是

＋

号，去掉

＋

号和括号，括号里各项的不变号；

（

2
）括号前面是

－

号，去掉

－

号和括号，括号里的各项都变号。
添括号法则



（

1
）所添括号前面是“
+
”号，括到括号里的各项都不变符号；

（

2
）所添括 号前面是“－”号，括到括号里的各项都改变符号。
第三节整式的乘法同底数幂的乘法、幂的乘方、积的 乘方：


①同底数幂的乘法


a


m
·
a
n
=a
m+n
(m
、
n
都是正整数
)
。

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。


②幂的乘方与积的乘方






（
a
m
）
n
=a
mn
(m
、
n
都是正整数
)
幂的乘方，底数不变，指数相乘。

（
ab
）

n
=a
n
b
n
(n
都是正整数
)
积的乘方等于各因式乘方的积。

③同底数幂的除法









a
m
÷
a
n
=a
m-n
(a
≠
0,mn
都是正整数，且

m
＞
n)
同底数幂相除，底数不变，指数相减。


a
0
=1
（
a
≠
0
）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于
1
。

-p
a


= (a1
≠
0,p
是正整数
)
任何一个不等零的数

p
指数幂的倒数。

的
-p(p
是正整数
)
指数幂，等这个数的

整式的乘法：


⑴单项式与单项式相乘：


单项式与单项式相乘，

把它们的系数、

相同字母分别相乘，

对于只在一个单项式里含有的


字母，则连同它的指数作为积的一个因式。


⑵单项式与多项式相乘：


单项式与多项式相乘，

就是根据分配率用单项式去乘多项式的每一项，


再把所得的积相加，

即。


注意：单项式乘多项式实际上是用分配率向单项式相乘转化。


⑶多项式与多项式相乘：








多项式与多项式相乘，

先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，

再把所得的积相
加，


即（ａ＋ｂ）

（ｍ＋ｎ）＝ａｍ＋ｂｍ＋ａｎ＋ｂｎ。


第四节、乘法公式


平方差公式


①内容：


（ａ＋ｂ）·（ａ－ｂ）＝ａ
2
－ｂ
2

②意义：


两个数的和与这两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差。


③特征：


Ⅰ

.
左边是两个二项式相乘，这两项中有一项相同，另一项
互为相反数；


Ⅱ
.
右边是乘式中两项的平方差；


Ⅲ

.
公式中的ａ和ｂ可以使有理数，也可以是单项式或多项
式。④几何意义：


平方差公式的几何意义也就是图形变换过程中面积相等
的表达式。


⑤拓展：


Ⅰ
.
立方和公式：

（ａ＋ｂ）（ａ

2
－ａｂ＋ｂ

2
）＝ａ

3
＋ｂ

3
；


Ⅱ
.
立方差公式：

（ａ－ｂ）（ａ

2
＋ａｂ＋ｂ

2
）＝ａ

3
－ｂ

3
。


（ａ－ｂ）（ａ＋ａｂ＋ａｂ
2
＋

＋ａ
2
ｂ＋ａｂ＋ｂ）＝ａ

-
ｂ。


完全平方公式：


①内容：


（ａ＋ｂ）
2
＝ａ
2
＋ｂ
2
＋２ａｂ；


（ａ－ｂ）
2
＝ａ
2
＋ｂ
2
－２ａｂ。


②意义：


两数和的平方，等于它们的平方和，加上它们积的２倍。


两数差的平方，等于它们的平方和，减去它们积的２倍。


③特征：


Ⅰ
.
左边是一个二项式的完全平方，

右边是一个二次三项式，

其

中有两项是公式左边二项


式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的２倍，可简记为“首平方，尾

平方，积的２倍在中央。

”


Ⅱ

.
公式中的ａ、ｂ可以是单项式，也可以是多项
式。④推广：









Ⅰ
.
（ａ＋ｂ＋ｃ）
2
＝ａ
2
＋ｂ
2
＋ｃ
2
＋２ａｂ＋２ｂｃ＋２ａ


c
；

Ⅱ

.
（ａ＋ｂ）
3
＝ａ
3
＋ｂ
3
＋３ａ
2
ｂ＋３ａｂ
2
；

Ⅲ
.
（ａ－ｂ）
3
＝ａ
3
－ｂ
3
－３ａ
2
ｂ＋３ａｂ
2
。


第五节因式分解


⑴因式分解的意义：


把一个多项式化为几个整式积的形式，

这种变形叫做把这个多项式因式分解，

也叫做把这
个多项式分解因式，即多 项式化为几个整式的积。注意：①因式分解的要求：



Ⅰ

.
结果一定是积的形式，分解的对象是多项式；



Ⅱ
.
每个因式必须是整式；

Ⅲ
.
各因式要分解到不能分解为止。

②因式分解与整式乘法的关系：


是两种不同的变形过程，即互逆关系。


提取公因式法：


①提公因式法分解因式：


ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ＝ｍ（ａ＋ｂ＋ｃ）



，这个变形就是提公因式法分解因式。

这里的ｍ可以代表单项式，也可以代表多项式，ｍ称为公因式。

确定公因式方法：


系数：取多项式各项系数的最大公约数。


字母（或多项式因式）

：取各项都含有的字母（或多项式因式）的最低次幂。


公式法


②利用公式法分解因式：


Ⅰ

.

平方差公式：ａ
2
－ｂ
2
＝（ａ＋ｂ）

·（ａ－ｂ）。

Ⅱ
.
完全平方公式：ａ
2
＋ｂ
2
＋２ａｂ＝（ａ＋ｂ）
2
；





ａ

2
＋ｂ
2
－２ａｂ＝（ａ－ｂ）
2
。

Ⅲ

.

立方和与立方差公式：ａ
3
＋ｂ
3
＝（ａ＋ｂ）

（ａ
2
－ａｂ＋ｂ
2
）；

ａ

3
－ｂ
3
＝（ａ－ｂ）

（ａ
2
＋ａｂ＋ｂ
2
）。

注意：（１）公式中的字母ａ、ｂ可代表一个数、一个单项式或一个多项式。


（２）选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式


应考虑平方差或立方和、立方差公式；若多项式是三项式，可


考虑用完全平方公式。


.
十字相乘法

：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解


因式的方法叫做十字相乘法。


ｘ
2
＋（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ＝（ｘ＋ａ）

（ｘ＋ｂ）。








分组分解法：


Ⅰ

.
将多项式的项适当的分组后，组与组之间能提公因式或运用公式分
解。

Ⅱ
.
适用范围：适合四项以上的多项式的分解。


分组的标准为：分组后能提公因式或分组后能运用公式。


④其他方法：


.
求根公式法：若

ａｘ2+
ｂｘ
+
ｃ＝０（ａ≠０）的两根是ｘ１、ｘ
２，ａｘ
2+< br>ｂｘ
+
ｃ
=
ａ（ｘ
-
ｘ１）（ｘ
-
ｘ２）。


⑶因式分解的一般步骤及注意问题：①对多项式各项有公因式时 ，
应先提供因式。②多项式各项没有公因式时，如果是二项式就考虑
是否符合平方差


公式；如果是三项式就考虑是否符合完全平方公式或二次三项式的因
式分解；如果是 四项或四项以上的多项式，通常采用分组分解法。分
解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止 。





第六节整式除法：


同底数幂的除法


同底数幂相除，底数不变，指数相减。


任何不等于零的数的零次幂为


1
，既：

单项式除以单项式：


单项式与单项式相除的法则：


单项式与单项式相除，把系数、

同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式 里含有的
字母，则连同它的指数作为商的一个因式。


注意：①两个单项式相除，只要将系数及同底数幂分别相除即可。


②只在被除式里含有的字母不不要漏掉。


多项式与单项式相除：


多项式与单项式相除的法则：


一般地，多项式除以单项式，先 把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的
商相加，


即（ｍａ< br>+
ｍｂ
+
ｍｃ
+
ｄｍ）÷ｍ
=
ａｍ÷ｍ+
ｂｍ÷ｍ
+
ｃｍ÷ｍ
+
ｄｍ÷ｍ。

注意：这个法则的使用范围必须是多项式除以单项式，反之，单项式除以多项式是不能这样
计算的。


⑶整式的混合运算：


关键是注意运算顺序，先乘方 ，在乘除，后加减，有括号时，先去小括号，再去中括号，
最后去大括号，先做括号里的。








※

内容整理








a
m
·
a
n
=a
m+n
幂


m
nmn




(a )
=a


单项式的乘法







多项式的乘法



因

式






提公因式法

的


运


(ab)
n
=a
n
b
n




乘法公式











分




公

式

法

算




















a
m
÷
a
n
=a
m-n
单项式的除法

多项式除以单项式


第十章

分

式

、（
1
）、分式的意义


两个整式
A/B
相除，即
A
÷
B
时，可以表示为

A/B.
如果
B
中含有字母，那么


A/B
叫做分

式。
A
叫做分式的分子，

B
叫做分式的分母。


如果一个分式的分母为零，那么这个分式无意义。


（
2
）、分式的基本性质


整式

整式和分式统称为有理式：

：即有理式


分式


分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为


0
的整式，

分式的值不变。用式子表示为：


A/B=A*C/B* C A/B=A
÷
C/B
÷
C
（

A,B,C
为整式，且
B
、
C
≠
0
）


①约分
:
把一个分式的分子和分母的公因式约去


,
这种变形称为分式

的约分．


② 分式的约分步骤：


(1)
如果分式的分子和分母都是或者是几个乘积的形式


,
将它们的

公因式约去


(2

）分式的分子和分母都是将分子和分母分别


,
再将公因式约去

.
注

:
公因式的提取方法
:
取分子和分母系数的
,
字母取分子和分母共
有的字母
,
指数取公共字母的最小指数
,
即为它们的公因式
.


③一个分式的分子和分母没有公因式时

,
这个分式称为最简分式
.
约分








时，一般将一个分式化为最简分式。



④ 通分

：把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式


,
叫做分式的通分。





⑤分式的通分步骤

:
先求出所有分式分母的最简公分母

,
再将所有分式的分母变为最简公分

.
母
.
同时各分式按照分母所扩大的倍数


,
相应扩大各自的分子

注

:
最简公分母的确定方法
:
系数取各因式系数的最小公倍数
,
相同字母的及单独字母的幂的乘
积。


注

:(1)
约分和通分的依据都是分式的基本性质。


(2)

分式的约分和通分都是互逆运算过

程。、分式的运算：

①分式的乘法法则
:
两个分式相乘
,
把分子相乘的积作为积的分子
,
把分母相乘的积作为积的分母
.
用字母表示为：
a/b * c/d=ac/bd



②分式的除法法则

:

Ⅰ
.
两个分式相除
,
把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘


：
a/b
÷
c/d=ad/bc


Ⅱ
.
除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数

:a/b
÷
c/d=a/b*d/c

异分母分式通分时，关
这样的公分母叫做

键是确定公分母，

通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，


最简公分母。


分式的加减


③同分母分式加减法则


:
同分母的分式相加减

,
分母不变
,
把分子相加减

.
用字母表示为：

a/c
±
b/c=a
±
b/c

④异分母分式加减法则
:
异分母的分式相加减
,
先通分
,
化为同分母的分式
,
然后再按同分母分式
的加减法法则进行计算
.
用字母表示为：






a/b
±
c/d=ad
±
cb/bd
分式方程：


①分式方程的意义

:
分母中含有未知数的方程叫做分式方程


.
②

分式方程的解法

:



Ⅰ

.
去分母
(
方程两边同时乘以最简公分母
,
将分式方程化为整式方

程

);

Ⅱ
.
按解整式方程的步骤求出未知数的值

;





Ⅲ
.
验根
(
求出未知数的值后必须验根


,
因为在把分式方程化为整式方程的过程中

,
扩大了

未知数的取值范围

,
可能产生增根

).

整数指数幂及其运算





































※



内容整理

约分

分式的性质


通分

第十一章


分

图形的运动

分式运算

加减法
分式方程

乘除法

1
、平移定义和规律


（

1
）平移的 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称

为平移（
Translation
）。平移后各对应点之间的距离叫做图形平移的距离。

关键：
a.
平移不改变图形的形状和大小（也不会改变图形的方向，但改变图形的位置）。


b.
图形平移三要素：原位置、平移方向、平移距离。

（

2
）平移的规律
(
性质
)
：经过平移，

对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等、
对应角相等。




注意：平移后，原图形与平移后的图形全等。

（

3
）简单的平移作图：

平移作图要注意：①方向；

②距离。

整个平移作图，

就是把整个图案的每一个特征点按


一定方向和一定的距离平行移动。


2
、旋转的定义和规律


（

1
）旋转 的定义：在平面内，将一个图形饶一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的运
动叫做图形的旋转（
Circumrotate
）。这个定点称为旋转中心；转动的角称为旋转角。关
键：
a.
旋转不改变图形的形状和大小（但会改变图形的方向，也改变图形的位置）。
b.
图
形旋转四要素：原位置、旋转中心、旋转方向、旋转角。


（

2
）旋转的规律
(
性质
)
：


经过旋转，

图形上的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，


任意一对对

(
旋转前后两

应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。


个图形的对应线段相等、对应角相等。

)







注意：旋转后，原图形与旋转后的图形全等。


（
3
）简单的旋转作图：


旋转作图要注意：①旋转方向；②旋转角度。整个旋转作图，就是把整个图案的每一


个特征点绕旋转中心按一定的旋转方向和一定的旋转角度旋转移动。


3
、图案的分析与设计


① 首先找到基本图案，然后分析其他图案与它的关系，即由它作何种运动变换而形成。


② 图案设计的基本手段主要有：轴对称、平移、旋转三种方法。


4< br>、旋转对称图形：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度
α
后，与初始图形重合，这种图


形叫做旋转对称图形，

这个定点叫做旋转对称中心，

旋转的角度叫做旋转角

（旋转角
α
满足

0<
α
<360
）

5
、中心对称图形：如果把一个图形绕着一个定点旋转

图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。



180
后，与初始图形重合，那么这个


6
、把一个图形绕着一个定点旋转
180
后，与另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这点对
称，

也叫做这两个图形成中兴对称，

这个点叫做对称中心，

这两个图形中的对应点叫做关于中
心的对称点。


7
、轴对称知识回顾


（

1
）轴对称图形定义：

如果一个图形沿着一条直线折叠后，

直线两旁的部分能够互相重合，那
么这个图形叫做轴对称图形

（
Axially Symmetric Figure
）。折痕所在的直线叫做对称轴。


（

2
）两个图形关于这条直线成轴对称：如果把一个图形沿某一 条直线翻，能与另一个图形


重合，

那么叫做这两个图形关于这条直线成轴对称，


这条直线就是对称轴，

两个图形中的对

应点叫做关于这条直线的对称点。


（
3
）注意：


① 轴对称是说两个图形的位置关系；而轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形。


② 成轴对称的两个图形，必定是全等图形。




（
4
）轴对称的性质：对应点所连的线段被对称轴垂直平分；对应线段相等；对应角相等。

（

3
）简单的轴对称作图：

求作一个几何图形关于某条直线对称的图形，

可以转化为求作这个图形上的特征点关 于这条直
线对称的点。后依次连结各特征点即可。


















图形的平移








旋转对称图形








中心对称图形

图形的运动


图形的旋转

中心对称


轴对称图形





图形的翻折


轴对称





轴对称和轴对称图形之间的区别与联系：



轴

对

称


轴对称图形

①对一个图形而言；

②指一个图形的特殊形状。


区

①指两个图形而言；


别

②指两个图形的一种形状与位置


关系。


联

①都有一条直线，都要沿这条直线折叠重合；

系

②把两个成轴对称的图形看成一个整体，就是一个轴对称图形；反过来，


把轴对称图形沿对称轴分成两部分，这两部分关于这条直线成轴对称。



轴对称几何图形的对称轴：

名称




是否是轴对称图

形

是

是

是

是



对

称

轴

有

几

对称轴的位置

条

２条

１条

２条

４条


线段


角


垂直平分线或线段所在的直线

角平分线所在的直线

对边中线所在的直线

对边中线所在的直线和对角线所在

的直线

长方形

正方形



圆


是

不是



无数条

０条



直径所在的直线

平行四边

形



























第十二章

实数


第一节实数的概念


实数的概念


有理数和无理数统称为实数。


实数按如下方式分类：


正有理数


有理数


零

负有理数

有限小数或无限循环小数


实数


正无理数


无理数


无限不循环小数

负无理数









实数和数轴上的点一一对应，


即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；

反过来，

数轴

上的每一个点表示一个实数。


正数大于零，负数小于零，正数大于负数。


两个正数，绝对值大的数较大，两个负数，绝对值大的数反而小。


无理数：无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称为实数。


第二节数的开方


平方根和开平方


如果一个数的平方等于



a
，那么这个数叫做

a
的平方根

，也就做

二次方根。

求一个数

ɑ
的平方跟的运算叫做

开平方，

ɑ
叫做

被开方数。

一个正数

a
的平方根有两个，它们互为相反数。零的平方根是零；负数没有平方根。


正数

ɑ
的两个平方根可以用

“±
a
”表示，其中

a
表示

ɑ
的正的平方根

(

又叫算术平方根

)

，

读作“根号
a
”；

a
表示

ɑ
的负平方根，读作“负根号
ɑ”。



零的平方根记作√
0
，√
0=0.
（
1
）

当
a>0
时，（

a
）
2
=a
，（

（
2
）

当
a
≥
0
时，

当
a
≤
0
时，

a
）
2
=a.





a
2
=a;
a
2
=
－ɑ








立方根和开立方

如果一个数的立方等于






3
a
，那么这个数叫做

a
的立方根

，用“


a

”表示，读作“

三









次根号

ɑ”。

3
a
中的

ɑ
叫做被开方数，

“

3
”叫做根指数。

求一个数

ɑ
的立方根的运算叫做

开立方

。


正数的立方是一个正数，负数的立方是一个负数，零的立方等于零，所以正数的立方根

是一个正数，负数的立方根是一个负数，零的立方根是零。

任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根。


次方根







如果一个数的
n
次方
(n
是大于
1
的整数
)
等于

ɑ，那么这个数叫做

ɑ
的
n
次方根，当
n


为奇数时，这个数为

ɑ
的奇次方根；当

n
为偶数时，这个数为

ɑ
的偶次方根

求一个数

ɑ
的
n
次方跟的运算叫做

开
n
次方，

ɑ
叫做

被开方数，
n
叫做根指数。

实数

ɑ
的奇次方根有且只有一个，用“

指数
n
是大于
1
的奇数。



n
a
”表示，其中被开方数

ɑ
是任意一个

实数
,
根




正数

ɑ
的偶次方根有两个，它们互为相反数，正

n
次方根用“

n

a

”表示，负
n
次方根用

















“－

n
a
”表示，其中被开方数

ɑ>
0
，根指数
n
是正偶数（当
n=2
时，在±

n

a

中省略
n)
负数的偶次方根不存在。











零的
n
次方根等于零，表示为

“

n
a
”读作“

n

次根号

ɑ”

n
0
=0

第三节


实数的运算

用数轴上的点表示数


有理数范围内绝对值、相反数意义：


一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。实数


a
的绝对值记作

∣ɑ∣.


绝对值相等，符号相反的两个数记作互为相反数；


零的相反数是零。非零实数


ɑ
的相反数是－ɑ。

实数大小的比较：


负数小于零；零小于正数。

两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小。
从数轴上看，右边的点所表示的数总 比左边的点所表示的数大。
两点间的距离：


在数轴上，如果点
A
、点
B
所对应的数分别为

ɑ、
b
，那么
A
、

B
两点的距离
AB=
∣ɑ－
b
∣.


实数的运算


设

ɑ
>0

，

b>0

，

可

知





=








































（



































·

）





































（
）

2
·
根

据

平

方

）
2=
ɑ
b
。

根

的

意
义

，
得










































































（








=















































































































·
。



同

理

近似数与准确数的接近程度即近似程度。对近似程度的要求，叫做精确度。

对于一个 近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做
这个近似数的有效数字。

第四节

分数指数幂

分数指数幂

：

=



























































































>0
）
=










































































（ɑ


有理数指数幂有下列性质：

设

ɑ
>b
，
b>0
，
P
、
q
为有理数，那么
（


（ɑ
>0
）

其中
m
、
为正整数，
=
）











































































n
n>1.








1









































·








































































=
，
















































































































=


2


=











































（



































）

3














































































（


）










本章小结





有理数


实数的分类


无理数


实数


用数轴上的点表示数

运算法则及运算性质


实数的运算


近似数及近似计算















数的开方






















分数指数幂






















有理数指数幂

运算性质

第十三章


相交线、平行线









第
1
节

相交线



邻补角，对顶角


相交线的定义：


在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做




相交线

。








对顶角的定义：


一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做





对顶角

。

对顶角的性质：

对顶角相等。











邻补角的定义：


有公共顶点和一条公共边，并且互补的两个角称为

邻补角

。



邻补角的性质：

邻补角互补。

垂线的定义

：

垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相

垂直

，其中的一条直线叫做另一条直

线的

垂线

，它们的交点叫做

垂足

。

垂线的性质：

性质
1
：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

。

性质
2
：垂线段最短

。

点到直线的距离：

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离

。

同位角：

两个角都在两条被截线同侧，并在截线的同旁，这样的一对角叫做

同位角。

内错角：

两个角都在两条被截线之间，并且在截线的两旁，这样的一对角叫做

内错角

。
同旁内角：

两个角都在两条被截线之间，并且在截线的同旁，这样的一对角叫做

同旁内角
平行线的概念

在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

平行公理：

经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。

平行公理的推论：

如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直
线也平行。

垂线

1.

垂线与斜线

通过操作实践，所得到的结果说明垂线有这样的基本性质：

在平面内经过直线上或直线外地一点作已知直线的垂线可以作一条，并且只能作一条。

2.

点到直线的距离

联结直线外一点与直线上各点得所有线段中，垂线段最短。简单地说：垂线段最短。

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离。

13
．
3
同位角，内错角，同旁内角（三线八角）

第
2
节

平行线

























。






























平行线的判定

两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。

两直线平行）

平行线具有以下基本性质：

经过直线外地一点，有且只有一条直线与已知直线平行。

两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。

两直线平行）

两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。

互补，两直线平行）

平行线的性质

两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

(
两直线平行，同

位角相等
)
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。

（两直线平行，内

错角相等）

两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。

（两直线平行，

同旁内角互补）

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平

行。（对于直线
a
、

b

、
c
,

如果

a // b,b // c

，那么
a// c
。被称为平行
的传递性）

两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离都

是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离。










（同位角相等，
















（内错角相等，







（同旁内角




























































第十四章



三角形

第

1
节

三角形的有关概念与性质
三角形的有关概念













1.

三角形的有关线段

三角形的高，中线，角平分线

2.

三角形的分类

锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，不等边三角形，等腰三角形，等边三角形

14.2

三角形的内角和

。

三角形的内角和等于



180
。

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；



三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。



三角形的外角和等于
360
。

第
2
节

14.3
全等三角形


。





全等三角形的概念与性质


能够重合的两个图形叫做全等形。

两个三角形是全等形，就说它们是全等三角形。两个全等三角形，经过运动后一定重



合，相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角叫做对应角。



全等三角形的对应边相等，对应角相等。







14.4

全等三角形的判定

判定方法
1

在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角

形全等（简记为）

。



判定方法
2



在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角

形全等（简记为）

。



判定方法
3



在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两

个三角形全等（简记为）

。








判定方法

4

在两个三角形中，

如果有三条边对应相等，

那么这两个三角形全等

（简记为）。


斜边和一条直角 边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”和“
HL
”。


ＳＳＡ、ＡＡＡ不能识别两个三角形全等，识别两个三角形全等时，必须有边的参与，


如果有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角。三角形全等的证明思
路找夹角— —ＳＡＳ


Ⅰ
.
已知两边


找直角——ＨＬ

找另一边——ＳＳＳ


找边的对角——ＡＡＳ


Ⅱ





.
已知一边一角边为角的邻边

找夹角的另一边——ＳＡ
Ｓ找夹边的另一角——ＡＳＡ

边为角的对边——找任意一角——ＡＡＳ



Ⅲ
.
已知两角









找夹边——ＡＳＡ

找任意一边——ＡＡＳ

第
3
节





等腰三角形

14.5

等腰三角形的性质

等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”



）。

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称为“等腰三角



形的三线合一” ）。



等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线。







14.6

等腰三角形的判定

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形是等腰三

角形（简称为“等角对等边”

）。





14.7

等边三角形

等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三边都相等。



等边三角形的性质：



等边三角形的每个内角等于



60
。

。
判定等边三角形的方法：














（

1
）三个内角都相等的三角形是等边三角形。

（

2
）有一个角等于

60
的等腰三角形是等边三角形。





。
ＳＳＡ、ＡＡＡ不能识别两个三角形全等，识别 两个三角形全等时，必须有边的参
与，果有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角。



















































如

1
、线段的垂直平分线：


定理：


⑴线段垂直平分线上的点与线段两端距离相等。


与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。


注意：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等。


2
、等腰三角形：


性质：


①等腰三角形两个底角相等，简称“等边对等角”


。

②等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边


推论：等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于


60
°。

定理

：


如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等，简称“等角对等边”


。

推论：

①三个角都相等的三角形是等边三角形。②有一个角是

60
°的等腰三角形是等边








三角形。


定理

：在直角三角形中，如果一个锐角等于

30
°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

3
、角的平分线：

定理

：

①角平分线上任意一点到角的两边的距离相等。

②在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

第十五章

平面直角坐标系

第

1
节

平面直角坐标系
平面直角坐标系

在

平

面

内

取

一

点


过







































































，

点


直角坐标系。通常，所画的两条数轴中，有一条是水平放置的，它的正方向向右，这条数轴

画两条互相垂直的数轴，且使它们以点

为公共原点。这样，就在平面内建立了一个
















































































叫做横轴（记作

它的正方向向上，这条轴叫做纵轴（记作

轴）。如图所示，记作平面直角坐标系

轴）；另一条是铅直放置的，

；点















































































































叫

做

坐

标

原

点
轴统称为坐标轴。


简

称

原

点
轴


和









































（

），














































































在平面直角坐标系



xOy
中，点
P
所对应的有序实数对（

ab)
叫做点
P
的坐标，记作

P
（

a
,b)
，其中

ɑ
叫做横坐标，
b
叫做纵坐标。象
限的划分：









































































































































































































经过点
A
（
a,b)
且垂直于

x
轴的直线可以表示为直线

线可以表示为直线

y=b.
x=
ɑ
,
经过点
A(a,b)
且垂直于

y
轴的直

第
2
节直角坐标平面内点的运动



直角坐标平面内点的运动



点的坐标









有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示，











a
点对应

x
轴的数值

为横坐标，

b
点对应

y
轴的数值为纵坐标，有序数对就叫做

在直角坐标平面内，

点
A
的坐标

，记作（

a,b
）。

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