五年级奥数完全平方数(C级)
绝世美人儿
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2021年01月30日 09:42
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完全平方数
知识框架
一、完全平方数常用性质
1.
主要性质
1.
完 全平方数的尾数只能是
0
，
1
，
4
，
5
，
6
，
9
。不可能是
2
，
3
，
7< br>，
8
。
2.
在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
3.
完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
4.
若质数
p
整除完全平方数
a
2
，则
p能被
a
整除。
2.
性质
性质
1< br>：完全平方数的末位数字只可能是
0
，
1
，
4
，5
，
6
，
9
．
性质
2
：完 全平方数被
3
，
4
，
5
，
8
，
1 6
除的余数一定是完全平方数．
性质
3
：自然数
N
为完全平方数
自然数
N
约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解 中每个质
因数出现的次数都是偶数次，所以，如果
p
是质数，
n
是自 然数，
N
是完全平方数，且
p
2
n
1
|
N
，
则
p
2
n
|
N
．
性质
4
：完全平方数的个位是
6
它的十位是奇数．
性质
5
：如果一个完全平方数的个位是
0
，则它后面连续的0
的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的
个位是
5
，则其十位一定是
2
，且其百位一定是
0
，
2
，
6
中的一个 ．
性质
6
：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全 平方数．
二、一些重要的推论
1.
任何偶数的平方一定能被4
整除；任何奇数的平方被
4
（或
8
）除余
1.
即被
4
除余
2
或
3
的数一
定不是完全平方数。< br>
2.
一个完全平方数被
3
除的余数是
0
或
1.
即被
3
除余
2
的数一定不是完全平方数。
3 .
自然数的平方末两位只有：
00
，
01
，
21
，
41
，
61
，
81
，
04
，
24
，
44
，
64
，
84
，
25
，< br>09
，
29
，
49
，
69
，
89< br>，
16
，
36
，
56
，
76
，96
。
4.
完全平方数个位数字是奇数（
1
，
5
，
9
）时，其十位上的数字必为偶数。
5.
完全平方 数个位数字是偶数（
0
，
4
）时，其十位上的数字必为偶数。
6.
完全平方数的个位数字为
6
时，其十位数字必为奇数。
1
/
9
7.
凡个位数字是5
但末两位数字不是
25
的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个
“0 ”
的自然数不
是完全平方数；个位数字为
1
，
4
，
9
而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
三、重点公式回顾：平方差公式：< br>a
2
b
2
(
a
b< br>)(
a
b
)
重难点
完全平方数是数论板块中一个比较精华的小分支，从知识特点上讲属于约数倍数和 质数合数交叉的知
识体系，其题目多为考察上述两块综合性知识，是杯赛和小升初试卷中的一个热点
例题精讲
【
例
1
】
已
知自然数
n
满足：
12!
除以
n
得到一个完全平方数，则
n
的最小值是
。
21
(1
2
3
4
5
6
7
6
5
4
3
2
1)
【
巩
固
】
是
的平方．
【
例
2
】
计
算
111
A
，求
A
．
1
－
222
2
=
A
×
2004
个
11002
个
2
2
/
9
【
巩
固
】
444< br>
4888
89
A
2
，求
A< br>为多少
?
2004
个
4
2003
个8
【
例
3
】
求
是否存在一个完全平方数，它的数字和为
2005
？
【
巩
固
】
由
26
1
2
5
2
1
2
3
2
4
2
，可以断定
26
最多能表示为
3
个互不相等 的非零自然数的平方和，请你
判定
200
最多能表示为
__________
个互不相等的非零自然数的平方之和．
【
例
4
】
有
一个不等于
0
的自然数，
它的
【
巩
固
】
求
一 个最小的自然数，
它乘以
2
后是完全平方数，
乘以
3
后是完 全立方数，
乘以
5
后是
5
次方数．
3
/
9
1
1
是一个立 方数，
它的
是一个平方数，
则这个数最小是
．
2
3
【
例
5
】
三
个自然数，它们都是完全 平方数，最大的数减去第二大的数的差为
80
，第二大的数减去最小的
数的差为
60
，求这三个数．
【
巩
固
】
有
两 个两位数，
它们的差是
14
，
将它们分别平方，
得到的两个平方数的 末两位数
(
个位数和十位数
)
相同，那么这两个两位数是
．
(
请写出所有可能的答案
)
【
例
6
】
A
是一个两位数，它的
6
倍是一个三位数< br>B
，如果把
B
放在
A
的左边或者右边得到两个不同的五
位数，并且这两个五位数的差是一个完全平方数
(
整数的平方
)
，那么A
的所有可能取值之和
为
．
【
巩
固
】
一
个自然数与自身相乘的结果称为完全 平方数．已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小
4
/
9