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2021年1月30日发(作者：国产母子做爱)
人教版九年级数学下册知识点汇总


第一章

直角三角形边的关系

1
、正切：定义：在
Rt
△
ABC
中，锐角∠
A
的对边与邻边的比叫做∠
A
的正切，记作
tanA
，

即
tanA=
∠
A
的对边
/
∠
A
的邻边。

①
tanA
是一个完整的符号， 它表示∠
A
的正切，记号里习惯省去角的符号
“
∠
”
；
②
tanA
没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠
A
的对边与邻边的比；

③
tanA
不表示
“tan”
乘以< br>“A”
；

④
tanA
的值越大，
梯子越陡，
∠
A
越大；
∠
A
越大，
梯子越陡，
tanA的值越大。
（
P1-6,11
、
P3-6
、
P4-12
）

2
、正弦：定义：在
Rt
△
ABC
中 ，锐角∠
A
的对边与斜边的比叫做∠
A
的正弦，记作
sinA
，

即
sinA=
∠
A
的对边
/
斜边；
3
、余弦：定义：在
Rt
△
ABC
中，锐角∠
A
的邻边与斜边的比叫做∠
A
的余弦，记作
cosA
，

即
cosA=
∠
A
的邻边
/
斜边；
4
、余切：定义：在
Rt
△
ABC
中，锐角∠
A
的邻边与对边的比叫做∠
A
的余切，记作
cotA
，

即
cotA=
∠
A
的邻边
/
∠
A
的对边；< br>
5
、一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的
余角的余弦、正弦、余 切、正切。
（通常我们称正弦、
余弦互为余函数。同样，也称正切、余切互为余函数，
可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函
数）用等式表达：

若∠
A
为锐角，则①
sin
A
= cos(90°
−
∠
A
）等等。

6
、
记 住特殊角的三角函数值表
0
°
，
30°
，
45°
，
60°
，
90°
。

（
P4-13
、P5-15,16
、
P10-11
、
P12-3
）
< br>1

题
6
：
计算：




2


1


2

1

0


3
+
cot
45


cos
60


tan
60


cos
30



7
、当角度在
0°～
90°
间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大
(
或减小
)
而增大
(
或减小
)
；余弦值、
余切值随着角度的增大
(
或减小
)
而减小
(
或增大
)
。
0≤s inα≤1
，
0≤cosα≤1
。同角的三角函数间的关系：

tα
n
α·c
ot
α=1
，
tan
α=sinα/co sα
，
cotα=cosα/sinα
，
sin
2
α+co s
2
α=1


8
、在△
ABC
中，∠< br>C
为直角，∠
A
、∠
B
、∠
C
所对的边分别 为
a
、
b
、
c
，则有：

（
1< br>）三边之间的关系：
a
2
+b
2
=c
2
；< br>
（
2)
两锐角的关系：∠
A
＋∠
B=90°
；

（
3)
边与角之间的关系：
sinα
等；


（
4
）面积公式；

（
5
）直角三角形 △
ABC
内接圆⊙
O
的半径为
(a+b-c)/2
；

（
6
）直角三角形△
ABC
外接圆⊙
O
的半径 为
c/2
。
（
P18-13
、
P16-
例
5
、
P19-15
）

题
7
：
小红的运动 服被一个铁钉划破一个呈直角三角形的洞，其中两边分别为
1 cm
和
2 cm
，若用同
色形布将此洞全部遮盖，那么这个圆的直径最小应等于
(

)
。

A
．
2 cm



B
．
3 cm








C
．
2 cm
或
3 cm

D
．
2 cm
或
5
cm
题
8
：
长为
12 cm
的铁丝，围成边长为连续整数的直角 三角形，则斜边上的中线为
________cm
。

1
题
9
：
如图
2
，河对岸有铁塔
AB
．在
C
处测得塔顶
A
的仰角为
30
°，向塔前进
14
米到达
D
，在
D
处测得
A
的仰角为
45
°，求铁塔AB
的高。


图
2
题
10
：已知：四边形
ABCD
中，∠
B
＝∠
ADC
＝
90
°，
AB
＝
2
、
CD
＝
1
、 ∠
A
＝
60
°，求：
BC
。























































































































图
3

第二章

二次函数


1
、定义：一般地，如果< br>y

ax

bx

c
(
a
,
b
,
c
是常数，
a

0
)
，那 么
y
叫做
x
的二次函数。自变
量的取值范围是全体实数。

2
、二次函数
y

ax
的性质：

（1
）抛物线
y

ax
的顶点是坐标原点，对称轴是
y< br>轴；

（
2
）函数
y

ax
的图像 与
a
的符号关系：





①当
a

0
时

抛物线开口向上

顶点为其最低点；

②当
a

0
时

抛物线开口向下

顶点为其最高点。

（
3
）顶点是坐标原点，对称轴是
y
轴的抛物线的解析式形式为
y

ax
（
a
0
）
。
（
P21-12
）

3
、二次函数

y

ax

bx

c
的图像是对称轴平行于（包括重合）
y
轴的抛物线。

2
4
、二次函数
y

ax

bx

c
用配方法可化成：
y

a

x

h< br>

k
的形式，

2
2
2
2
2
2
2
b
4
ac

b
2
，k

其中
h


。

2
a< br>4
a
5
、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

2
2
2
①
y

ax
；②
y

ax

k
；③
y

a

x
< br>h

；④
y

a

x

h


k
；⑤
y

ax

bx
c
。

6
、抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。

2
2


①
a
的符号决定抛物线的开口方向：当
a

0< br>时，开口向上；当
a

0
时，开口向下；
a
相等，抛
物线的开口大小、形状相同。



②平行于
y
轴 （或重合）的直线记作
x

h
.
特别地，
y
轴记作 直线
x

0
。
（
P23-9,10
）
< br>7
、
顶点决定抛物线的位置。
几个不同的二次函数，
如果二次项系数< br>a
相同，
那么抛物线的开口方向、
开口大小完全相同，只是顶点的位置不同。< br>
8
、求抛物线的顶点、对称轴的方法

b
4
ac< br>
b
2
b

4
ac

b
2

（

，
）

（
1
）公式法：< br>y

ax

bx

c

a

x

，∴顶点是
，对称


2
a
4
a
2
a

4
a

b
轴是直线
x


。
（
P26-9
）

2
a
2

（
2
）配方法：运用配方的方法，将抛物 线的解析式化为
y

a

x

h


k
的形式，得到顶点为
(
h
,
k
)
， 对称轴是直线
x

h
。

2
2
2

（
3
）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所 以对称轴的连线的垂直
平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点。



注意：用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失。

题
11
：
抛物线
y
＝
x
2
＋6
x
＋
4
的顶点坐标是
(

)


A
．
(3
，
-
5)

B
．
(
-
3
，
-
5)







C
．
(3
，
5)



D
．
(-3
，
5)

9
、抛物线
y

ax

bx

c
中，
a
,< br>b
,
c
的作用（
P29-
例
2,1,10
）


（
1
）
a
决定开口方向及开口大小，这与y

ax
中的
a
完全一样。


（< br>2
）
b
和
a
共同决定抛物线对称轴的位置。由于抛物线
y

ax

bx

c
的对称轴是直线。

2
2
2
b
b
，故：①
b

0时，对称轴为
y
轴；②

0
（即
a
、
b
同号）时，对称轴在
y
轴
2
a
a
b
左侧 ；③

0
（即
a
、
b
异号）时，对称轴在
y
轴右侧。

a
2

（
3
）
c< br>的大小决定抛物线
y

ax

bx

c与
y
轴交点的位置。

2






当
x

0
时，
y

c
，∴抛物线
y

ax

bx

c
与
y
轴有且只有一个交点（
0
，
c
）
：







①
c

0
，抛物线经过原点；

②
c
0
,
与
y
轴交于正半轴；③
c

0
,
与
y
轴交于负半轴。

b






以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立
.
如抛物 线的对称轴在
y
轴右侧，则


0
。

a
x


10
、几种特殊的二次函数的图像特征如下：


函数解析式

开口方向

对称轴

x

0
（
y
轴）

顶点坐标

（
0,0
）

(0,
k
)
(
h
,0)
(
h
,
k
)
y

ax
2

y

ax
2

k

y

a

x

h


2
y

a

x

h


k

2
当
a

0
时

开口向上

当
a

0
时

开口向下

x

0
（
y
轴）

x

h

x

h

b
x



2
a
y

a x

bx

c

2
b
4
ac
b
2
，
(

)
2
a
4
a

11
、用待定系数法求二次函数的解析 式（
P32-12
、
P34-7,8
、
P37-2,4
、< br>P42-1,2
、
P51-
例、
P54-16
）


（
1
）一般式：
y

ax

b x

c
。已知图像上三点或三对
x
、
y
的值，通常 选择一般式。


（
2
）顶点式：
y

a

x

h


k
.
已知图像的顶 点或对称轴，通常选择顶点式。

2
2

（
3
）交 点式：已知图像与
x
轴的交点坐标
x
1
、
x
2，通常选用交点式：
y

a

x

x
1

x

x
2

。

题
12
：
已知关于
x
的一元二次方程
x
-2(
m< br>-1)
x
＋
(
m
-1)
＝
0
，有两个实数根
x
1
、
x
2
，
且
x1
＋
x
2
＝
4
．
求
m
的值。


2
2
2
2
x
2

5
x

6

3

2


1

1

题
13
：
先化简，再求值：
< br>


，其中
x
＝
3

2
x

1

x

3

3
x
3
x


题
14
：
在平面直角坐标 系中，
B
(
3
＋
1
，
0)
，点
A
在第一象限内，且∠
AOB
＝
60
°，∠
ABO
＝
45
°。


(1)
求点
A
的坐标；

(2)
求过
A< br>、
O
、
B
三点的抛物线解析式；

(3)
动 点
P
从
O
点出发，以每秒
2
个单位的速度沿
OA< br>运动到点
A
止，①若△
POB
的面积为
S
，
写出
S
与时间
t(
秒
)
的函数关系；②是否存在
t
，使△
POB
的外心在
x
轴上，若不存在，请你说明理
由； 若存在，请求出
t
的值。

3

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