完全平方数(初中数学竞赛教案新部编本).docx
玛丽莲梦兔
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2021年01月30日 09:41
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朗诵稿-
精品教学教案设计
| Excellent teaching plan
教师学科教案
[
20
–
20
学年度
第
__
学期
]
任教学科：
_____________
任教年级：
_____________
任教老师：
_____________
xx
市实验学校
育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰
精品教学教案设计
| Excellent teaching plan
课
题：完
全平方数
一、本课知识点和能力目标
1
．知识点：
个位数的计算或判断，需要掌握由一般到特殊的归纳思
想、方法，通过知识的传授培养学生的数 学能力。
完全平方数是一种特殊的整数，有其独特的性质，通过
学习，学 生要学会判断一个数是否完全平方数，并能利用完全
平方数的性质解决一些数学问题。
2
．能力目标：
本讲采用举例的办法，
介绍以帮助同学们轻松地进行计算，
从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性。
二、数学思想：一般到特殊，分类讨论思想。
三、本次授课节次及内容安排
第
1
课时：个位数的判定。
第
2
课时：完全平方数
第
3
课时：典型例题剖析
第
4
课时：课堂反馈
.
四．课外延伸、思维拓展
育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰
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第一课时
[
知识要点
]
个位数知识：
1.
整数之和（差）的个位数等于其个位数之和（差）
。
2.
整数之积的个位数等于其各个因数的各位数之积。
3.
正整数的幂的个位数有一定的规律。
(a)n
次幂后，
0
，
1
，
5
，
6
的个位数保持不变。
(b)
个位数为
4
，
9
的数，
n
次幂后的个位数以
2
为周期变化。
(c)
个位数为
2
，
3
，
7
，
8
的数，
n
次幂后的个位数以
4
为周
期
变化。
【经典例题
】
例
1.
求
1997
1999
的个位数。
答案：
3
。
例
2.
试证：（）
153
53
33
33
是
10
的倍数；（
3
1998
4
1998
是
5
的倍数。
答案：（
1
）
0
；（
2
）
3
。
例
3.
数
3
10001
g7
10002
g13
10003
的个位数字是什么？
答案：
9
1996
1999
例
4.a
1997
,
求
a
的个位数字。
答案：
1
2
）
育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰
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尝试练习：
1.
求
3
33
的個位數字
.(
香港青少年數學精英選拔賽
2000~2001)
2.78
87
87
78
的個位數字是
_______?(
第一屆華羅庚杯香港小學精英賽
)
3..2
1998
3
1999
7
2000
的個位數字是
_______?(1999
年香港數學奧林匹克
)
4.2001
2001
2002
2002
2003
2003
的個位數字是
_______?(2001
年香港數學奧林匹克
)
5.6
32
(73
13
17
8
)
的個位數字是
_______?
6.3
2111
10
的餘數是多少
?
答案：（
1
）
3
；
（
2
）
1
；
（
3
）
8
；
（
4
）
2
；
（
5
）
2
；
第二课时
[
知识要点
]
如果
n
是一个整数，则
n
2
就叫完全平方数。
性质：
（
1
）
平方数的个位数只能是
0
，
1
，
4
，
5
，
6
，
9.
（
2
）
平方数被
3
除的余数只能是
0
和
1
。
（
3
）
奇数的平方数为
4m+1,
偶数的平方数是
4m.
（
4
）
平方数的个位数是奇数
1
，
5
，
9
时，十位数字一定是偶数。
（
5
）
平方数之积是平方数。
（
6
）
平方数的正约数个数为奇数。
根据平方数的定义和性质，有如下非平方数的判定方法：
（
1
）
两相邻平方数再没有平方数。
（
2
）
个位数是
2
，
3
，
7
，
8
的正整数不是平方数。
（
3
）
正约数个数是偶数个的正整数不是完全平方数。
（
4
）
个位数字与十位数字都是奇数的数不是平方数。
（
5
）
若存在质数
p|a,
而
p
2
?
a,
则
a
不是平方数。
【经典例题
】
例
1.
试证：形如
3n+2
的数不是完全平方数。
证明：整数被
3
除，余数分别为
0
，
1
，
2
。
易得：被
3
整除的数的平方数仍被
3
整除，
被
3
除余
1
的数的平方
(3k+1)
2
=9k
2
+6k+1
余数仍为
1.
被
3
除余
2
的数的平方
(3k+2)
2
=9k
2
+12k+4
余数仍为
1
故任何形如
3n+2
的数都不是完全平方数。
育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰
6
）
7
（
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例
2.
求证：奇数的平方数被
8
除余
1
，偶数的平方数一定是
4
的倍数。
证明：奇数
(2n+1)
=4n
+4n+1=4n(n+1)+1,
2
2
n
、
n+1
为连续整数，必有一个偶数
.
偶数（
2n
）
=4n
,
为
4
的倍数。
2
2
故得证。
例
3.
使得（
n
2
19n 91
）为完全平方数的自然数
n
的个数是多少？分析：
若
n
2
-19n+91
处于两个连续的整数平方数中，就不可能是完全平方数。
解：
n
2
19n
91
(n
9)
2
(10
n),
当
时，（
2
）不会为完全平方数。
n
10
n
19n
91
当
时，（
2
）才能为为完全平方数
。
n
10
n
19n
91
经计算：当
时，（
2
）为完全平方数。
或
n
n
19n
91
9
10
（
2
）为完全平方数的值有
个。
n
19n 91
2
例
4.
一个自然数减去
45
后是一个平方数，这个自然数加上
44
，仍
是平方数，试求这个平方数。
解：设这个自然数为
x-45=m
2
x,
得
其中
m, n
为自然数。则
n
m
89.
2
2
2
x
44
n
(n
m)( n
m)
89.
Q
89
是
质
数
，
n m 89
n
m
1
得
n=45,m=44.
代入得：
x=1981.
育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰