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2021年1月30日发(作者：无言的等待)
2020
年七年级数学下册全册知识点大全

第一章：整式的运算






整

式

的

运

算






























单项式


整

式














多项式

同底数幂的乘法

幂的乘方

积的乘方

一、单项式

1
、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。

2
、单项式的数字因数叫做单项式的系数。

3
、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。

4
、单独一个数或一个字母也是单项式。

5
、只含有字母因式的单 项式的系数是
1
或
―
1
。

6
、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。

7
、单独的一个非零常数的次数是
0
。

8
、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。

9
、单项式的系数包括它前面的符号。

10
、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。

1







幂运算













同底数幂的除法












零指数幂

负指数幂

整式的加减













单项式与单项式相乘

单项式与多项式相乘

整式的乘法







多项式与多项式相乘

平方差公式



完全平方公式

单项式除以单项式


整式运算









整式的除法





多项式除以单项式

11
、单项式的系数是
1
或
―
1
时，通常省略数字“
1
”。

12
、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。

二、多项式

1
、几个单项式的和叫做多项式。

2
、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。

3
、多项式中不含字母的项叫做常数项。

4
、一个多项式有几项，就叫做几项式。

5
、多项式的每一项都包括项前面的符号。

6
、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。

7
、多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

三、整式的加减

1
、整式加减的理论根据是：去括号法则，合并同类项法则，以及乘法分配率。

2
、几个整式相加减，关键是正确地运用去括号法则，然后准确合并同类项。

3
、几个整式相加减的一般步骤：



（
1
）列出代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。

（
2
）按去括号法则去括号。

（
3
）合并同类项。

4
、代数式求值的一般步骤：


（
1
）代数式化简。

（
2
）代入计算

（
3
）对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算。

四、同底数幂的乘法

1
、
n
个相同因式（或因数）
a
相乘，记作
a
，读作
a
的
n
次方（幂），其中
a
为底数，
n
为指数，
a
的结果叫做幂。

2
、底数相同的幂叫做同底数幂。

3
、同底数幂乘法的运算法则： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即：
a
﹒
a
=a
。

4
、此法则也可以逆用，即：
a
= a
﹒
a
。

5
、开始底数不相同的幂的乘法，如果可以化成 底数相同的幂的乘法，先化成同底数幂再运用法则。

五、幂的乘方

1、幂的乘方是指几个相同的幂相乘。（
a
）
表示
n
个
a
相乘。

2
、幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。（
a
）
=a
。

3
、此法则也可以逆用，即：
a
=
（
a
）
=
（
a
）
。

六、积的乘方

1
、积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。

2
、积的乘方运算法则：积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，然后把所得的幂相乘。即（ab
）
=a
b
。

2

n
n
n
mn
m
n
n
m
m
n
mnm
n
m
m+n
m
n
m
n
m+n
n
n
3
、此法则也可以逆用，即：
a
b
=
（
ab
）
。

七、三种“幂的运算法则”异同点

1
、共同点：

（
1
）法则中的底数不变，只对指数做运算。

（
2
）法则中的底数（不为零）和指数具有普遍性，即可以是数，也可以是式（单项式或多项式）。
（
3
）对于含有
3
个或
3
个以上的运算，法则仍然成立 。

2
、不同点：

（
1
）同底数幂相乘是指数相加。

（
2
）幂的乘方是指数相乘。

（
3
）积的乘方是每个因式分别乘方，再将结果相乘。

八、同底数幂的除法

1
、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变， 指数相减，即：
a
÷
a
=a
（
a
≠
0）。

2
、此法则也可以逆用，即：
a
= a
÷
a
（
a
≠
0
）。

九、零指数幂

1
、零指数幂的意义：任何不等于
0
的数的
0
次幂都等于
1
，即：
a
=1
（
a
≠
0
）。

十、负指数幂

1
、任何不等于零的 数的
―
p
次幂，等于这个数的
p
次幂的倒数，即：
注：在同 底数幂的除法、零指数幂、负指数幂中底数不为
0
。

十一、整式的乘法

（一）单项式与单项式相乘

1
、单项 式乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，
作为积的因式。

2
、系数相乘时，注意符号。

3
、相同字母的幂相乘时，底数不变，指数相加。

4
、对于只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数一起写在积里，作为积的因式。

5
、单项式乘以单项式的结果仍是单项式。

6
、单项式的乘法法则对于三个或三个以上的单项式相乘同样适用。

（二）单项式与多项式相乘

1
、单项式与多项式乘法法则：单项式与多项式 相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得
的积相加。即：
m(a+b+ c)=ma+mb+mc
。

2
、运算时注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。

3
、积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。

4
、混合运算中，注意运算顺序，结果有同类项时要合并同类项，从而得到最简结果。

3

0
m-n
m
n
m
n
m-n
n
n
n
a

p

a
1
p
(
a

0)

（三）多项式与多项式相乘

1
、多项式与多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一 项，再把所
得的积相加。即：
(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb
。
2
、多项式与多项式相乘，必须做到不重不漏。相乘时，要按一定的顺序进行，即一个多 项式的每一项乘以另一个
多项式的每一项。在未合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积。< br>
3
、多项式的每一项都包含它前面的符号，确定积中每一项的符号时应用“同号得正， 异号得负”。

4
、运算结果中有同类项的要合并同类项。

5、对于含有同一个字母的一次项系数是
1
的两个一次二项式相乘时，可以运用下面的公式简 化运算：
2
(x+a)(x+b)=x
+(a+b)x+ab
。

十二、平方差公式

1
、（
a+b
）
(a-b)= a
-b
，即：两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。

2
、 平方差公式中的
a
、
b
可以是单项式，也可以是多项式。

3
、平方差公式可以逆用，即：
a
-b
=
（
a+b
）
(a-b)
。

4
、平方差公式还能简化两数之积的运算，解这类题，首先看两个数能否转化成
（
a+b
）
•
(a-b)
的形式，然后看
a
与
b
是否容易计算。

十三、完全平方公式

1
、< br>(
a

b
)

a

2
ab

b
,(
a

b
)

a

2
ab

b
,
即：两数和（或差）的平方，等于它们的平 方和，加上（或
减去）它们的积的
2
倍。

2
、公式中的< br>a
，
b
可以是单项式，也可以是多项式。

3
、掌握理解完全平方公式的变形公式：

2
2
2
2
2
2
（
1
）
a

b

(
a

b
)

2
ab

(
a

b
)

2
ab

1
2[(
a

b
)

(
a

b< br>)
]

2
2
[(
a

b
)

(
a

b
)
]

（
2
）
(
a

b
)

(
a

b
)

4
ab

（
3
）
ab

1
4
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
4
、完全 平方式：我们把形如
:
a

2
ab

b
,
a

2
ab

b
,
的二次三项式称作完全 平方式。

5
、当计算较大数的平方时，利用完全平方公式可以简化数的运算。

6
、完全平方公式可以逆用，
< br>2
2
2
2
2
2
a

2
ab

b

(
a

b
)
,
a

2
ab

b

(
a

b
)
.


即：
2
2
2
2
十四、整式的除法

（一）单项式除以单项式的法则

1
、单项式除以单项式的法则：一般地，单 项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被
除式里含有的字母，则连同它的指 数一起作为商的一个因式。

2
、根据法则可知，单项式相除与单项式相乘计算方法类 似，也是分成系数、相同字母与不相同字母三部分分别进
行考虑。

4

（二）多项式除以单项式的法则

1
、多项式除以单项式的法则：多项式除以 单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
用字母表示为：
(a

b

c
)

m

a
m

b

m

c

m.

2
、多项式除以单项式，注意多项式各项都包括前面的符号。


第二章

平行线与相交线






















尺规作图























同位角






角

两线相交

对顶角






















余角

余角补角




补角

平

行
线

与
相
交
线



三线八角



内错角


同旁内角










平行线的判定

一、平行线与相交线

平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线。

二、余角与补角

1
、如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角，简称为互余，称其中一个角是另一个角 的余角。

2
、如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角，简称为互补，称其 中一个角是另一个角的补角。

3
、互余和互补是指两角和为直角或两角和为平角，它 们只与角的度数有关，与角的位置无关。

4
、余角和补角的性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。

5
、余角和补角的性质用数学语言可表示为：

（
1
）
1


2

90
(180
),
1


3

90
(180
),则

2


3
(
同角的余角（或补角）相等< br>)
。

5

0
0
0
0


平行线




平行线的性质

（
2
）

1


2

90(180
),

3


4

90(180
),
且

1


4,
则
2


3
(
等角的余角（或补角）相等
)< br>。

6
、余角和补角的性质是证明两角相等的一个重要方法。

三、对顶角

1
、两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角是对顶角。

2
、一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。

3
、对顶角的性质：对顶角相等。

4
、对顶角的性质在今后的推理 说明中应用非常广泛，它是证明两个角相等的依据及重要桥梁。

5
、对顶角是从位置上定义的，对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角。

四、垂线及其性质

1
、垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中 一条叫做另一条的垂线。（
垂线定义）

2
、垂线的性质：

性质
1
：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质
2
：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

五、同位角、内错角、同旁内角

1
、两条直线被第三条直线所截，形成了
8
个角。

2、同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同位角。（< br>F
）

3
、内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截 线）的两旁，这样的一对角叫做内错角。
(Z)
4
、同旁内角：两个角都在两条直线 之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫同旁内角。
(U)
5
、这 三种角只与位置有关，与大小无关，通常情况下，它们之间不存在固定的大小关系。

六、六类角

1
、补角、余角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角六类角都是对两角来说的。

2
、余角、补角只有数量上的关系，与其位置无关。

3
、同位角、内错角、同旁内角只有位置上的关系，与其数量无关。

4
、对顶角既有数量关系，又有位置关系。

七、平行线的判定方法

1
、同位角相等，两直线平行。
2
、内错角相等，两直线平行。

3
、同旁内角互补，两直线平行。

4
、在同一平面内，如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行。

5
、在同一平面内，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线平行。

八、平行线的性质

1
、两直线平行，同位角相等。

6

0
0
0
0
2
、两直线平行，内错角相等。

3
、两直线平行，同旁内角互补。

4
、平行线的判定与性质具备互逆的特征，其关系如下：


在应用时要正确区分积极向上的题设和结论。

九、尺规作线段和角

1
、在几何里，只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图。

2
、尺规作图是最基本、最常见的作图方法，通常叫基本作图。

3
、尺规作图中直尺的功能是：

（
1
）在两点间连接一条线段；

（
2
）将线段向两方延长。

4
、尺规作图中圆规的功能是：

（
1
）以任意一点为圆心，任意长为半径作一个圆；

（
2
）以任意一点为圆心，任意长为半径画一段弧；

5
、熟练掌握以下作图语言：

（
1
）作射线
××
；（
2
）在射线上截取
××
=
××
；（
3
）在射线
××
上依次截取
××
=
××
=
× ×
；

（
4
）以点
×
为圆心，
××
为半径画弧，交
××
于点
×
；

（
5
） 分别以点
×
、点
×
为圆心，以
××
、
××
为半径作弧，两弧相交于点
×
；

（
6
）过点
×< br>和点
×
画直线
××
（或画射线
××
）；（
7
）在
∠×××
的外部（或内部）画
∠×××
=
∠×××；

6
、在作较复杂图形时，涉及基本作图的地方，不必重复作图的详细过程，只 用一句话概括叙述就可以了。

（
1
）画线段
××
=
××
；（
2
）画
∠×××
=
∠×××
；

第三章

变量之间的关系


































自变量

变量的概念










因变量


变量之间的关系










表格法




7



关系式法

速度时间图象

图象法


变量的表达方法

















路程时间图象

一、变量、自变量、因变量

1
、在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。

2
、如果一个变 量
y
随另一个变量
x
的变化而变化，则把
x
叫做自变量，< br>y
叫做因变量。

3
、自变量与因变量的确定：（
1
）自变量是先发生变化的量；因变量是后发生变化的量。

（
2
）自变量是主 动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。

（
3
）利用具体情境来体会两者的依存关系。

二、表格

1
、表格是表达、反映数据的一种重要形式，从中获取信息、研究不同量之间的关系。

（
1
）首先要明确表格中所列的是哪两个量；（
2
）分清哪一个量为 自变量，哪一个量为因变量；

（
3
）结合实际情境理解它们之间的关系。

2
、绘制表格表示两个变量之间关系

（
1
）列表时首先要 确定各行、各列的栏目；（
2
）一般有两行，第一行表示自变量，第二行表示因变量；

（
3
）写出栏目名称，有时还根据问题内容写上单位；

（
4
）在第一行列出自变量的各个变化取值；第二行对应列出因变量的各个变化取值。

（
5
）一般情况下，自变量的取值从左到右应按由小到大的顺序排列，这样便于反映因变量与自 变量之间的关系。

三、关系式

1
、用关系式表示因变量与自变量 之间的关系时，通常是用含有自变量（用字母表示）的代数式表示因变量（也用
字母表示），这样的数学 式子（等式）叫做关系式。

2
、关系式的写法不同于方程，必须将因变量单独写在等号的左边。

3
、求两个变量之间关系式的途径：

（
1
）将自变量和因 变量看作两个未知数，根据题意列出关于未知数的方程，并最终写成关系式的形式。

（
2
）根据表格中所列的数据写出变量之间的关系式；

（
3
）根据实际问题中的基本数量关系写出变量之间的关系式；

（
4
）根据图象写出与之对应的变量之间的关系式。

4
、关系式的应用：

（
1
）利用关系式能根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值；

（
2
）同样也可以根据任何一个因变量的值求出相应的自变量的值；

（
3
）根据关系式求值的实质就是解一元一次方程（求自变量的值）或求代数式的值（求因变 量的值）。

四、图象

1
、图象是刻画变量之间关系的又一重要方法，其特点是非常直观、形象。

8

2
、图象能清楚地反映出因变量随自变量变化而变化的情况。

3
、用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（又称横轴）上的点表示自变量，用 竖直方向的数轴
（又称纵轴）上的点表示因变量。

4
、图象上的点：

（
1
）对于某个具体图象上的点，过该 点作横轴的垂线，垂足的数据即为该点自变量的取值；

（
2
）过该点作纵轴的垂线，垂足的数据即为该点相应因变量的值。

（
3
）由自变量的值求对应的因变量的值时，可在横轴上找到表示自变量的值的点，过这个点 作横轴的垂线与图象
交于某点，再过交点作纵轴的垂线，纵轴上垂足所表示的数据即为因变量的相应值。

（
4
）把以上作垂线的过程过来可由因变量的值求得相应的自变量的值。

5
、图象理解

（
1
）理解图象上某一个点的意义，一要看横轴、纵轴分别表示哪个变量；

（
2
）看该点所对应的横轴、纵轴的位置（数据）；

（
3
）从图象上还可以得到随着自变量的变化，因变量的变化趋势。

五、速度图象

1
、弄清哪一条轴（通常是纵轴）表示速度，哪一条轴（通常是横轴）表示时间；

2
、准确读懂不同走向的线所表示的意义：

（
1
）上升的线：从左向右呈上升状的线，其代表速度增加；

（
2
）水平的线：与水平轴（横轴）平行的线，其代表匀速行驶或静止；

（
3
）下降的线：从左向右呈下降状的线，其代表速度减小。

六、路程图象

1
、弄清哪一条轴（通常是纵轴）表示路程，哪一条轴（通常是横轴）表示时间；

2
、准确读懂不同走向的线所表示的意义：

（
1
）上升的 线：从左向右呈上升状的线，其代表匀速远离起点（或已知定点）；

（
2
）水平的线：与水平轴（横轴）平行的线，其代表静止；

（< br>3
）下降的线：从左向右呈下降状的线，其代表反向运动返回起点（或已知定点）。

七、三种变量之间关系的表达方法与特点：

表达方法

表格法

关系式法

图象法


第四章

三角形

9

特


点

多个变量可以同时出现在同一张表格中

准确地反映了因变量与自变量的数值关系

直观、形象地给出了因变量随自变量的变化趋势

辞职原因-

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辞职原因-

辞职原因-

辞职原因-

辞职原因-

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