小学奥数 完全平方数及应用(一) 精选例题练习习题(含知识点拨)
绝世美人儿
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2021年01月30日 09:45
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5-4-4.
完全平方数及应用
（一）
教学目标
1.
学习完全平方数的性质；
2.
整理完全平方数的一些推论及推论过程
3.
掌握完全平方数的综合运用。
知识点拨
一、完全平方数常用性质
1.
主要性质
1.
完全平方数的尾数只能是
0
，
1
，
4
，
5
，
6
，
9
。不可能是
2
，
3
，< br>7
，
8
。
2.
在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
3.
完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
4.
若质数
p
整除完全平方数
a
2
，则
p能被
a
整除。
2.
性质
性质
1< br>：完全平方数的末位数字只可能是
0
，
1
，
4
，5
，
6
，
9
．
性质
2
：完 全平方数被
3
，
4
，
5
，
8
，
1 6
除的余数一定是完全平方数．
性质
3
：自然数
N
为完全平方数
自然数
N
约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解 中每个质因
数出现的次数都是偶数次，所以，如果
p
是质数，
n
是自 然数，
N
是完全平方数，且
p
2
n
1
|
N
，则
p
2
n
|
N
．
性质
4
：完全平方数的个位是
6
它的十位是奇数．
性质
5
：如果一个完全平方数的个位是
0
，则它后面连续的
0< br>的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个
位是
5
，则其十位一定是
2
，且其百位一定是
0
，
2
，
6
中的一个．
性质
6
：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．
3.
一些重要的推论
1.
任何偶数的平方一定能被4
整除；任何奇数的平方被
4
（或
8
）除余
1.
即被
4
除余
2
或
3
的数一定
不是完全平方数。< br>
2.
一个完全平方数被
3
除的余数是
0
或
1.
即被
3
除余
2
的数一定不是完全平方数。
3 .
自然数的平方末两位只有：
00
，
01
，
21
，
41
，
61
，
81
，
04
，
24
，
44
，
64
，
84
，
25
，< br>09
，
29
，
49
，
69
，
89< br>，
16
，
36
，
56
，
76
，96
。
4.
完全平方数个位数字是奇数（
1
，
5
，
9
）时，其十位上的数字必为偶数。
5.
完全平方 数个位数字是偶数（
0
，
4
）时，其十位上的数字必为偶数。
6.
完全平方数的个位数字为
6
时，其十位数字必为奇数。
7.
凡个位数字是
5
但末两位数字不是
25
的自然数不是完全平方 数；
末尾只有奇数个
“0”
的自然数不是
完全平方数；个位数字为
1
，
4
，
9
而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
< br>3.
重点公式回顾：
平方差公式：
a
2
b
2
(
a
b
)(
a
b
)
例题精讲
模块一、完全平方数计算及判断
【例
1
】
已知：
21×
49
是一个完全平方数，求它是谁的平方
?
【例
2
】
21
(1
2
3
4
5
6
7
6
5
4
3
2
1)
是
的平方．
【例
3
】
已知自然数
n
满足：
12!
除以
n
得到一个完全平 方数，则
n
的最小值是
。
【例
4
】
有一个正整 数的平方，它的最后三位数字相同但不为
0
，试求满足上述条件的最小的正整数．
【例
5
】
A
是由
2002
个
“4”
组成的多位数，即
444
2002
个
4
4
，
A是不是某个自然数
B
的平方？如果是，写出
B
；
如果不是，请说 明理由．
【
巩
固
】
A
是由
2008
个< br>“
4
”
组成的多位数，即
44
果不是，请说明理由．
4
，
A
是不是某个自然数
B
的平方？如果是，写出
B
；如
2008
个
4
【例
6
】
计算
111< br>1
－
222
2004
个
1
1002
个
2
2
=
A
×
A
，求
A
．
【例
7
】
①
444
2004
个
4
4888
89
A
2
，求
A
为多少
?
2003
个
8
②求是否存在一个完全平方数，它的数字和为
2005
？
模块二、平方数特征
（
1
）
平方数的尾数特征
【例
8
】
下面是一个算式：
1
1
2
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
6
，
这个算式的得数能否是某个数的平方？
【例
9
】
一个数与它自身的乘积称为这个数 的平方．各位数字互不相同且各位数字的平方和等于
49
的四位
数共有
___ _____
个．
【例
10
】
用
1
～
9
这
9
个数字各一次，组成一个两位完全平方数，一个三位完全平方数， 一个四位完全平方
数．那么，其中的四位完全平方数最小是
．
【例
11
】
称
能表示成
1+2+3+…+K
的形式的 自然数为三角数，有一个四位数
N
，它既是三角数，又是完全
平方数，
N=
。