余弦定理公式大全-高中余弦定理公式大全
萌到你眼炸
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2021年01月30日 10:08
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了不起的狐狸爸爸读后感-
4.6
正弦、余弦定理
解斜三角形
建构知识结构
1
．三角形基本公式：
（
1）内角和定理：
A+B+C=180
°，
sin(A+B)=sinC,
cos(A+B)= -cosC,
A
B
A
B
C
C
=sin
,
sin
=cos
2
2
2
2
1
1
1
（
2
）面积公式：
S=
absinC=
bcsi nA=
casinB
2
2
2
a
b
c
S= pr =
p
(
p
a
)(
p
b
)(
p
c
)
(
其中
p=
,
r
为内切圆半径
)
2
cos
（
3
）射影定理：
a
=
b
cos
C
+
c
cos
B
；
b
=
a
cos
C
+
c
cos
A
；
c
=
a
cos
B
+
b
cos
A
2
．
正弦定理：
a
b
c
2
R
外
sin
A
sin
B
sin
C
证明：由三角形面积
1
1
1
ab
sin
C
bc
sin
A
ac
sin
B
2
2
2
a
b
c
得
sin
A
sin
B
sin
C
a
b
c
2
R
画出三角形的外接圆及直径易得：
sin
A
sin
B
sin
C
S
b
2
c
2
a
2
3
．
余弦定理：
a
=
b
+
c
-2
bccosA
,
cos
A
；
2
bc
2
2
2
证明：如图
Δ
ABC
中，
C
b
a
CH
b
sin
A
,
AH
b
cos
A
,
BH
c
b< br>cos
A
a
2
CH
2
BH
2
b
2
sin
2
A
(
c
b
cos
A
)
2
b
c
2
bc
cos
A
2
2
A
H
c
B
当
A
、
B
是钝角时，类 似可证。正弦、余弦定理可用向量方法证明。
要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题．
4
．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：
（
1
）已知两角和任一边，求其他 两边和一角；
（
2
）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；
有三种情况 ：
bsinA
a=bsinA
或
a=b
时有
解；
a
5
．利用余弦定理，可以解决以下两类问题：
（1
）已知三边，求三角；
（
2
）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他 两角。
6
．熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化，能在应用题中抽象或构造出 三角形，标出已知量、未知量，
确定解三角形的方法；提高运用所学知识解决实际问题的能力
练习题
1
．
(2006
山东
)
在
ABC
中，角
A
,
B
,
C
的对边分别 为
a
,
b
,
c
，已知
A
A.1
B.2
C.
3
1
D.
3
3
,
a
3,
b
1
，则
c
（
）
2
．在△
ABC< br>中，
AB=3
，
BC=
13
，
AC=4
，则 边
AC
上的高为（
）
A.
3
3
2
3
3
B.
C.
D.
3
3
2
2
2
3
．
（
2002
年上海）在△
ABC
中，若
2cos
B
sin
A
=sin
C
，则△
ABC
的形状一定是
A.
等腰直角三角形
B.
直角三角形
C.
等腰三角形
D.
等边三角形
4.
(2006
全国Ⅰ
)
用长度分别为
2
、
3
、4
、
5
、
6
（单位：
cm
）的
5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不
允许折断）
，能够得到的三角形的最大面积为< br> ( )
2
A.
8
5
cm
B.
6
1
0
c
m
2
C.
3
55
cm
2
D.
20
cm
2
5.
（
2006
全国Ⅱ）已 知
ABC
的三个内角
A
、
B
、
C
成等差数列，且
AB=1
，
BC=4
，则边
BC
上的中线
AD
的
长为
_________.
6.(2006
春上海
)
在△
ABC
中，已知
BC
8
,
AC
5
，三角形面积为
12
，则
cos
2C
. < br>a
2
c
2
b
2
◆
答案
:
;
3.
由
2cos
B
sin
A
=sin
C
得
×
a
=
c
，∴
a
=
b
.
ac
4.
组成边长
6,7,7
时面积最大
; 5.
3
; 6.
7
25
四、经典例题
【 例
1
】
(2006
天津
)
如图，
在
ABC
中，
AC
2
，
BC
1，
cos
C
（
1
）求
AB
的值；< br>
（
2
）求
sin
2
A
C
的值
.
解（Ⅰ）
：
由余弦定理，
AB
AC
BC
2AC
.
BC
.cos
C
4
1
2
2
1
∴
AB
2.
（Ⅱ）解：由
cos< br>C
2
2
2
3
．
4
3
2.
4
3
，且
0
C
,
得
4
sin
C< br>
1
cos
2
C
由正弦定理
:
7
.
4
AB
BC
,
sin
C
sin
A
解得
sin
A
BC
sin
C
14
5
2
。所以，
cosA
。由倍角公式
AB
8
8
sin
2
A
sin
2
A
cos
A
且
cos
2
A
1
2sin
A
2
5
7
，
16
9
，故
16
sin
2
A
C
sin
2
A
cos
C< br>
cos
2
A
sin
C
3
7.
8
◆
解读思想
：已知两边夹角
,
用余弦定理
,
由三角函数值求三角函数值时要注意“三角形内角”的限制
.
【例2
】在
Δ
ABC
中，已知
a=
3
,b=
2
,B=45
°，求
A,C
及边
c
．
a
sin
B
3
sin
45
3
解：由正弦定理得：
sinA=
,
因为
B=45
°
<90< br>°且
b
b
2
2
所以有两解A=60
°或
A=120
°
b
sin
C(1)
当
A=60
°时
,C=180
°
-(A+B)= 75
°，
c=
sin
B
b
sinC
(2)
当
A=120
°时
,C=180
°
- (A+B)=15
°，
c=
sin
B
2
sin
75
6
2
,
2
sin
45
2
sin
15
6
2
2
sin
45
◆
解读思想
：已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理求解，
必
需 注意解的情况的讨论．
【例
3
】
(2006
上海
)
如图，当甲船位于
A
处时获悉，在其正东方向相距
20
海里的B
处有一艘渔船遇险等待营救
甲船立即前往救援，同时把消息告知在 甲船的南偏西
30
，相距
10
海里
C
处的乙船，试问乙船应 朝北偏东多少
度的方向沿直线前往
B
处救援（角度精确到
1
）？
[
解
]
连接
BC,
由余弦定理得
BC
2
=20
2
+10
2
－
2×
20×
10COS120°
=7 00
于是
,BC=10
7
_
?
∵
3
sin
ACB
sin
120
,
∴
sin
∠
ACB=
,
20
7
10
7
_
C
A
_
_
10
_
20
_
B
∵
∠
ACB<90°
∴
∠
ACB=41°
∴
乙船应朝北偏东
71°
方向沿直线前往
B
处救援
30
°
点拨纠正
:
把实 际问题转化为解斜三角形问题，在问题中构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角
形的方法；< br>
【例
4
】已知⊙
O
的半径为
R
，
，在它的内接三角形
ABC
中，有
2
R
sin
2
A
sin
2
C
解：由已知条件得< br>
2
a
b
sin
B
成立，求△
ABC
面积
S
的最大值．
2
R
2
sin
2
A
< br>sin
2
B
2
R
sin
B
2
a
b
．即有
a
2
c
2
2
ab
b
2
，
3
a
2
b
2
c
2
2
又
cos
C
∴
c
．
A
B
2
ab
2
4
4
∴
S
1
2
2
ab
sin
C
ab
4
R
2
sin
A
sin
B
2< br>4
4
2
R
2
sin
A
sin(< br>
2
R
2
sin
A
(
2
3
A
)
4
2
2
cos
A
sin
A
)
2
2
R
(sin
2A
1
cos
2
A
)
2
R
2
[
2
sin(2
A
)< br>
1]
2
4
当
2
A
4
2
,
即
A
3
2
1
2
(
B
)
时
,
S
max
R
．
2
8
◆
思路方法
:
1.
边角互化是解三角形问题常用的手段．一般有两种思路：一是边化角 ；二是角化边。
2.
三角形中的三角变换，应灵活运用正、余弦定理．在求值时，要 利用三角函数的有关性质．
【研讨
.
欣赏】
（
2006
江西）
如图
,
已知△
ABC
是边长为
1< br>的正三角形
,
M
、
N
分别是边
AB
、AC
上的点
,
线段
MN
经过△
ABC
的中心< br>G
.
设
MGA
(
3
2
)
.
3
(1)
试将△
AGM
、△
AGN
的面 积
(
分别记为
S
1
与
S
2
)
表示 为
的函数
;
(2)
求
y
1
1
的最大值与最小值
.
2
2
S
1
S
2
解
:
(1)
因为
G
为边长 为
1
的正三角形
ABC
的中心
,
所以
AG
2
3
3
,
MAG
.
3
2
3
6
由正弦定理
GM
sin
6
GAsin(
)
6
,
得
GM
3
6sin(
)
6
,
则
S
1
1
s
i
n
G
M
G
A
s
i
n
或
(
2
1
2
s
i
n
(
)
6
GA
sin(
)
6
1
).
6
(
3
c
o
t
)
又
GN
sin
6
< br>,
得
GN
3
6sin(
)< br>6
,
1
sin
1
则
S
2
GN
GA
sin(
)
(
或
).
2
6(
3
cot
)
12sin(
)
6
(2)
y
1
1
144< br>
2
S
1
2
S
2
sin
2
2
2
2
sin(
)
sin
(
)
72(3
cot
).
6
6